Anar al contingut

Quadratura del círcul

De L'Enciclopèdia, la wikipedia en valencià
Archiu:Finé, Oronce – Quadratura circuli, 1544 – BEIC 99133.jpg
Quadratura del círcul
Archiu:Cuadratura-circulo-02.png
No existix un método geomètric que permeta la quadratura del círcul, és dir, relacionar un círcul i un quadrat d'igual àrea utilisant solament una regla i un compàs.

La quadratura del círcul (també, quadrar el círcul) és un dels tres problemes clàssics de la matemàtica antiga. La tasca geomètrica consistix en construir un quadrat en la mateixa àrea que un círcul donat per mig d'un número finito de passos. És un problema equivalent a la rectificació de la circumferència, és dir, a la construcció d'un segment recte en la mateixa llongitut que una circumferència donada. Abdós qüestions a la seua volta estan vinculades a la construcció del número π (la mitat de la llongitut d'una circumferència en un radi igual a l'unitat) a partir d'un segment la llongitut del qual és igual a 1 unitat de llongitut. Si es restringixen els mijos de construcció a regla i compàs, la tasca no es pot resoldre per la transcendència del número π. No va ser fins a 1882 que el matemàtic alemà Carl Louis Ferdinand von Lindemann va poder demostrar-ho.

És un dels problemes més populars de les matemàtiques. Durant sigles, tant matemàtics professionals com a aficionats varen buscar en va una solució. El terme quadrar el círcul s'ha convertit en una metàfora en molts idiomes per a descriure una tasca sense solució.[1]

Història

[editar | editar còdic]

Prehistòria

[editar | editar còdic]
Archiu:Circle in square with grid.svg
Método d'aproximació de Ahmes (del Papir de Ahmes):
Un círcul en diàmetro  9 inscrit en un quadrat en llongitut de costat 9, que es dividix en nou quadrats més menuts en llongitut de costat 3.
L'àrea del círcul correspon aproximadament a la d'un octògon (irregular) (de 7x9) i alguna cosa més precisament, a la d'un quadrat en una llongitut de costat 8 (64)

Ya existien procediments per a calcular aproximadament àrees circulares en les antigues cultures d'orient. Per eixemple, en el Papir de Ahmes (al voltant de 1650 a. C.) es pot vore el diàmetro d'un círcul dividit en 9 parts. La seua àrea exacta en estes unitats és π4⋅92=63,62…. Este valor s'aproxima a un quadrat de llongitut costat 8, és dir, 82=64. En un segon método, el círcul s'aproxima per mig d'un octógono irregular. Per a això, es tallen triànguls iguals en un total de 18 unitats d'àrea del quadrat de 9×9 en el que està inscrit, de modo que queden 63. Dites solucions es varen obtindre empíricamente i estaven destinades a la pràctica, sense més consideracions teòriques. En particular, no es va fer distinció entre la solució exacta i l'aproximació.[2]


Els primers procediments deductivos basats en les matemàtiques, en els que les demostracions estaven respalades per teoremas es varen desenrollar a partir de el VI en Grècia. Fins a cert punt, ya es poden entrevore en Tals de Mileto, i més clarament en l'escola dels pitagórico fundada per Pitágoras.[3] En el descobriment dels incommensurables, comunament atribuït a l'pitagórico Hípaso de Metaponto a finals de el VI o principis de el V, es va constatar que hi ha objectes construibles en regla i compàs (com per eixemple, la diagonal d'un quadrat) que no es poden representar com un cocient d'número entero. Este fet es va convertir en un descobriment notable, ya que fins a llavors els únics tipos de números coneguts eren els sancers i les proporcions sanceres (en el llenguage actual, els "número racional"), i en conseqüència s'havia pensat que totes les llínees geomètriques tenien que ser conmensurables, és dir, tenien que tindre una relació de llongitut sancera entre sí. En conseqüència, es va comprovar que era possible construir geomètricament llongituts que no podien representar-se de forma aritmètica com un "número" en el sentit anterior (en l'us llingüístic actual, són els "número irracional"). De sobte, la geometria podia representar més de lo que podia representar l'aritmètica.[4][5] Com a resultat d'este descobriment, l'aritmètica va passar a un segon pla a favor de la geometria. A partir de llavors, les equacions tindrien que resoldre's geomètricament, per eixemple, colocant figures una al costat de l'atra i convertint-les en rectànguls o quadrats. Els tres problemes clàssics de construcció de les matemàtiques antigues daten de finals de el V: ademés de quadrar el círcul, la tasca de la trisecció de l'àngul i el problema de Delos (consistent en duplicar una gaveta).[6]

En general, no s'exigia una restricció dels mijos de construcció a la regla i el compàs. Des del principi, es varen trobar solucions als tres problemes clàssics basats en ajudes adicionals. No obstant, en el pas del temps va sorgir la tendència d'impondre restriccions més rígides, i ya en l'época de Pape d'Aleixandria s'havia impost este criteri.[7][8]

Primers treballs

[editar | editar còdic]

Segons l'escritor grec Plutarco, el filòsof Anaxágoras va ser un dels primers en haver "escrit sobre la quadratura del círcul mentres va estar en presó" ("escrit" o possiblement "dibuixat", del grec "ἔγραφε"),[9] encara que no proporciona més detalls sobre la construcció de Anaxágoras. L'encarcerament de Anaxágoras es va produir al voltant del 430 a. C., quan el filòsof va ser acusat d'asebeia (irreverencia cap a deus i antepassats) en Atenes.[10]

