Recta real estesa

En matemàtica, la recta real estesa o recta real acabada és un espai mètric que s'obté a partir dels número real $ℝ$ per l'añadidura de dos elements: $+\mathrm{\infty }$ i $-\mathrm{\infty }$ (lligga's infinit positiu i infinit negatiu, respectivament). A cada número real li correspon un punt de la recta, i a cada punt de la recta li correspon un número real; per això, es diu que els número real completen la recta.

a) Recta real estesa, b) Recta real estesa proyectiva

La recta real estesa proyectiva afig un sol objecte: $\mathrm{\infty }$ (punt de l'infinit), i no fa distinció entre infinits «positiu» o «negatiu», sino que està més relacionada a representar qualsevol valor, o qualsevol punt, sobre la recta real estesa. És important destacar que, estos nous elements no són número real.

La recta real estesa es denota per $\overline{ℝ}$ o be $[-\mathrm{\infty },+\mathrm{\infty }]$; és utilisada per a descriure varis comportaments al llímit en càlcul infinitesimal i anàlisis matemàtic, especialment en la teoria de la mida i integració.

Quan el significat es deduïx del context, el símbol $+\mathrm{\infty }$ s'escriu simplement $\mathrm{\infty }$.

Definicions

Llímits

La necessitat de la seua definició, sorgix en descriure el comportament d'una funció f(x), quan o be l'argument x o be el valor de la funció f(x) es torna «molt gran» en algun sentit.

Per eixemple, la funció $f(x)=x^{-2}$.

La gràfica d'esta funció té una asíntota horisontal en f(x) = 0. Geomètricament, açò significa que conforme el valor de x creix (cap a la dreta del pla cartesiano), més s'aproxima el valor d'1/x² a 0 (l'eix horisontal). Este comportament al llímit és similar al del llímit d'una funció en un número real, excepto que ahí no hi ha número real cap al qual x s'aproxima.

Afegint-li els elements +∞ i −∞ a R, es permet la formulació de "llímit a l'infinit" en propietats topològiques similars a les de R.

Mida i integració

En teoria de la mida, se solen admetre conjunts que tenen mida infinita i integrals el valor de les quals pot ser infinit.

Tals mides sorgixen naturalment del càlcul. Per eixemple, si se li assigna una mida a R corresponent en la llongitut usual dels intervals, esta mida deu ser major que qualsevol número real finit. També, si es consideren integrals no acotades, com

$\underset{1}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{dx}{x}$

sorgix el valor "infinit". Finalment, se sol considerar el llímit d'una successió de funcions, com

$f_n(x)=\{\begin{array}{ccc}2n(1-nx)& \mathrm{s}\mathrm{i}& 0\le x\le \frac{1}{n}\\ 0& \mathrm{s}\mathrm{i}& \frac{1}{n}<x\le 1\end{array}$

Si no permeteren valors infinits a funcions, resultats tan essencials com el teorema de convergència monòtona i el teorema de convergència dominada no tindrien sentit.

Orde i propietats topològiques

La recta real estesa es torna un conjunt totalment ordenat definint −∞ ≤ a ≤ +∞ para tot a. Este orde té l'agradable propietat de que tot subconjunt té un suprem i un ínfim: conforma un retícul complet.

Açò induïx un orde topològic sobre R. En esta topología, un conjunt O és una veïnat de +∞ si i solament si conté un conjunt {x: x > a} para algun número real a, i análogamente per als veïnats de −∞. R és un espai de Hausdorff compacte homeomorfo al interval unitat [0, 1]. Després esta topología és metrisable, correspon (per a un homeomorfisme donat) a la mètrica usual en este interval. No hi ha una mètrica que siga una extensió de la mètrica usual sobre R.

En esta topología, es poden definir especialment els llímits per a x tendint a +∞ i −∞, i els conceptes especialment definits de llímits igual a +∞ i −∞, es reduïxen a la definició topològica de llímits.

Vore també

• Divisió per zero
• Esfera de Riemann
• Integral impròpia
• Série matemàtica

Bibliografia

• Affinely Estendre Real Numbers en MathWorld.