Esfera de Riemann

Archiu:Stereographic projection in 3D.png	fig.1: Proyecció estereográfica del pla complex estés sobre la "esfera de Riemann".

Archiu:RiemannKugel.svg	fig.2: La "esfera de Riemann" pot ser visualisada com el pla complex envolt al voltant d'una esfera.

En matemàtica, la esfera de Riemann (o pla complex estés), cridada aixina en honor al matemàtic de el XIX Bernhard Riemann, és una esfera obtinguda del pla complex per mig de l'adició d'un punt de l'infinit. L'esfera és la representació geomètrica dels número complejo estesos, denotat com $\hat{ℂ}$ o $ℂ \cup {\infty}$ ,^[1] (vore fig.1 i fig.2), la qual consistix en els número complejo ordinaris en conjunció en el símbol $\infty$ per a representar l'infinit.

Els número complejo estesos són comuns en anàlisis complex perque permeten la divisió per zero en algunes circumstàncies, en el sentit de fer expressions ben definides tals com:

1 / 0 = \infty

Per eixemple, qualsevol funció racional sobre el pla complex pot ser estesa com una funció contínua sobre l'esfera de Riemann, en els pols de la funció racional mapeados a l'infinit. Més generalment, qualsevol funció meromorfa pot ser pensada com una funció contínua que el seu codominio és l'esfera de Riemann.

En geometria, l'esfera de Riemann és l'eixemple prototípico d'una superfície de Riemann, i una de les més simples varietats complexes. En geometria proyectiva, l'esfera pot ser pensada com la recta proyectiva complexa ${ℂ ℙ}^{1}$ , l'espai proyectivo de tots les rectes complexes en $ℂ^{2}$ . Com en qualsevol superfície de Riemann compacta, l'esfera també pot ser vista com una curva algebraica proyectiva, fent d'açò un eixemple fonamental de geometria algebraica. També troba utilitat en atres disciplines que depenen de l'anàlisis i de la geometria, com pot ser la mecànica quàntica i atres branques de la física.

Número complejo estesos

Els número complejo estesos consistixen d'número complejo $𝐂$ junt en $\infty$ . El conjunt d'número complejo estesos pot ser expressat com $𝐂 \cup {\infty}$ , i a sovint és indicat agregant algun símbol a la lletra $𝐂$ , per eixemple

\hat{𝐂}, \overline{𝐂}, o 𝐂_{\infty} .

També a voltes s'utilisa la notació $𝐂^{*}$ , pero com esta notació també s'utilisa per al pla perforat $𝐂 ∖ {0}$ , l'us de la mateixa pot donar lloc a certa ambigüitat.^[2]

Des d'un punt de vista geomètric, el conjunt dels número complejo estesos és denominat la esfera de Riemann (o pla complex estés).

Operacions aritmètiques

La suma d'número complejo pot estendre's si es definix, per a $z \in 𝐂$ ,

z + \infty = \infty

per a tot número complejor $z$ , i la multiplicació es definix com

z \times \infty = \infty

per a tots els número complejo distints del zero $z$ , en $\infty \times \infty = \infty$ . És de notar que $\infty - \infty$ i $0 \times \infty$ queden indeterminats. A diferència dels número complejo, els número complejo estesos no constituïxen un camp, ya que $\infty$ no posseïx inversos aditius o multiplicativos. No obstant, és costum definir la divisió en $𝐂 \cup {\infty}$ com

\frac{z}{0} = \infty and \frac{z}{\infty} = 0

per a tots els número complejo distints del zero $z$ en $\infty / 0 = \infty$ i $0 / \infty = 0$ . Els cocients $0 / 0$ i $\infty / \infty$ queden indefinits.

Funcions racionals

Tota funció racional $f (z) = g (z) / h (z)$ (en atres paraules, $f (z)$ és la relació de funcions polinòmiques $g (z)$ i $h (z)$ de $z$ en coeficients complexos, tals que $g (z)$ i $h (z)$ no posseïxen un factor comú) poden ser esteses a una funció contínua en l'esfera de Riemann. Específicament, si $z_{0}$ és un número complejo tal que el denominador $h (z_{0})$ és zero, pero el numerador $g (z_{0})$ no és zero, llavors es pot definir $f (z_{0})$ com $\infty$ . Ademés, $f (\infty)$ pot ser definit com el llímit de $f (z)$ quan $z \to \infty$ , el qual pot ser finito o infinit.