Les fonts més detallades sobre els inicis de l'investigació són principalment comentaris de l'antiguetat tardana sobre treballs d'Aristóteles, és dir, texts que es varen escriure en una diferència d'aproximadament 900 anys. En conseqüència, l'orde cronològic i els processos de pensament exactes dels primers enfocaments són incerts. Les obres més importants de el V Provenen d'Hipócrates de Quíos, Antifonte, Brisón de Heraclea i Hipias de Élide.[11]

Archiu:Hippokratovy měsíčky.png
"Lúnula de Hipócrates": l'àrea de les "lúnula" verts equival a la del triàngul rectàngul

La conversió de triànguls en rectànguls, de rectànguls en quadrats (quadratura del rectàngul) o la suma de dos quadrats (teorema de Pitágoras) eren pràctiques elementals en les teoremes geomètriques coneguts. Al voltant del 440 a. C., Hipócrates de Quíos va donar un eixemple d'un àrea curvilíneamente llimitada que podia convertir-se exactament en un quadrat. Basat en la teorema, que encara usava com a axioma, de que les àrees de segments similars d'un círcul es comporten com els quadrats sobre les seues cordes, Hipócrates va conseguir quadrar àrees delimitades per arcs circulares, les cridades "lúnula de Hipócrates".[12] No obstant, la quadratura del círcul no es pot conseguir d'esta manera, ya que solament es poden quadrar certes lúnula (com les construïdes sobre els costats d'un quadrat), pero no és possible fer-ho a partir dels costats d'un hexàgon regular. En el XX Chebotariov i Dorodnov varen provar que, en general, les lúnula no poden quadrar-se llevat els tres tipos de lúnula proposts per Hipócrates i dos tipos més aportats per Leonhard Euler en el XVIII. D'esta forma va quedar de manifest que la quadratura de la lúnula no era una atra cosa que una solució excepcional d'un problema irresoluble, cosa que va confondre als matemàtics durant sigles, creent que les lúnula podrien acostar-los a la quadratura del círcul.

El fet de que els triànguls (i per lo tant els polígons) pogueren convertir-se en un quadrat va ser un segon enfocament per a construir un polígon en la mateixa àrea que el círcul. Antifonte va tindre l'idea d'aproximar el círcul en polígons inscrits. Brisón de Heraclea va refinar este procediment aproximant adicionalment el círcul en polígons circumscrits i formant un valor intermig.[13]


Hipias de Élide va idear al voltant del 425 a. C. un procediment per a resoldre la trisecció angular per mig d'una curva que es va generar mecánicamente superponent un moviment circular en un llineal. Cent anys despuix, Dinóstrato va descobrir que en l'ajuda d'esta curva, coneguda com cuadratriz de Hipias, es pot construir el segment de llongitut 2/π; i per lo tant, també un quadrat d'àrea π en l'ajuda de més construccions elementals. No obstant, ya que la circumferència en sí és una curva transcendent, no és possible obtindre el seu desenroll en regla i compàs exclusivament, per lo que no es va conseguir trobar la solució buscada en sentit estricte.[14][15]

Arquímedes

[editar | editar còdic]
Archiu:Quadratur Spirale.svg
Quadratura del círcul en ajuda de l'espiral: A denota el punt de l'espiral al voltant de l'orige O, al que aplega despuix del primer regrés. La tangente a l'espiral en este punt talla a la perpendicular a OA en B. Segons Arquímedes, el segment BO és igual a la circumferència del círcul en radi OA, per lo que l'àrea del círcul roig és igual a l'àrea del triàngul blau

Un tractat detallat en el títul "Medició circular" nos ha aplegat d'Arquímedes,[16] qui va demostrar tres teoremes bàsiques en este treball:

  1. L'àrea d'un círcul és igual a l'àrea d'un triàngul rectàngul en el radi del círcul com un dels seus catetos i la circumferència com l'atre. L'àrea del círcul es pot calcular com: (½·ràdio·circumferència).
  2. L'àrea d'un círcul està relacionada en el quadrat del seu diàmetro casi com: 11/14 (≃π/4).
  3. La circumferència d'un círcul és major que (3+10/71) i menor que (3+10/70) del diàmetro.

En la primera proposició, el problema de quadrar el círcul es va reduir a la qüestió de la constructibilidad de la circumferència d'un círcul a partir d'un radi donat i, per lo tant, la constructibilidad de π. En la tercera proposició, Arquímedes va donar una aproximació simple i precisa d'este número, a saber, 22/7, un valor (≈ 3,143) que encara s'utilisa hui en dia en fins pràctics. La segona proposició és un corolari simple de les atres dos: que l'àrea d'un círcul és proporcional al quadrat del seu diàmetro, lo que ya sabia Euclides.[17] Arquímedes va donar ací el valor de la constant de proporcionalitat.


Com a prova de les seues afirmacions, Arquímedes es va basar en l'idea de Brisón de Heraclea, en la que es pot conseguir qualsevol aproximació del círcul per mig de polígons regulars inscrits i circumscrits. A partir de l'hexàgon inscrit i del triàngul circumscrit, Arquímedes va aplegar als 96 costats duplicant successivament el número de cares. Una estimació inteligent de les raïls quadrades que apareixen en els successius passos del càlcul li va permetre obtindre com resultat els llímits mencionats en la tercera proposició.[18][19]

