Història de la geometria
La geometria és una de les ciències més antigues. Inicialment, constituïa un cos de coneiximents pràctics en relació en les llongitutés, àreas i volums.
La civilisació mesopotámica, i en particular els sumeri, està associada a l'invenció de la roda. Més alvance, en el periodo babilònic, també trobem importants aportacions a l'estudi de la geometria, entre elles aproximacions molt precises al valor del número π, que relaciona la llongitut de la circumferència en la seua diàmetro.
També varen desenrollar el sistema sexagesimal, en conéixer que cada any conta en 365 dies. Ademés varen implementar una fòrmula per a calcular l'àrea del trapezi rectàngul.[1]
En l'antic Egipte estava molt desenrollada, segons els texts d'Heródoto, Estrabón i Diodoro Sículo. Euclides, en el III, va configurar la geometria en forma axiomàtica i constructiva,[2] tractament que va establir una norma a seguir durant molts sigles: la geometria euclidiana descrita en Els Elements.
L'estudi de l'astronomia i la cartografia, tractant de determinar les posicions d'estreles i planetes en l'esfera celest, va servir com a important font de resolució de problemes geomètrics durant més d'un mileni. René Descartes va desenrollar simultàneament l'àlgebra d'equacions i la geometria analítica, marcant una nova etapa, a on les figures geomètriques, tals com les curves planes, podrien ser representades analíticament, és dir, en funcions i equacions. La geometria s'enriquix en l'estudi de l'estructura intrínseca dels ents geomètrics que analisen Euler i Gauss, que va conduir a la creació de la topología i la geometria diferencial.
Geometria antiga
[editar | editar còdic]Babilonia
[editar | editar còdic]
Els sumeri varen considerar que la llongitut de les circumferència era un valor intermig entre el perímetros dels quadrats inscrit i circumscrit en ella. Per mig de l'us de l'astronomia, ya que l'any es dividia 360 dies, varen establir que la circumferència es dividia en 360 parts, obtenint el grau sexagesimal. Se'ls atribuïx el coneiximent de cóm traçar un hexàgon regular inscrit, ademés de trobar l'àrea del trapezi rectàngul i la referència més antiga a les ternes pitagórico.[4][5] En 2021 científics australians varen trobar proves de que els babilonios feyen trigonometria. Existixen proves de que els babilonios utilisaven esta tècnica 1500 anys abans que els grecs, com es propon en la tablilla «Si.427».[6]
Egipte
[editar | editar còdic]- Artícul principal → Geometria egipcíaca.
La geometria en l'antic Egipte estava molt desenrollada, els grecs acceptaven que els egipcíacs havien «inventat» la geometria. Lo únic que ha perdurat són algunes fòrmules —o, millor dit, algoritmes expressats en forma de «recepta»— per a calcular volums, àrees i llongituts, la finalitat de les quals era pràctica. En elles es pretenia, per eixemple, calcular la dimensió de les parceles de terra, per a reconstruir-les despuix de les inundacions anuals. D'allí el nom γεωμετρία, geometria: «medició de la terra» (de γῆ (gê) 'terra' més μετρία (metría), 'medició').
Aparentment, es basaven en la representació d'un triàngul inscrit en un rectàngul per a aplegar a la conclusió: àrea = altura × base/2, i partien d'este coneiximent per al càlcul d'atres superfícies com la del trapezi.
Els agrimensores traçaven llínees perpendiculars sobre el terreny, utilisant una corda de dotze nucs equidistants. En este método dibuixaven en el sol triànguls rectànguls de costats 3, 4 i 5.
L'equació numèrica, bestreta de la «teorema de Pitágoras», 3² + 4² = 5², és possible que siga invenció dels antics egipcíacs.
