Divisió per zero

Archiu:20231118 19 46 25-Windows Rechner.png

Divisió per zero

Archiu:Hyperbola one over x.svg

Representació gràfica de la funció i = 1/x. Quan x «tendix» a 0 des de la dreta, i es «aproxima» a més infinit, pero quan x «tendix» a 0 des de l'esquerra, i es «aproxima» a menys infinit.

En matemàticas, la divisió entre zero és una divisió en la que el divisor és igual a zero, i que no té un resultat ben definit. En aritmètica i àlgebra, és considerada una «indefinició», i el seu mal us pot donar lloc a aparents paradoxas matemàtiques. En anàlisis matemàtic, és freqüent trobar llímits en els que el denominador tendix a zero. Alguns d'estos casos es denominen «indeterminaciones», pero en ocasions és possible calcular el valor de dit llímit.

No es deu confondre este concepte en el dels divisores de zero que existixen en alguns anells matemàtics (específicament els que no són dominis d'integritat). Estos apareixen quan el zero és el divident, no el divisor (dividixen al zero, no són divisibles per ell). Tot número a dividix al zero trivialment, ya que $a\cdot 0=0$, pero els divisores de zero ho fan de manera no trivial.

Este problema va sorgir en els anys 650, quan en Índia es va començar a popularisar l'us del zero i els números negatius. El primer en aproximar-se al plantejament d'este problema va ser el matemàtic indi Bhaskara I, qui va escriure que $\frac{n}{0}=\mathrm{\infty }$, en el VII.

En aritmètica i àlgebra

En els número natural, sancers i reals, la divisió entre zero no posseïx un valor definit, degut a que para tot número $n$, el producte $n\cdot 0=0$, per lo que el 0 no té invers multiplicativo.

Dit en llenguage molt senzill: si dividim per eixemple 12 : 3 = 4 , sabem que el resultat és correcte perque 4 x 3 = 12. Pero si dividim per zero, és dir, per eixemple, 8 : 0 = ? llavors no trobem cap número que multiplicat per 0 done 8. En lo que l'equació $0\times n=8$ no té solució. Té igual que el divident siga 8 o qualsevol atre número distint de zero.

Si s'intenta dividir zero entre zero ocorre el problema contrari: la solució no és única, puix l'expressió $0\times n=0$ és certa per a qualsevol n (es diu que el zero és un element absorbent).

Algoritme de la divisió

Artícul principal → Divisió euclídea.

La divisió de dos número entero m i n no sempre és un atre número entero (vore Divisibilidad). No obstant és possible utilisar un algoritme per a dividir dos números qualssevol, i el resultat dels quals coincidix en el cocient case de que siguen divisibles. Este algoritme consistix en sostraure repetidament al divident (m) el número divisor (n) fins a alcançar un número comprés entre 0 i n-1, abdós inclusivament. La cantitat de voltes que se sostrau al número divisor del número divident, es denomina cocient de la divisió i al número del que ya no es pot sostraure res més es denomina restant.

En intentar dividir un número (per eixemple 2) entre zero ocorre lo següent:

2 - 0 = 2 - 0 = 2 - 0 = 2 - 0 = 2...,

mai s'alcança un restant estrictament menor que 2 encara que es reste 0 infinites voltes. Per lo tant, la divisió no és possible.

Falàcies

Una raó per a no admetre la divisió per zero és que, en cas de fer-ho, sorgixen absurts o falàcies. Per eixemple, com $0\cdot 1=0$ i $0\cdot 2=0$, llavors es pot escriure $0\cdot 1=0\cdot 2$. Dividint per zero en abdós costats, s'obté un absurt:

$0\cdot 1=0\cdot 2$

$\frac{0\cdot 1}{0}=\frac{0\cdot 2}{0}$

$1=2$

No obstant, és possible disfrassar una divisió per zero en un argument algebraic, donant lloc a absurts com 1 = 2, com seguix:

Siga $1=x$.

Multiplicant per $x$,

$x=x^2$

Restant $1$ en abdós costats,

$x-1=x^2-1$

Dividint en abdós costats per $x-1$,

$\frac{x-1}{x-1}=\frac{x^2-1}{x-1}=$

$=\frac{(x+1)(x-1)}{x-1}$

d'a on

$1=x+1$

Pero, com $x=1$,

$1=1+1=2$

La divisió per 0 disfrassada té lloc en dividir entre x − 1 = 0, ya que x = 1.

Indefinició de la divisió per zero i la seua diferència en una indeterminación

En anàlisis matemàtic

Des del punt de vista del anàlisis matemàtic, l'indefinició d'una divisió per zero pot estudiar-se per mig del concepte de llímit. Supongam que tenim la següent expressió:

$f(x)=\frac{n}{x}$ a on $0<n\in ℝ$

L'expressió $f(0)=\frac{n}{0}$ és una indefinició: la funció no està definida en x=0. No obstant, podem analisar el comportament de la funció entorn al 0, utilisant una aproximació al llímit, pel costat positiu:

$\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{n}{x}=+\mathrm{\infty }$,

i pel costat negatiu:

$\underset{x\to 0^{-}}{\lim }\frac{n}{x}=-\mathrm{\infty }$.

Quan el valor de $x$ «tendix» a zero, $\frac{n}{x}$ alcança un valor absolut tan gran com es desige. Es diu que quan $x$ «tendix» a zero per la dreta, $\frac{n}{x}$ «tendix» a infinit ($f(0^{+})\to \mathrm{\infty }$); i que quan $x$ «tendix» a zero per l'esquerra, $\frac{n}{x}$ «tendix» a menys infinit ($f(0^{-})\to -\mathrm{\infty }$). Els llímits laterals no coincidixen, per lo que la funció no té llímit en 0.

Els reals estesos i l'esfera de Riemann

Per a tractar de sortejar les dificultats expostes, podem tractar d'afegir als número real dos elements adicionals cridats més infinit i menys infinit, per a formar els número real estesos. No obstant, no és possible definir la divisió per zero en este conjunt ya que, com s'ha mostrat en la secció anterior, el signe no està ben definit.

No obstant, este problema no existix quan es completa el conjunt en un sol element adicional. La recta real proyectiva i l'esfera de Riemann són completaciones (o compactificaciones) dels reals i dels complexos respectivament, que s'obtenen afegint un únic punt en l'infinit $\{\mathrm{\infty }\}$. Topológicamente estos conjunts són equivalents a una circumferència i a una esfera.

En abdós conjunts és possible definir sense cap ambigüitat la divisió entre zero de qualsevol número no nul:

$\frac{z}{0}=\mathrm{\infty }$, si $z\ne 0$.

No obstant, la divisió $\frac{0}{0}$ és una indefinició, de la mateixa manera que $\frac{\mathrm{\infty }}{\mathrm{\infty }}$.