En un atre treball, "Sobre les espirals",[20] Arquímedes va descriure la construcció de l'espiral arquimediana (posteriorment nomenada aixina en el seu honor), que com la cuadratriz de Hipias, s'obté superponent un moviment circular en un atre llineal. Va demostrar que en aplicar la tangente a esta espiral, és possible determinar un segment rectilíneo de la mateixa llongitut que la circumferència d'un círcul donat. Autors posteriors citen este treball com una referència per a quadrar el círcul, encara que el propi Arquímedes no va deixar cap menció al respecte. No obstant, de la mateixa manera que succeïx en la cuadratriz, ni l'espiral ni la seua tangente es poden construir en regla i compàs.[21]

Archiu:Quadratur Franco.svg
La quadratura del círcul de Franco de Lieja per mig de la divisió del círcul en 44 sectors, que junta per a formar un rectàngul

Com a resultat d'un major interés per les matemàtiques antigues en l'Europa cristiana des d'al voltant de el XI en avant, varen sorgir varis tractats sobre la quadratura del círcul, pero sense cap contribució significativa a la solució real. Deu vore's com un pas arrere que en l'Edat Mija el valor aproximat de Arquímedes de 22/7 per al número π es va considerar un valor exacte durant molt temps.[22]


Un dels primers autors medievals en revisar el problema de la quadratura del círcul va ser Franco de Lieja. Cap a 1050 va publicar la seua obra "De quadratura circuli",[23] en la que presenta per primera volta tres sistemes de quadratura, que rebuja. Els dos primers indiquen un quadrat de costat 7/8 o de diagonal 10/8 del diàmetro del círcul, que correspon a aproximacions relativament pobres de 31/16 i de 31/8 per a π. La tercera sugerència, a la seua volta, equipara el perímetro del quadrat a la circumferència del círcul, lo que requerix que es rectifique esta última.

La pròpia solució de Franco es basa en un círcul en un diàmetro de 14 unitats. Establix la seua àrea exactament com 7² ×22/7 = 154. Segons l'argumentació de Franco, cap quadrat d'igual àrea pot trobar-se matemàticament, ya que la raïl quadrada de 22/7 és irracional, pero com una llínea incommensurable geomètricament construible (vegen-se els antecedents), la raïl quadrada de 22/7 proporciona la quadratura. Per a aplegar a este resultat, dividix el círcul en 44 sectors idèntics, que combina per a formar un rectàngul de costats 11 i 14. No obstant, Franco no explica el pas per mig del que substituïx els sectors circulares per triànguls rectànguls en catetos de llongitut 1 i 7.[24] El seu intent fallanc de convertir el rectàngul en un quadrat per mig d'una descomposició adequada també és problemàtic. Evidentment, Franco no estava familiarizado en el procediment grec tradicional.[24]

Els tractats posteriors de la tradició escolàstica es llimiten a sospesar els arguments dels matemàtics clàssics coneguts per llavors. La difusió de les traduccions llatines dels escrits de Arquímedes en l'Edat Mija va permetre que el valor 22/7 es reconeguera novament com una aproximació i es varen buscar noves solucions al problema. Per eixemple, Nicolás de Cusa va prendre l'idea d'aproximar el círcul per mig d'una série de polígons regulars en un número creixent de costats, pero a diferència de Arquímedes, no va buscar determinar la circumferència, sino que va optar per determinar el radi del círcul circumscrit per a un perímetro constant dau dels polígons. En una carta al mege i naturaliste Paolo Toscanelli, el filòsof i teòlec von Kues va donar esta solució, pensant que era correcta. El valor determinat a partir d'este procediment per a π està a lo manco entre els llímits donats per Arquímedes. El treball real de Kues sobre el tema proporciona aproximacions significativament més pobres i aixina es va convertir en el blanc d'una polèmica suscitada per l'astrònom Johann Müller Regiomontano, que va demostrar la inexactitud dels càlculs i va calificar la demostració de "filosòfica, pero no matemàtica".[25]

Alvanços a l'inici del periodo modern

[editar | editar còdic]

Des de el XVI en avant, el major desenroll del método d'aproximació de Arquímedes i l'aparició dels métodos analítics moderns varen produir alvanços en el càlcul de figures circulares.


En el método de Arquímedes original, la circumferència d'un círcul s'estima pel perímetro d'un polígon inscrit en l'interior d'un círcul i el d'un polígon circumscrit al voltant del círcul. L'obtenció de llímits més precisos es conseguix aumentant el número de costats dels polígons. El matemàtic holandés Willebrord Snel van Royen (Snellius) va descobrir que, sense aumentar el número de costats, es poden especificar llímits més fins per a la llongitut d'un arc usant solament les cordes dels polígons. No obstant, no va poder provar este resultat rigorosament.[26] El perfeccionament de l'enfocament snelliano va ser abordat per Christiaan Huygens en la seua obra "De circuli magnitudine inventa",[27] en la que també va proporcionar la demostració de les teoremes plantejades per Snellius.[28] Usant un método geomètric relativament elemental, Huygens va conseguir delimitar l'àrea entre el polígon i el círcul tan ben que, per al número corresponent de costats dels polígons, la precisió resultant era a lo manco quatre voltes superior a l'obtinguda en el método de Arquímedes.[29]

L'enfocament purament geomètric per a determinar la constant circular es va agotar essencialment en el treball de Huygens. Es varen obtindre millors aproximacions usant séries infinites, específicament l'expansió en séries matemàtiques de funcions trigonométricas.[28] Encara que François Viète ya havia trobat la primera representació exacta de π per mig d'un producte infinit a fins de el XVI en considerar certes relacions entre polígons successius, esta fòrmula va demostrar ser difícil de manejar. Una série més simple que també solament necessita multiplicacions i divisions prové de John Wallis,[30] i es deu a William Brouncker una atra fòrmula per a calcular π per mig d'una fracció contínua.[31]


Més important en la pràctica seria la série trobada per James Gregory i independentment per Gottfried Leibniz per a calcular l'arc tangente.[32] Encara que esta série convergix llentament, permet deduir atres séries que a la seua volta són molt adequades per a calcular el número π. A principis de el XVIII es varen calcular més de 100 dígits de π en l'ajuda de tals séries,[33] pero no es va poder obtindre nous coneiximents sobre el problema de la quadratura del círcul.