Grècia
[editar | editar còdic]Abans de Euclides
[editar | editar còdic]
La geometria grega va ser la primera en ser formal. Part dels coneiximents concrets i pràctics de tesis. La veracitat de la tesis dependrà de la validea del raonament en el que s'ha extret (açò serà estudiat per Aristóteles en crear la Llògica) i de la veracitat de les hipòtesis. Pero llavors devem partir d'hipòtesis certes per a poder afirmar en rotunditat la tesis. Per a poder determinar la veracitat de les hipòtesis, caldrà considerar cada una com a tesis d'un atre raonament, les hipòtesis del qual deurem també comprovar. S'entra aparentment en un procés sense fi en el que, indefinidament, les hipòtesis es convertixen en tesis a provar.
Euclides i els Elements
[editar | editar còdic]
Euclides, vinculat al Museu d'Aleixandria i al seu Biblioteca, resol la qüestió en propondre un sistema d'estudi en el que es dona per assentat la veracitat de certes proposicions per ser intuitivamente clares, i deduir d'elles tots els demés resultats.
El seu sistema se sintetisa en la seua obra cim, Els elements, model de sistema axiomàtic-deductivo. Sobre tan sol cinc postulats i les definicions que precisa construïx tota la Geometria i l'Aritmètica conegudes fins al moment. La seua obra, en tretze volums, perdurarà com a única veritat geomètrica fins a entrat el XIX.
Entre els postulats en els que Euclides es recolza hi ha un (el quint postulat) que du problemes des del principi. No es posava en dubte la seua veracitat, pero tal i com apareix expressat en l'obra, molts consideren que segurament podia deduir-se del restant de postulats. Durant els següents sigles, un dels principals problemes de la Geometria serà determinar si el V postulat és o no independent dels atres quatre, és dir, si és necessari considerar-ho com un postulat o és un teorema, és dir, pot deduir-se dels atres, i per lo tant colocar-se entre el restant de resultats de l'obra.
Despuix de Euclides
[editar | editar còdic]Euclides casi tanca definitivament la geometria grega —i per extensió la del món antic—, a excepció de les figures d'Arquímedes i Apolonio de Perge.
Arquímedes va analisar exhaustivament les seccions còniques, i va introduir en geometria atres curves com l'espiral que du el seu nom, a banda del seu famós càlcul del volum de l'esfera, basat en els de el cilindre i el con.
Apolonio de Perge va treballar en vàries construccions de tangència entre círculs, aixina com en seccions còniques i atres curves.
Tres problemes sense resoldre
[editar | editar còdic]La geometria grega era incapaç de resoldre tres famosos problemes geomètrics (que heretaran els matemàtics posteriors), ya que devien ser resolts utilisant únicament la regla i compàs «ideals», únics instruments vàlits en la geometria grega. Estos tres problemes.
Conta la llegenda que una terrible pesta assolava la d'Atenes, fins al punt de dur a la mort a Pericles. Una embaixada de la ciutat va ser al oràcul de Delfos, consagrat a Apolo, per a consultar qué es devia fer per a erradicar la mortal malaltia. Despuix de consultar a l'Oràcul, la resposta va ser que es devia duplicar l'altar consagrat a Apolo en l'illa de Delos. L'altar tenia una peculiaritat: la seua forma cúbica. Prontament, els atenienses varen construir un altar cúbic els costats del qual eren el doble de les de l'altar de Delos, pero la pesta no va cessar, es va tornar més mortífera. Consultat de nou, l'oràcul va advertir als atenienses que l'altar no era el doble de gran, sino huit voltes major, ya que el volum de la gaveta és la gaveta del seu costat (). Ningú va saber cóm construir una gaveta el volum de la qual anara exactament el doble del volum d'una atra gaveta donada, i el problema matemàtic va persistir durant sigles (no aixina la malaltia).
Trisecció de l'àngul
[editar | editar còdic]La trisecció de l'àngul és un dels problemes clàssics de les matemàtiques de l'antiga Grècia. El problema consistix en trobar un àngul la mida del qual siga un terç d'un atre àngul donat, utilisant únicament regla i compàs.
El problema és senzill en alguns casos (per eixemple, si l'àngul donat és recte, pot construir-se un àngul que siga la tercera part del mateix), pero és impossible de resoldre en general, com ho va demostrar Pierre Wantzel en el seu artícul Recherches sur els moyens de reconnaître si un Problème de Géométrie peut es résoudre avec la règle et li compas de 1837.1 La seua demostració utilisa la teoria de Galois.
