Llímit d'una successió

Atalls Convergència (matemàtiques)

Archiu:Sucesión 001.svg Representació gràfica de la successió: $a_{0} = 16; a_{n + 1} = \frac{a_{n}}{2}$
$a_{n} = {\begin{matrix} 16 & si n = 0 \\ \frac{a_{n - 1}}{2} & si n > 0 \end{matrix}$
$a_{n} = 16 \cdot 2^{- n}$

El llímit d'una successió és un dels conceptes més antics del anàlisis matemàtic. És el valor al que tendixen els térmens de la successió quan $n$ pren valors molt grans.^[1] Es representa per mig de:

\lim_{n \to \infty} a_{n}

i es llig llímit quan $n$ tendix a infinit de $a_{n}$ .^[1]

Este concepte està estretament lligat al de convergència. Una successió d'elements d'un conjunt és convergent si i solament si en el mateix conjunt existix un element (al que se li coneix com a llímit) al com la successió s'aproxima tant com es desige a partir d'un moment donat. Si una successió té llímit, es diu que és una successió convergent, i que la successió convergix o tendix al llímit. En cas contrari, la successió és divergent o alternada.^[2]

La definició significa que finalment tots els elements de la successió s'aproximen tant com vullgam al valor llímit. La condició que impon que els elements es troben arbitrariamente propencs als elements subsegüents no implica, en general, que la successió tinga un llímit (vore successió de Cauchy).

Qué s'entén per pròxim dona lloc a distintes definicions de llímit depenent del conjunt a on s'ha definit la successió (vore distància).

Llímit d'una successió d'número real

Definició formal

Eixemples

La successió 1/1, 1/2, 1/3, 1/4, ... convergix al llímit 0.
La successió 1, -1, 1, -1, 1, ... és oscilante.
La successió 1/2, 1/2 + 1/4, 1/2 + 1/4 + 1/8, 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16, ... convergix al llímit 1.
Si a és un número real en valor absolut |a| < 1, llavors la successió aⁿ posseïx llímit 0. Si 0 < a ≤ 1, llavors la successió a^1/n posseïx llímit 1.
$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^{p}} = 0 si p > 0$
$\lim_{n \to \infty} n^{\frac{1}{n}} = 1$
$\lim_{n \to \infty} a^{\frac{1}{n}} = 1 si a > 0$

Propietats de successions convergents

Tota successió convergent tendix a un únic valor, lo que es coneix com la unicitat del llímit.
Si tots els térmens d'una successió són iguals a un mateix valor, llavors el llímit és eixe valor.
Si una successió ${a_{n}}$ té llímit positiu, existix un terme a partir del com tots els térmens de la successió són positius.
Si una successió ${a_{n}}$ té llímit negatiu, existix un terme a partir del com els térmens de la successió són negatius.
Si una successió ${a_{n}}$ convergix a zero, no es pot assegurar res sobre el signe de cada u dels térmens de la successió.
Si una successió ${a_{n}}$ tendix a menys infinit i ${a_{n}} < 0$ llavors $\frac{1}{a_{n}}$ tendix a 0.
Si la successió (x_n) té llímit llavors és acotada; açò és, hi ha un número positiu h tal que |x_n| $\leq$ h per a qualsevol n.
Quan dos successions tenen llímit, es té que la sumixca (diferència) de tals successions té llímit que és igual a la suma (diferència) dels respectius llímits de les successions.
En el cas de que dos successions tinguen llímits llavors el seu producte també té llímit, que és igual producte dels respectius llímits.
Quan cada terme d'una successió es multiplica per una constant k, el llímit d'este producte successió és igual al producte de k pel llímit de la successió.