Problema algebraic i irracionalitat de π

[editar | editar còdic]
Archiu:Descartes La-Geometrie 1637.png
Al començ del seu "Géométrie", Descartes descriu el nou enfocament de la geometria analítica
Archiu:Finé, Oronce – Quadratura circuli, 1544 – caps block 89 99133.jpg
Oronce Vaig finar, Quadratura circuli, 1544
Archiu:Faurè - Dissertation, découverte, et demonstrations de la quadrature mathematique du cercle, 1747 - 1515965.jpg
J. P. de Fauré, Dissertation, découverte, et demonstrations de la quadrature mathematique du cercle, 1747

Per a resoldre el problema, era necessari, per un costat, donar-li al terme geomètric "construible" un significat algebraic i, per un atre costat, observar més de prop les propietats del número π.

Una construcció geomètrica en regla i compàs es basa en un número finito de punts donats i en determinar per mig d'un número finito de passos nous punts en creuar dos llínees rectes, dos circumferències o una llínea recta en una circumferència. La traducció d'este procediment al llenguage de l'àlgebra es va conseguir per mig de l'introducció del sistema de coordenades gràcies a Pierre de Fermat, procediment desenrollat principalment per René Descartes a través de la geometria analítica en el XVII.[34] Les rectes i les circumferències podrien descriure's en els nous mijos per mig d'equacions, i les interseccions podien determinar-se resolent sistemes d'equacions. Va resultar que les llongituts de llínea que es poden construir en un compàs i una regla basats en una llínea de llongitut 1, es corresponen exactament als números que resulten d'un número finito d'operacions racionals bàsiques (suma, resta, multiplicació i divisió) i a un número finito de raïls quadrades resultants de l'operació inversa d'elevar al quadrat.[35]

En particular, estes llongituts pertanyen als número algebraico, i formen un subconjunt dels números que són una solució d'una equació algebraica de qualsevol grau en coeficients racionals. Els números que no són algebraics es diuen transcendentes. En conseqüència, a partir de la llongitut 1, no es poden construir llongituts trascendentes en un número finito de passos en un compàs i una regla.[36][37]


El punt de partida per a futures investigacions sobre el número π varen ser algunes troballes fonamentals de Leonhard Euler, que havia publicat en 1748 en la seua obra "Introductio in analysin infinitorum".[38] Entre atres coses, va presentar la fòrmula de Euler:

eiz=cos⁡z+isen⁡z

que per primera volta permetia establir una conexió entre les funcions trigonométricas i la funció exponencial, i que també va proporcionar algunes fraccions contínues i representacions en série de π i del número i (la denominació del qual és una referència a l'inicial del llinage del gran matemàtic).[39]

Johann Heinrich Lambert va fer us d'este treball previ, i en l'ajuda d'una de les expansions en fraccions contínues de Euler, va poder demostrar per primera volta en 1766 que i i π són irracionals, és dir, números que no poden ser representats per mig d'una fracció sancera.[40] Adrien-Marie Legendre va tancar en 1806 un chicotet estany en l'argument de Lambert, i al mateix temps va proporcionar la prova de l'irracionalitat de π2.[41]

La presunció de que π podria no ser algebraic va ser expressada a lo manco per Euler, Lambert i Legendre. No obstant, fins a mediats de el XIX encara no va estar clar si existien número trascendente. Esta prova la va obtindre entre 1844 i 1851 el matemàtic francés Joseph Liouville per mig de la construcció explícita de números de liouville trascendentes.[42]

Prova de l'impossibilitat de la quadratura

[editar | editar còdic]

Carl Louis Ferdinand von Lindemann va poder demostrar finalment en 1882 que π no és un número algebraico, sino transcendent. Per lo tant, no és possible rectificar la circumferència ni quadrar el círcul.[43]

Lindemann va utilisar en el seu treball un resultat del matemàtic francés Charles Hermite, qui havia demostrat en 1873 que el número i és transcendent.[44] Basant-se en este resultat, Lindemann va poder provar el cridat teorema de Lindemann–Weierstrass, que diu que per a qualsevol número algebraico z1,…,zr i per a qualsevol número algebraico n1,…,nr l'equació

∑i=1rniezi=0

solament es pot aplicar si tots els ni tenen valor zero.[45] En particular, l'expressió ez no pot produir un número racional per a cap número algebraico z distint de zero. A partir d'esta premissa, Lindemann va poder contradir la suposició de que π és algebraic en l'ajuda de la fòrmula de Euler eiπ=−1; i en conseqüència π tenia que ser transcendent.[44]

La prova de Lindemann de la transcendència de π es va simplificar considerablement en els anys i décades següents, en aportacions destacades de David Hilbert en 1893.[46]

Popularitat del problema

[editar | editar còdic]

Com poques atres qüestions, la quadratura del círcul també va alcançar una gran popularitat fòra de les matemàtiques, de manera que molts matemàtics aficionats varen intentar resoldre el problema aparentment simple; i alguns varen creure haver-ho solucionat.