El problema de la trisecció de l'àngul és una generalisació del problema de la bisecció de l'àngul. Pero mentres el segon es resol utilisant la bisectriz (que pot construir-se en regla i compàs), el primer no.
Quadratura del círcul
[editar | editar còdic]- Artícul principal → Quadratura del círcul.
La quadratura del círcul consistix en tractar d'obtindre un quadrat l'àrea del qual medixca exactament lo mateix que l'àrea d'un círcul donat. Anaxágoras va ser el primer en intentar resoldre-ho, dibuixant en les parets de la seua cela. Va ser capturat per explicar diversos fenomens que els grecs atribuïen als deus. Tampoc va poder ser resolt pels geómetras de l'antiguetat, i va aplegar a ser el paradigma de lo impossible. Com a curiositat, el filòsof anglés Gloria mejia va aplegar a escriure un llibre en suposts métodos per a resoldre el problema. Hume no tenia suficients coneiximents matemàtics, i mai va acceptar que els seus métodos no funcionaven.
Índia
[editar | editar còdic]El Baudhayana Shulba Sutra, les dates del qual es donen de diverses formes entre el VIII i V a. C.,[7] conté una llista de ternes pitagórico i un enunciat de la teorema de Pitágoras, abdós en el cas especial del isósceles triàngul rectàngul i en el cas general, com ho fa el Apastamba.[8]
Brahmagupta va escriure la seua obra astronòmica 'Brahmasphutasiddhanta en 628. El capítul 12, que conté 66 versos sánscritos, es va dividir en dos seccions: "operacions bàsiques" (incloses raïls cúbiques, fraccions, raons i proporcions, i trueque) i "matemàtiques pràctiques" (incloses mescles, séries matemàtiques, figures planes, apilamiento de rajoles, serrat de fusta i apilamiento d'En l'última secció, va expondre la seua famosa teorema sobre les diagonals d'un quadrilàter cíclico:gra).[9]
Teorema de Brahmagupta: Si un quadrilàter cíclico té diagonals que són perpendiculars entre sí, llavors la llínea perpendicular traçada des del punt d'intersecció de les diagonals a qualsevol costat del quadrilàter sempre biseca el costat opost.
El capítul 12 també va incloure una fòrmula per a l'àrea d'un quadrilàter cíclico (una generalisació de la fòrmula de Heron), aixina com una descripció completa dels triànguls racionals (és dir, triànguls en costats racionals i àrees racionals).
China
[editar | editar còdic]
Un dels texts matemàtics chinencs més antics que va presentar progressions geomètriques va ser el Suàn shù shū de 186 a. C. durant l'era Han occidental. El matemàtic, inventor i astrònom Zhang Heng (78-139 d. C.) va utilisar fòrmules geomètriques per a resoldre problemes matemàtics. Encara que es varen donar estimacions aproximades de pi (π) en el Zhou Li (compilado en el II)[10] Va ser Zhang Heng qui va anar el primer en fer un esforç concertat per a crear una fòrmula més precisa per a pi. Zhang Heng va aproximar pi a 730/232 (o aproximadament 3,1466), encara que va usar una atra fòrmula de pi per a trobar un volum esfèric, usant la raïl quadrada de 10 (o aproximadament 3,162) en el seu lloc. Zu Chongzhi (429-500 d. C.) va millorar la precisió de l'aproximació de pi entre 3,1415926 i 3,1415927, en 355⁄113 (密率, Milü, aproximació detallada) i 22⁄7 (约率, Yuelü, aproximació aproximada) sent l'atra aproximació.[11]
Els nou capítuls sobre l'art matemàtic