Si dos successions són convergents, sent la segona d'elles sense cap terme nul i llímit ≠ 0, llavors el cocient de la primera entre la segona té llímit, que és igual al cocient del llímit de la primera entre el llímit de la segona successió.
Si una successió és monòtona i acotada, llavors convergix. És la condició suficient per a la convergència d'una successió, que es coneix també com la Teorema de Weierstrass. Esta proposició és sobre l'existència del llímit d'una successió, pero no proveïx método algun per a obtindre tal llímit.
Per a qualsevol successió convergent ( no necessàriament monòtona) és vàlida l'igualtat: $\lim_{n \to \infty} x_{n + 1} = \lim_{n \to \infty} x_{n}$

Llímit d'una successió complexa

Vore també: Successió de Cauchy i Série convergent

Archiu:Sucesiones es.svg

Tipos de successions matemàtiques

Es diu que la successió convergix cap a un complex $ℓ$ si i solament si

(\forall ε \in ℝ_{+}^{*}) (\exists N \in ℕ) (\forall n \in ℕ) (n \geq N \Rightarrow | u_{n} - ℓ | < ε)

Note's que és la mateixa definició que para $ℝ$ , en mòdul en lloc del valor absolut.

Es pot escriure

\lim_{n \to + \infty} u_{n} = ℓ

o més simplement, si no hi ha ambigüitat

\lim u = ℓ

Les successions complexes convergents posseïxen les mateixes propietats que les successions reals, llevat les de relació d'orde: el llímit és únic, una successió convergent té mòdul acotat, tota successió de Cauchy convergix (en efecte, $ℂ$ és també complet).

Eixemples

Archiu:Archimedes pi.svg

Diagrama d'un hexàgon i un pentàgon circumscrits fòra d'un círcul. La successió donada pels perímetros de polígons regulars de n costats que circumscriuen el círcul unitari té un llímit igual al perímetro del círcul, és dir,

2 π r

. La successió corresponent per a polígons inscrits té el mateix llímit.

Successions en $ℝ$ o $ℂ$
Successions en $ℝ^{n}$
Successions en l'espai $ℓ^{p}$
Successions en l'espai $L^{2} (ℝ^{n})$
Successions en l'espai de les funcions contínues $C [a, b]$

Tipos de convergència

Convergència puntual

El concepte de convergència puntual és un dels varis sentits en els quals una successió de funcions pot convergir a una funció particular.

Una successió de funcions $f_{n} : S \to M$ definides en un conjunt no buit $S$ en valors en un espai mètric $(M, d)$ convergix puntualment a una funció $f : S \to M$ si

$\lim_{n \to \infty} f_{n} (x) = f (x)$

per a cada $x \in S$ fix. Açò significa que

(5) $\forall x \in S \forall ε > 0 \exists N \in ℕ | n \geq N ⟹ d (f_{n} (x), f (x)) < ε .$

La successió de funcions $f_{n} (x) : = x / n$ en $x \in [0, 1]$ convergix puntualment a la funció $f (x) : = 0$ lloc que

$| \frac{x}{n} | \leq \frac{1}{n} \to 0$

per a cada $x \in [0, 1]$ fix.

Convergència uniforme

Artícul principal → Convergència uniforme.

Una successió de funcions $f_{n} : S \to M$ definides en un conjunt no buit $S$ en valors en un espai mètric $(M, d)$ convergix uniformemente a una funció $f : S \to M$ si para tot $ε > 0$ existix un natural $N$ (que depén de $ε$ ) tal que

$d (f_{n} (x), f (x)) < ε$

per a tot $x \in S$ i tot $n \geq N$ . És dir,

(6) $\forall ε > 0 \exists N \in ℕ | d (f_{n} (x), f (x)) < ε \forall x \in S \forall n \geq N .$

El concepte de convergència uniforme és un concepte més fort que el de convergència puntual. En (5), $N$ pot dependre de $ε$ i de $x$ mentres que en (6), $N$ només pot dependre de $ε$ . Aixina, tota successió que convergix uniformement, convergix puntualment. L'enunciat recíproc és fals, i un contraeixemple clàssic ho constituïxen les successió de funcions $f_{n} : [0, 1] \to ℝ$ definides per $f_{n} (x) = x^{n}$ . Esta successió convergix puntualment a la funció

$f (x) = {\begin{matrix} 0, & si 0 \leq x < 1 \\ 1, & si x = 1 \end{matrix}$

ya que

$| f_{n} (x) - f (x) | = | x^{n} | \to 0 si 0 \leq x < 1$

mentres que $| f_{n} (1) - f (1) | = 0.$ No obstant esta successió no convergix uniformement, puix para $ε = 1 / 4,$ no existix un $N$ que satisfaça (6).