En algunes obres de Jean-Étienne Montucla,[47] Johann Heinrich Lambert[48] i d'Augustus De Morgan es poden trobar informes sobre un volum creixent de treballs d'aficionats dels sigles XVIII i XIX, ilustrats en eixemples sobre el tema.[49]

Normalment es tractava de procediments per mig dels que el problema es resolia "exactament" de forma mecànica, numèrica o per mig d'una construcció d'aproximacions geomètriques. Tals treballs es varen presentar davant un número tan gran de matemàtics i d'institucions científiques que, per eixemple, l'Acadèmia de Ciències de França en 1775 es va vore obligada a rebujar oficialment les solicituts de dictaminar sobre les supostes solucions de la quadratura del círcul i d'atres problemes clàssics:[50]


Inclús despuix de la prova d'impossibilitat presentada per Lindemann en 1882, en el XX es varen publicar supostes quadratura del círcul, que en temps més recents s'han convertit en un tema més de la matemàtica recreativa sobre els intents fallancs de diversos aficionats a les matemàtiques.

Una de les principals raons del seu gran atractiu, especialment per als matemàtics aficionats, és que es tracta d'un problema elemental que pot entendre's o a lo manco sembla ser comprensible inclús sense un coneiximent matemàtic profunt. Junt en els numerosos intents fallancs de solucions per part de científics més o menys reconeguts, el problema de la quadratura del círcul va conseguir un verdader halo de prestigi.[51]


Una atra raó dels numerosos esforços per a quadrar el círcul que no deu subestimarse, va ser la creència generalisada de que la solució al problema podria supondre una important recompensa econòmica, una idea infundada que va poder estar basada en la suposició errònea de que la quadratura del círcul estava directament relacionada en el problema largamente sense resoldre de la determinació exacta de la llongitut en la mar, per la resolució de la qual s'havien aplegat a oferir quantiosos premis. Esta creència va aplegar a ser tan persistent, que inclús en 1891 encara podia llegir-se en el "Meyers Konversations-Lexikon" que "Carlos I d'Espanya havia oferit 100.000 táleros [per resoldre el problema] i que els estats generals holandesos havien oferit una suma encara major".[52]

Quadratura del círcul famoses

[editar | editar còdic]

Un eixemple destacat d'un matemàtic aficionat que creïa haver trobat la quadratura del círcul va ser el filòsof anglés Thomas Hobbes. La solució, publicada en la seua obra De corpore de 1665 (en realitat, una construcció aproximada), va ser refutada per John Wallis eixe mateix any. En el periodo següent es va desenrollar una forta disputa entre abdós, que no va terminar fins a la mort de Hobbes en 1679.[53]

Lambert cita tres quadratura aproximades del círcul obtingudes per mig de certs valors racionals. Els treballs consegüents, publicats a mitan de el XVIII, estan basats en la fracció 35/31 per a la relació entre el diàmetro del círcul i el costat del quadrat de la mateixa àrea. Açò dona la següent aproximació del número π

π≈38441225=3,1379….[54]

El crític d'art i escritor alemà Gotthold Ephraim Lessing va dedicar el poema "Auf donen Herr M** l'inventor de la quadratura del círcul" a un dels tres autors, el predicador Merkel de Ravensburg.[55]

La quadratura del mege nortamericà Edward J. Goodwin inclús va aparéixer en el primer volum del American Mathematical Monthly en 1894, encara que solament com un anunci de l'autor. El treball en sí mateixa es contradiu i, depenent de com s'interprete la seua llectura, genera distints valors de π. Va ser la base d'un proyecte de llei presentat al parlament d'Indiana en 1897, el cridat "Proyecte de llei d'Indiana sobre pi", a través del com les troballes de Goodwin es convertirien en llei.[56]

Art i cultura

[editar | editar còdic]

Com a evidència més primerenca de l'aparició d'una "quadratura circular" o "cuadrador", ocasionalment se cita un passage de la comèdia Les aus d'Aristófanes que data de el V, en el que Metón apareix com un topógrafo que treballa sobre el pla d'una nova ciutat, i que en ajudes geomètriques pretén conseguir que "el círcul es convertixca en un quadrat". No obstant, esta frase no és una menció a la quadratura d'un círcul, sino a la creació de dos carrers que es creuen entre sí formant ànguls rectes, encara que l'expressió puga semblar una alusió a la quadratura del círcul.[57]

En 1321, Dante Alighieri, en la seua obra la Divina comèdia, va presentar la quadratura del círcul com una tasca que va més allà de l'enteniment humà i que compara en la seua pròpia incapacitat per a comprendre el Paraís:


En l'innovadora novela de James Joyce publicada en 1922, Ulises, es conta que el protagoniste, Leopold Bloom, va treballar en l'estiu de 1882 arduamente en una solució al problema de "quadrar el círcul" en la finalitat d'obtindre una fortuna supostament gran. Cap al final de la novela, en un llarc diàlec en el seu pare Virag, admet trist i decepcionat el seu fracàs.[58]


Vore també

[editar | editar còdic]