El conjunt de funcions racionals complexes el símbol matemàtic de les quals és $𝐂 (z)$ — constituïxen totes les funcions holomorfas possibles de l'esfera de Riemann en sí mateixa, quan li l'analisa com una superfície de Riemann, llevat para el cas de la funció constant que pren el valor $\infty$ sempre. Les funcions de $𝐂 (z)$ formen un camp algebraic, denominat el camp de les funcions racionals en l'esfera.

Per eixemple, donada la funció

f (z) = \frac{6 z^{2} + 1}{2 z^{2} - 50}

es pot definir $f (\pm 5) = \infty$ , ya que el denominador val zero en $\pm 5$ , i $f (\infty) = 3$ ya que $f (z) \to 3$ en tendir $z \to \infty$ . Utilisant estes definicions, $f$ es convertix en una funció contínua de l'esfera de Riemann en sí mateixa.

Com una varietat complexa

Com una varietat complexa unidimensional, l'esfera de Riemann es pot descriure per mig de dos gràfics, abdós en domini igual al pla numèric complex. $𝐂$ . Siga $ζ$ un número complejo en una còpia de $𝐂$ , i siga $ξ$ un número complejo en una atra còpia de $𝐂$ . Identifica cada número complejo distint de zero $ζ$ del primer $𝐂$ en l'número complejo distint de zero $1 / ξ$ del segon $𝐂$ . Llavors el mapa $f (z) = \frac{1}{z}$

es diu el mapa de transició entre les dos còpies de $𝐂$ dels denominats gràfics topològics, vinculant-los entre sí. Ya que els mapes de transició són holomorfos, definixen una varietat complexa, cridada esfera de Riemann. En ser una varietat complexa de 1 dimensió complexa (és dir, 2 dimensions reals), també li la denomina superfície de Riemann.

Intuitivament, els mapes de transició indiquen cóm unir dos plans per a formar l'esfera de Riemann. Els plans estan pegats "d'adins cap a fòra", de modo que se superponen en casi totes parts, i cada pla contribuïx en solament un punt (el seu orige) que falta en l'atre pla. En atres paraules, (casi) cada punt en l'esfera de Riemann té tant un valor $ζ$ i un valor $ξ$ , i els dos valors estan relacionats per mig de $ζ = 1 / ξ$ . El punt a on $ξ = 0$ deu llavors tindre un valor $ζ$ " $1 / 0$ "; en este sentit, l'orige $ξ$ del gràfic eixercita el rol de $\infty$ en el gràfic $ζ$ . Simétricamente l'orige $ζ$ del gràfic eixercita el rol de $\infty$ en el gràfic $ξ$ .

Topológicamente , l'espai resultant és la compactación d'un punt d'un pla en l'esfera. No obstant, l'esfera de Riemann no és simplement una esfera topològica. És una esfera en una estructura complexa ben definida , de modo que al voltant de cada punt de l'esfera hi ha un veïnat que es pot identificar biholomorficamente en $𝐂$ .

Per un atre costat, el teorema de uniformización, un resultat central en la classificació de les superfícies de Riemann, establix que tota superfície de Riemann simplement conectada és biholomorfa al pla complex, al pla hiperbòlic o a l'esfera de Riemann. D'estos, l'esfera de Riemann és l'única que és una superfície tancada (una superfície compacta sense llímit ). Per lo tant, l'esfera bidimensional admet una estructura complexa única que la convertix en una varietat complexa unidimensional.

Com la recta proyectiva complexa

L'esfera de Riemann també pot definir-se com la recta proyectiva complexa'. Els punts de la recta proyectiva complexa poden definir-se com classes d'equivalènciaés de vectores no nuls en l'espai vectorial complex $𝐂^{2}$ : dos vectores no nuls $(w, z)$ i $(u, v)$ són equivalents si $(w, z) = (λ u, λ v)$ per a algun coeficient no nul $λ \in 𝐂$ .