D'especial interés és l'espai de les funcions contínues $C (Ω)$ definides sobre un compacte $Ω \subset ℝ^{n} .$ En este cas, una successió de funcions $f_{n} \in C (Ω),$ convergix uniformemente a una funció $f \in C (Ω),$ si, i només si, convergix en la norma del sup, i.i.,

Successions en atres espais matemàtics

Una successió d'elements ${x_{n}}$ d'un espai mètric $(M, d)$ convergix a un element $x \in M$ si para tot número $ε > 0,$ existix un sancer positiu $N$ (que depén de $ε$ ) tal que

(1) $n \geq N ⟹ d (x_{n}, x) < ε .$

Intuitivament, açò significa que els elements $x_{n}$ de la successió es poden fer arbitrariamente propencs a $x$ si $n$ és suficientment gran, ya que $d (x_{n}, x)$ determina la distància entre $x_{n}$ i $x$ . A partir de la definició és possible demostrar que si una successió convergix, ho fa cap a un únic llímit.

La definició s'aplica en particular als espais vectorials normados i als espais en producte intern. En el cas d'un espai normado $(E, ‖ \cdot ‖),$ la norma $‖ \cdot ‖$ induïx la mètrica $d (x, y) : = ‖ y - x ‖$ per a cada $x, y \in E$ ; en el cas d'un espai en producte intern $(E, ⟨ \cdot, \cdot ⟩),$ el producte intern $⟨ \cdot, \cdot ⟩$ induïx la norma $‖ x ‖ = \sqrt{⟨ x, x ⟩}$ per a cada $x \in E .$

Convergència uniforme sobre compactes

Convergència dèbil

Una successió es diu que convergix débilment a $x$ o en sentit dèbil si para tota funcional llineal $f$ , $f (x_{n})$ convergix a $f (x)$ .

Per eixemple la successió $1 / n$ des de $n = 1$ fins a infinit convergix débilment a zero. Puix:
$\lim_{n \to \infty} f (\frac{1}{n}) = \lim_{n \to \infty} \frac{n}{n} \cdot f (\frac{1}{n}) = \lim_{n \to \infty} \frac{f (\frac{n}{n})}{n} = \lim_{n \to \infty} \frac{f (1)}{n} = 0$
Tot açò, puix $f$ és llineal.

Llímit en un espai topològic

Artícul principal → ret (matemàtica).

Una generalisació d'esta relació, per a una successió de punts ${x_{n} | n \in ℕ}$ en un espai topològic T:

Si

L \in T

es diu que L és un llímit d'esta successió i s'escriu

L = \lim_{n \to \infty} x_{n}

si i solament si para tot entorn S de L existix un número natural N tal que

x_{n} \in S

para tot

n > N .

De forma intuïtiva, suponent que es té una successió de punts (per eixemple un conjunt infinit de punts numerats utilisant els número natural) en algun tipo d'objecte matemàtic (per eixemple els número real o un espai vectorial) que admet el concepte de entorn (en el sentit de "tots els punts dins d'una certa distància d'un donat punt fix"). Un punt L és el llímit de la successió si para tot entorn que es definixca, tots els punts de la successió (en la possible excepció d'un número finito de punts) estan pròxims a L. Açò pot ser interpretat com si hi haguera un conjunt d'esferes de tamanys decreixents fins a zero, totes centrades en L, i per a qualsevol d'estes esferes, solament existira un número finito de números fòra d'ella.