Referències

[editar | editar còdic]
  1. ↑ Diccionario de la lengua española la del círcul. 1. f. coloq. U. per a indicar l'impossibilitat d'alguna cosa.
  2. ↑ Detlef Gronau. «Der Papyrus Rhind» (PDF). Vorlesung zur frühen Geschichte der Mathematik. Karl-Franzens-Universität Graz. Consultat el 2020-03-02.
  3. ↑ Árpád Szabó: Wie ist die Mathematik zu einer deduktiven Wissenschaft geworden? In: Jean Christianidis (Hrsg.): Classics in the History of Greek Mathematics. Boston Studies in the Philosophy of Science, Band 240, Springer Science & Business Mija, 2013, S. 68 ff. (Quadratura del círcul en Google Libros)
  4. ↑ Wolfgang Tzschoppe: 2.3 Die Zahlengerade füllt sich. In: Struktur der Mathematik - Mathematik der Strukturen. Books on Demand, 2012, S. 40 ff. (Quadratura del círcul en Google Libros)
  5. ↑ Andreas Büchter, Hans-Wolfgang Henn: 4.1.1 Ein kurzer historischer Überblick. In: Elementare Analysis: Von der Anschauung zur Theorie. Springer-Verlag, 2010, S. 107 ff. (Quadratura del círcul en Google Libros)
  6. ↑ Detlef Gronau. «Die Klassischen Probleme der Antike» (PDF). Vorlesung zur frühen Geschichte der Mathematik. Karl-Franzens-Universität Graz. Consultat el 2020-02-22.
  7. ↑ Arthur Donald Steele: Über die Rolle von Zirkel und Llineal in der griechischen Mathematik. In: Oskar Becker (Hrsg.): Zur Geschichte der griechischen Mathematik; Wissenschaftliche Buchgesellschaft, Darmstadt 1965, S. 146–202
  8. ↑ Detlef Gronau. «Athenische Periode (∼450−∼300 v. o. Z.)» (PDF). Vorlesung zur frühen Geschichte der Mathematik. Karl-Franzens-Universität Graz. Consultat el 2020-02-22.
  9. ↑ Helmuth Gericke: 4. Die Quadratur dones Kreises; Mathematik in Antike und Orient, Springer-Verlag, 2013, S. 94 (Quadratura del círcul en Google Libros)
  10. ↑ Paul Deussen: Anaxagoras. Allgemeine Geschichte der Philosophie. Band 2. F.A. Brockhaus, Leipzig 1911, S. 124 ff. (Quadratura del círcul en Google Libros)
  11. ↑ Albin Lesky: Die Aufklärung und ihre Gegner: Die Fachwissenschaften. Geschichte der griechischen Literatur. Walter de Gruyter, 2015, S. 545 (Quadratura del círcul en Google Libros)
  12. ↑ Oskar Becker: 3. Lunulae Hippocratis; Dones mathematische Denken der Antike, Göttingen Vandenhoeck & Ruprecht, 1966, S. 58 (Quadratura del círcul en Google Libros)
  13. ↑ Christoph J. Scriba, Peter Schreiber: Möndchenquadratur dones Hippokrates. 5000 Jahre Geometrie: Geschichte Kulturen Menschen. Springer-Verlag, 2013, S. 48 (Quadratura del círcul en Google Libros)
  14. ↑ James Gow: A Short History of Greek Mathematics, Franco von Lüttich. 1884, Reprint: Cambridge University Press, 2010, S. 162–164 (Quadratura del círcul en Google Libros)
  15. ↑ Jean-Paul Delahaye: Geschichte der Zahl π zur Zeit der Geometrie; π — Die Story: Aus dem Französischen von Manfred Stern. Springer-Verlag, 2013, S. 71 ff. (Quadratura del círcul en Google Libros)
  16. ↑ In englischer Übersetzung von Thomas Little Heath: Measurement of a Circle. The works of Archimedes. ed. in modern notation, with introductory chapters. University press, Cambridge 1897, S. 91 ff.; Digitalisat (PDF)
  17. ↑ Rudolf Haller (Übersetzer). «XII.2. Kreise stehen im Verhältnis der Quadrate über ihren Durchmessern.» (PDF). Euklid: Elemente Stoicheia. Markgröningen: Edition Opera-Platonis. Consultat el 2020-02-25.
  18. ↑ F. Rudio: III. Der Umfang eines jeden Kreises ist dreimal baix groß wie der Durchmesser und noch um etwas größer, … Archimedes, Huygens, Lambert, Legendre. Vier Abhandlungen über die Kreismessung. 1892, S. 75 ff. (Plantilla:Internet Archive)
  19. ↑ Eugen Beutel: Archimedes Die Quadratur dones Kreises. 1920, 2. Auflage. Teubner, Leipzig 1920. S. 14 ff.; umich.edu (PDF)
  20. ↑ En traducció a l'anglés de Thomas Heath: On Spirals, The works of Archimedes, ed. in modern notation, with introductory chapters. University press, Cambridge 1897. S. 151 ff., (Digitalisat) (PDF)
  21. ↑ Hans-Dieter Rinkens. «π.3.2 Rektifizierung dones Kreises mit Hilfe der archimedischen Spirale» (PDF). π i i Skript Wintersemester 2017/18. Consultat el 2020-03-02.
  22. ↑ Helmuth Gericke: Wissenschaft im christlichen Abendland (6.–10. Jh.), Franco von Lüttich. Mathematik im Abendland: Von donen römischen Feldmessern bis zu Descartes. Springer-Verlag, 2013, S. 75 ff. (Quadratura del círcul en Google Libros)
  23. ↑ Helmuth Gericke: Wissenschaft im christlichen Abendland (6.–10. Jh.), Franco von Lüttich. Mathematik im Abendland: Von donen römischen Feldmessern bis zu Descartes. Springer-Verlag, 2013, S. 74 ff. (Quadratura del círcul en Google Libros)
  24. ↑ 24,0 24,1 Helmuth Gericke: Wissenschaft im christlichen Abendland (6.–10. Jh.), Franco von Lüttich. Mathematik im Abendland: Von donen römischen Feldmessern bis zu Descartes. Springer-Verlag, 2013, S. 76 ff. (Quadratura del círcul en Google Libros)
  25. ↑ F. Rudio: § 8. Die Zeit der Renaissance. Archimedes, Huygens, Lambert, Legendre. Vier Abhandlungen über die Kreismessung. 1892, S. 27–28 (Plantilla:Internet Archive)
  26. ↑ Plantilla:Internetquelle
  27. ↑ F. Rudio: III Christian Huygens (1629–1695). Über die gefundene Größi dones Kreises (De circuli magnitudine inventa). Archimedes, Huygens, Lambert, Legendre. Vier Abhandlungen über die Kreismessung. 1892, S. 83–131 (Plantilla:Internet Archive)
  28. ↑ 28,0 28,1 Plantilla:Internetquelle