En este cas, la classe d'equivalència s'escriu $[w, z]$ utilisant coordenades proyectivas. Donat qualsevol punt $[w, z]$ en la recta proyectiva complexa, un de $w$ i $z$ deu ser distint de zero, digam $w \neq 0$ . Llavors per la noció d'equivalència, $[w, z] = [1, z / w]$ , que està en una gràfica per a l'esfera de Riemann manifold.^[3]

Este tractament de l'esfera de Riemann conecta més fàcilment en la geometria proyectiva. Per eixemple, qualsevol llínea (o cònica suau) en el pla proyectivo complex és biholomorfa a la llínea proyectiva complexa. També és convenient per a estudiar els automorfismes de l'esfera, més alvance en este artícul.

Com una esfera

Archiu:RiemannSphere.png

Proyecció estereográfica d'un número complejo A sobre un punt α de l'esfera de Riemann

L'esfera de Riemann pot visualisar-se com l'esfera unitària $x^{2} + y^{2} + z^{2} = 1$ en l'espai real tridimensional $𝐑^{3}$ . Per a això, considerem la proyecció estereográfica des de l'esfera unitat menys el punt $(0, 0, 1)$ sobre el pla $z = 0$ , que identifiquem en el pla complex per $ζ = x + i y$ . En coordenades cartesianas $(x, y, z)$ i coordenades esfèriques $(θ, ϕ)$ sobre l'esfera (en $θ$ el cenit i $ϕ$ l'azimut), la proyecció és

ζ = \frac{x + i y}{1 - z} = \cot (\frac{1}{2} θ) e^{i ϕ} .

Análogament, la proyecció estereográfica des de $(0, 0, - 1)$ sobre el pla $z = 0$ , identificat en una atra còpia del pla complex per $ξ = x - i y$ , s'escriu

ξ = \frac{x - i y}{1 + z} = \tan (\frac{1}{2} θ) e^{- i ϕ} .

Per a cobrir l'esfera unitària es necessiten les dos proyeccions estereográficas: la primera cobrirà tota l'esfera llevat el punt $(0, 0, 1)$ i la segona llevat el punt $(0, 0, - 1)$ . Per lo tant, es necessiten dos plans complexos, un per a cada proyecció, que es poden vore intuitivamente com pegats esquena en esquena en $z = 0$ . Note's que els dos plans complexos s'identifiquen de forma diferent en el pla $z = 0$ . És necessària una orientació-reversión per a mantindre una orientació consistent en l'esfera, i en particular la conjugació complexa fa que els mapes de transició siguen holomorfos.

Els mapes de transició entre $c o o r d e n a d a s ζ$ i $c o o r d e n a d a s ξ$ s'obtenen component una proyecció en l'inversa de l'atra. Resulten ser $ζ = 1 / ξ$ i $ξ = 1 / ζ$ , com s'ha descrit anteriorment. Aixina, l'esfera unitària és difeomorfa a l'esfera de Riemann.

Baixe este difeomorfismo, el círcul unitari en la carta $ζ$ , el círcul unitari en la carta $ξ$ , i l'equador de l'esfera unitària s'identifiquen. El disc unitari $| ζ | < 1$ s'identifica en l'hemisferi sur $z < 0$ , mentres que el disc unitari $| ξ | < 1$ s'identifica en l'hemisferi nort $z > 0$ .

Mètrica

Una superfície de Riemann no ve equipada en cap mètrica riemanniana en particular. No obstant, l'estructura conforme de la superfície de Riemann determina una classe de mètriques: totes aquelles l'estructura de les quals conforme subordinada és la donada. En més detall: L'estructura complexa de la superfície de Riemann sí determina unívocamente una mètrica fins a equivalència conforme. (Es diu que dos mètriques són conformemente equivalents si diferixen en la multiplicació per una funció suau positiva). A l'inversa, qualsevol mètrica sobre una superfície orientada determina unívocamente una estructura complexa, que depén de la mètrica només fins a equivalència conformacional. Les estructures complexes sobre una superfície orientada estan, per tant, en correspondència un a un en classes conformes de mètriques sobre eixa superfície.