És possible també que una successió en un espai topològic general, puga tindre varis llímits diferents,^{cita requerida} pero una successió convergent posseïx un únic llímit si T és un espai de Hausdorff, per eixemple la recta real (estesa), el pla complex, els seus subconjunts (R, Q, Z...) i productes cartesianos (Rⁿ...).

Teoria de la provabilitat

En teoria de la provabilitat existixen diferents nocions de convergència: convergència de funcions mesurables, convergència en distribució i llímits de variables aleatòries.

Història

El filòsof grec Zenón de Elea és famós per formular els seus paradoxes que impliquen processos limitantes.

Leucipo de Mileto, Demócrito, Antífono, Eudoxo de Cnido i Arquímedes varen desenrollar el método d'agotament, que utilisa una seqüència infinita d'aproximacions per a determinar un àrea o un volum. Arquímedes va conseguir resumir lo que hui es diu una série geomètrica.

Grégoire de Saint-Vincent va donar la primera definició de llímit (terme) d'una série geomètrica en la seua obra Opus Geometricum (1647): "El terme d'una progressió és el final de la série, que cap progressió pot alcançar, inclús si ella continua en l'infinit, pero al que pot acostar-se més que un segment donat."^[3]

Pietro Mengoli va anticipar l'idea moderna de llímit d'una seqüència en el seu estudi de cuasiproporciones en Geometriae speciosae elementa (1659). Va usar el terme cuasi infinit per a illimitat i cuasi nul per a una funció de desaparició.

Newton va tractar les séries en les seues obres Anàlisis en séries infinites (escrit en 1669, distribuït en manuscrit, publicat en 1711), Método de les fluxiones i séries infinites (escrit en 1671, publicat en traducció a l'anglés en 1736, original en llatí publicat molt més vesprada) i Tractatus de Quadratura Curvarum (escrit en 1693, publicat en 1704 com a apèndix del seu Optiks). En este últim treball, Newton considera l'expansió binomial de $(x + o)^{n}$ , que després linealiza prenent el llímit quan $o$ tendix a $0$ .

En el XVIII, matemàtics com Euler varen conseguir sumar algunes séries divergents detenint-se en el moment adequat; no els importava molt si existia un llímit, sempre que poguera calcular-se. A finals de sigle, Lagrange en el seu Théorie dones fonctions analytiques (1797) va opinar que la falta de rigor impedia un major desenroll del càlcul. Gauss en el seu estudi de séries hipergeométricas (1813) va investigar rigorosament per primera volta les condicions baix les quals una série convergia fins a un llímit.

La definició moderna de llímit (per a qualsevol $ε$ existix un índex $N$ de modo que...) va ser donada per Bernard Bolzano (Der binomische Lehrsatz, Praga 1816, que va anar poc notada en l'época), i per Karl Weierstrass en la década de 1870.

Vore també

Referències

↑ ^1,0 ^1,1 (2008) «Aritmètica i Àlgebra», Matemàtiques 1, Madrit: Grup Editorial Bruño, Societat Llimitada, p. 19. ISBN 9788421659854.
↑ «¿Quan una successió és convergent o divergent?».
↑ Van Looy, H. (1984). A chronology and historical analysis of the mathematical manuscripts of Gregorius a Sancto Vincentio (1584–1667). Història Mathematica, 11(1), 57-75.

Enllaços externs

Convergent Sequence en MathWorld.
Eixemples de successions

Referències

Este artícul conté una traducció derivada de «Límite de una sucesión» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.

[ls-1] 1,0 ^1,1 (2008) «Aritmètica i Àlgebra», Matemàtiques 1, Madrit: Grup Editorial Bruño, Societat Llimitada, p. 19. ISBN 9788421659854.

[2] «¿Quan una successió és convergent o divergent?».

[3] Van Looy, H. (1984). A chronology and historical analysis of the mathematical manuscripts of Gregorius a Sancto Vincentio (1584–1667). Història Mathematica, 11(1), 57-75.

[1]

[2]

[3]