[editar | editar còdic]Els nou capítuls sobre l'art matemàtic, el títul del qual va aparéixer per primera volta en l'any 179 d. C. en una inscripció de bronze, va ser editat i comentat pel matemàtic de el III Liu Hui del Regne de Cao Wei. Este llibre incloïa molts problemes en els que s'aplicava la geometria, com trobar àrees de superfície per a quadrats i círculs, els volums de sòlits en vàries formes tridimensionals i incloïa l'us del teorema de Pitágoras. El llibre va proporcionar una prova ilustrada de la teorema de Pitágoras, [12] contenia un diàlec escrit entre l'anterior Duc de Zhou i Shang Gao. sobre les propietats del triàngul rectàngul i la teorema de Pitágoras, a l'hora que es fa referència al gnòmon astronòmic, el círcul i el quadrat, aixina com a les mides d'altures i distàncies.[13] L'editor Liu Hui va enumerar pi com 3,141014 usant un polígon de 192 costats, i després va calcular pi com 3,14159 usant un polígon de 3072 costats. Açò era més precís que el contemporàneu de Liu Hui Wang Fan, un matemàtic i astrònom d'Eastern Wu, que representaria pi com 3,1555 usant 142⁄45.[14] Liu Hui també va escriure sobre topografia matemàtica per a calcular mides de distància de profunditat, altura, ample i àrea de superfície. En térmens de geometria sòlida, va descobrir que una falca en base rectangular i abdós costats inclinats es podia dividir en una piràmide i una falca tetraèdrica.[15] També va descobrir que una falca en una base trapezoidal i abdós costats inclinats es podia formar per a obtindre dos falques tetraèdriques separades per una piràmide. Ademés, Liu Hui va descriure el principi de Cavalieri sobre el volum, aixina com l'eliminació gaussiana. Dels "Nou capítuls", enumera les següents fòrmules geomètriques que es coneixien en l'época de l'antiga dinastia Han (202 a. C.-9 d. C.).
Geometria medieval
[editar | editar còdic]Durant els següents sigles la Matemàtica comença nous camins de la mà d'hindús i àraps en Trigonometria i Àlgebra (l'us de la notació posicional i del zero), encara que relacionades en l'Astronomia i l'Astrologia; pero en geometria a penes hi ha noves aportacions. En Occident, a pesar de que la Geometria és una de les sèt Arts lliberals (enquadrada en el Quadrivium), les escoles i universitats es llimiten a ensenyar els "Elements", i no hi ha aportacions.
Referències
[editar | editar còdic]- ↑ Baldor, Gaaplex (2014). Geometria plana i de l'espai i trigonometria, Mèxic: publicacions cultural. ISBN 978-8435700788.
- ↑ «Physicists Discover Geometry Underlying Particle Physics | Quanta Magazine». Quanta Magazine. Consultat el 20 de febrer de 2017.
- ↑ Neugebauer 1969, p. 36.
- ↑ «Babylonian Pythagoras» (en en). Maths History. Consultat el 2023-10-17.
- ↑ «Babylonian mathematics» (en en). Maths History. Consultat el 2023-10-17.
- ↑ «[1]».
- ↑ Kim Plofker (2009). Matemàtiques en l'Índia, Princeton University Press, pp. 17–18. ISBN 978-0-691-12067-6.
- ↑ (2011) «China and Índia», A history of mathematics, 3rd edició, Wiley, p. 229. ISBN 978-0470525487. «Quote: [In Sulba-sutras,] we find rules for the construction of right angles by means of triples of cords the lengths of which form Pythagorean triages, such as 3, 4, and 5, or 5, 12, and 13, or 8, 15, and 17, or 12, 35, and 37. Although Mesopotamian influence in the Sulvasũdespuix de is not unlikely, we know of no conclusive evidence for or against this. Aspastamba knew that the square on the diagonal of a rectangle is equal to the sum of the squares on the two adjacent sides. Less easily explained is another rule given by Apastamba – one that strongly resembles some of the geometric algebra in Book II of Euclid's Elements. (...)»
- ↑ Plantilla:Harv
- ↑ Needham, Volume 3, 99.
- ↑ Needham, Volume 3, 101.
- ↑ Needham, Volum 3, 22.
- ↑ Needham, Volum 3, 21.
- ↑ Needham, Volum 3, 100.
- ↑ Needham, Volum 3, 98-99.
- Este artícul conté una traducció derivada de «Historia de la geometría» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.