  29. ↑ F. Rudio: III Christian Huygens (1629–1695). Über die gefundene Größi dones Kreises (De circuli magnitudine inventa). Archimedes, Huygens, Lambert, Legendre. Vier Abhandlungen über die Kreismessung. 1892, S. 130 (Plantilla:Internet Archive)
  30. ↑ Jean-Paul Delahaye: Die Geschichte von π zur Zeit der Analysis; π — Die Story. Aus dem Französischen von Manfred Stern. Springer-Verlag, 2013, S. 84 (Quadratura del círcul en Google Libros)
  31. ↑ Katrin Plank. «Darstellung als Kettenbruch» (PDF). Die Faszination der Zahl π. Karl-Franzens-Universität Graz. Consultat el 2020-02-22.
  32. ↑ Karl Helmut Schmidt: Zu Unendlich; Pi Geschichte und Algorithmen Einer Zahl. Books on Demand, 2001, S. 37 (Quadratura del círcul en Google Libros)
  33. ↑ Rudolf Wolf: Die Reform der Goniometrie durch und seit Euler, Handbuch der Astronomie, ihrer Geschichte und Litteratur, F. Schulthess, Zürich 1890, Bd. 1, S. 177 (Digitalisat)
  34. ↑ Franka Miriam Brückler: Entstehung der analytischen Geometrie. Geschichte der Mathematik kompakt. Springer-Verlag, 2017, S. 83 ff. (Quadratura del círcul en Google Libros)
  35. ↑ Franka Miriam Brückler: Entstehung der analytischen Geometrie. Geschichte der Mathematik kompakt. Springer-Verlag, 2017, S. 85 ff. (Quadratura del círcul en Google Libros)
  36. ↑ Desenroll detallat per Felix Klein en: Vorträge über ausgewählte Fragen der Elementargeometrie. Teubner, Leipzig 1895 (Digitalisat)
  37. ↑ Adalbert Kerber. «Konstruktionen mit Zirkel und Llineal» (PDF). Lineare Algebra, WS 2002/2003. Universität Bayreuth. Consultat el 2020-02-22.
  38. ↑ Leonhard Euler: Introductio in analysin infinitorum. Lausanne 1748. Deutsch von H. Maser: Einleitung in die Analysis dones Unendlichen. Springer, Berlin 1885. (Reprint dones ersten Bandes)
  39. ↑ Edmund Weitz. «Die Exponentialfunktion im Komplexen». Konkrete Mathematik (nicht nur) für Informatiker. Springer Link. Consultat el 2020-02-23.
  40. ↑ F. Rudio: § 12. Der Beweis der Irrationalität der Zahl π durch Lambert und Legendre. Archimedes, Huygens, Lambert, Legendre. Vier Abhandlungen über die Kreismessung. 1892, S. 54 ff. (Plantilla:Internet Archive)
  41. ↑ F. Rudio: Legendre, Beweis, dass dones Verhältnis dones Kreisumfanges zoom Durchmesser und dones Quadrat desselben irrationale Zahlen sind. Archimedes, Huygens, Lambert, Legendre. Vier Abhandlungen über die Kreismessung. 1892, S. 165–166 (Plantilla:Internet Archive)
  42. ↑ F. Rudio: § 13. Die Entdeckungen Liouville’s. Archimedes, Huygens, Lambert, Legendre. Vier Abhandlungen über die Kreismessung. 1892, S. 58–60 (Plantilla:Internet Archive)
  43. ↑ Knut Smoczyk: Konstruktionen mit Zirkel und Llineal; Geometrie für dones Lehramt. Books on Demand, 2019, S. 238 (Quadratura del círcul en Google Libros)
  44. ↑ 44,0 44,1 David J. Green. «Transzendenz von i und π» (PDF). Universität Jena. Consultat el 2020-02-24.
  45. ↑ F. Rudio: Quadratur dones Zirkels. Aboques Kapitel. § 15. Die endgültige Erledigung dones Problems etc. Archimedes, Huygens, Lambert, Legendre. Vier Abhandlungen über die Kreismessung. 1892, S. 66–67 (Plantilla:Internet Archive)
  46. ↑ David Hilbert. «Ueber die Transcendenz von i und π». DigiZeitschriften. Consultat el 2020-02-24.
  47. ↑ Jean-Étienne Montucla: Histoire dones recherches sur la quadrature du cercle. Paris 1754 (Digitalisat der korrigierten Neuauflage 1831)
  48. ↑ J. H. Lambert. «[164,165} V. Vorläufige Kenntnisse für die, baix die Quadratur und Rectification dones Circuls suchen.]». Bayträge zoom Gebrauche der Mathematik und deren Anwendung. SUB, Göttinger Digitalisierungszentrum. Consultat el 2020-03-09.
  49. ↑ Augustus de Morgan. «A Budget of Paradoxes». The Project Gutenberg EBook. Consultat el 2020-03-13.
  50. ↑ Histoire de L’Académie royale dones sciences, année 1775. Paris 1778, S. 61 ff. (Digitalisat)
  51. ↑ F. Rudio: § 1. Über die verschiedenen Ursachen der großen Popularität dones Problems. Archimedes, Huygens, Lambert, Legendre. Vier Abhandlungen über die Kreismessung. 1892, S. 4 (Plantilla:Internet Archive)
  52. ↑ Quadratur dones Zirkels en: Meyers Konversations-Lexikon. 4. Auflage. Band 18, Verlag dones Bibliographischen Instituts, Leipzig/Wien 1885–1892, S. 756.
  53. ↑ Douglas M. Jesseph, reviewed by David Greus. «Squaring the Circle: The War Between Hobbes and Wallis Rezension». MAA Review. Mathematical Association of America. Consultat el 2020-02-23.
  54. ↑ J. H. Lambert. «[166,167} V. Vorläufige Kenntnisse für die, baix die Quadratur und Rectification dones Circuls suchen.]». Bayträge zoom Gebrauche der Mathematik und deren Anwendung. SUB, Göttinger Digitalisierungszentrum. Consultat el 2020-03-09.
  55. ↑ Gotthold Ephraim Lessing: Auf donen Herrn M** donen Erfinder der Quadratur dones Zirkels. In: Lessings Schriften. Erster Theil. L. F. Voß, 1753, S. 217 (Quadratura del círcul en Google Libros)
  56. ↑ Ryan Schwier. «Legislating Pi». Indiana Llegal Archiv. Consultat el 2020-02-23.
  57. ↑ Thomas Heath: VII. Special Problems – The squaring of the circle. In: A History of Greek Mathematics. Volume 1. 1921, S. 220 ff. (englisch; Plantilla:Internet Archive)
  58. ↑ Éléonore Quinaux: Leopold Bloom (Odysseus); Ulysses von James Joyce (Lektürehilfe): Detaillierte Zusammenfassung, Personenanalyse und Interpretation. derQuerleser.de, 2018, S. 16 (Quadratura del círcul en Google Libros)

Bibliografia

[editar | editar còdic]

General

[editar | editar còdic]
  • Eugen Beutel: "Die Quadratur dones Kreises" (Quadrar el círcul). 2.ª Edició. Teubner, Leipzig 1920. (versió digitalisada)
  • Moritz Cantor: "Vorlesungen über Geschichte der Mathematik" (Conferències sobre l'història de les matemàtiques). Teubner, Leipzig 1880-1908, 4 volums. (versió digitalisada)
  • Helmuth Gericke: "Mathematik in Antike und Orient" (Matemàtiques en l'Antiguetat i Oriente). Springer, Berlín 1984, ISBN 3-540-11647-8.
  • Helmuth Gericke: "Mathematik im Abendland" (Matemàtiques en Occident). Springer, Berlín 1990, ISBN 3-540-51206-3.
  • Thomas Little Heath: "A History of Greek Mathematics" (Una història de les matemàtiques gregues). Volum 1. Clarendon Press, Oxford 1921. (Reimpreso en Dover, Nova York 1981, ISBN 0-486-24073-8.)
  • Klaus Mainzer: "Geschichte der Geometrie" (Història de la geometria). Bibliographisches Institut, Mannheim et al. 1980, ISBN 3-411-01575-6.
  • Ferdinand Rudio: "Archimedes, Huygens, Lambert, Legendre. Vier Abhandlungen über die Kreismessung" (Archimedes, Huygens, Lambert, Legendre. Quatre tractats sobre medició circular) Teubner, Leipzig 1892. (digitalisat)
  • DUNHAM, William Viage a través dels genis. Biografies i teoremes dels grans matemàtics. Madrit, 2002. Edicions Piràmide.

Sobre la transcendència de π

[editar | editar còdic]
  • Ferdinand Lindemann: "Ueber die Zahl π" (Sobre el número π) En: Mathematische Annalen, 20, 1882, págs. 213-225 (GDZPPN002246910 digitalisat).
  • David Hilbert: "Ueber die Transcendenz der Zahlen i und π" (Sobre la transcendència dels números i i π) En: "Mathematische Annalen", 43, 1893, pp. 216-219 (/? PID = GDZPPN002254565 digitalisat).
  • Lorenz Milla: "Die Transzendenz von π und die Quadratur dones Kreises" (La transcendència de π i la quadratura del círcul). 2020, Plantilla:ArXiv
  • Paul Albert Gordan: "Transcendenz von i und π" (Transcendència d'i i π). En: "Mathematische Annalen", 43, 1893, págs. 222-224 (PID = GDZPPN002254581 digitalisat ).
  • Theodor Vahlen: "Beweis dones Lindemann’schen Satzes über die Exponentialfunction" (Prova de la teorema de Lindemann sobre la funció exponencial). En: "Mathematische Annalen", 53, 1900, pp. 457-460 (img /? PID = GDZPPN00225798X digitalisat).

Matemàtiques recreatives

[editar | editar còdic]
  • Underwood Dudley: "Mathematik zwischen Wahn und Witz. Trugschlüsse, falsche Beweise und die Bedeutung der Zahl 57 für die amerikanische Geschichte" (Matemàtiques entre gallina locada i ingeni. Falàcies, proves falses i l'importància del número 57 per a l'història nortamericana). Birkhäuser, Basilea 1995, ISBN 3-7643-5145-4 (títul original en anglés: Mathematical cranks).


Referències

[editar | editar còdic]


Obtingut de «https://www.lenciclopedia.org/w/index.php?title=Quadratura_del_círcul&oldid=852172»