Dins d'una classe conforme donada, es pot utilisar la simetria conforme per a trobar una mètrica representativa en propietats convenients. En particular, sempre existix una mètrica completa en curvatura constant en qualsevol classe conforme.

En el cas de l'esfera de Riemann, el teorema de Gauss-Bonnet implica que una mètrica de curvatura constant deu tindre curvatura positiva. $K$ . D'això es deduïx que la mètrica deu ser isomètrica respecte a l'esfera de radi $1 / \sqrt{K}$ en $𝐑^{3}$ per mig de proyecció estereográfica. En la $c a r t a ζ$ sobre l'esfera de Riemann, la mètrica en $K = 1$ ve donada per

d s^{2} = {(\frac{2}{1 + | ζ |^{2}})}^{2} | d ζ |^{2} = \frac{4}{{(1 + ζ \overline{ζ})}^{2}} d ζ d \overline{ζ} .

En coordenades reals $ζ = u + i v$ , la fòrmula és

d s^{2} = \frac{4}{{(1 + u^{2} + v^{2})}^{2}} (d u^{2} + d v^{2}) .

Fins a un factor constant, esta mètrica coincidix en la mètrica de Fubini-Study estàndar en l'espai proyectivo complex (del que l'esfera de Riemann és un eixemple).

Fins al escalamiento, esta és la única mètrica en l'esfera el grup de la qual d'isometría que preserven l'orientació és tridimensional (i cap és més que tridimensional); eixe grup es diu $SO (3)$ . En este sentit, esta és, en molt, la mètrica més simètrica de l'esfera. (El grup de totes les isometría, conegut com $O (3)$ , també és tridimensional, pero a diferència de $SO (3)$ no és un espai conexo).

A l'inversa, deixem que $S$ denote l'esfera (com un varietat diferenciable abstracta o varietat topològica). Per la teorema de uniformización existix una única estructura complexa en $S$ fins a equivalència conforme. Es deduïx que qualsevol mètrica sobre $S$ és conformemente equivalent al mètrica redona. Totes estes mètriques determinen la mateixa geometria conforme. Per tant, la mètrica redona no és intrínseca a l'esfera de Riemann, ya que la "redondez" no és un invariante de la geometria conforme. L'esfera de Riemann és només una varietat conforme, no una varietat riemanniana. No obstant, si un necessita fer geometria de Riemann en l'esfera de Riemann, la mètrica redona és una opció natural (en qualsevol radi fix, encara que el radi $1$ és l'opció més simple i més comuna). Açò es deu a que només una mètrica redona en l'esfera de Riemann té el seu grup d'isometría ser un grup de 3 dimensions. (A saber, el grup conegut com $SO (3)$ , un grup continu ("Lie") que és topológicamente l'espai proyectivo tridimensional $𝐏^{3}$ ).

Automorfismes

Archiu:Mob3d-elip-opp-200.png

Una transformació de Möbius que actua sobre l'esfera, i sobre el pla per mig de proyecció estereográfica

Artícul principal → Transformació de Möbius.

L'estudi de qualsevol objecte matemàtic es veu facilitat per la comprensió de la seua grup d'automorfismes, és dir, els mapes de l'objecte a sí mateix que preserven l'estructura essencial de l'objecte. En el cas de l'esfera de Riemann, un automorfisme és un mapa conforme invertible (és dir, un mapa biholomorfo) de l'esfera de Riemann a sí mateixa. Resulta que els únics mapes d'este tipo són les transformacions de Möbius. Es tracta de funcions de la forma

f (ζ) = \frac{a ζ + b}{c ζ + d},

a on $a$ , $b$ , $c$ , i $d$ són número complejo tals que $a d - b c \neq 0$ . Eixemples de transformacions de Möbius són les dilatació, rotacions, translacions i l'inversió complexa. De fet, qualsevol transformació de Möbius pot escriure's com una composició d'estes.

Les transformacions de Möbius són homografia en la recta proyectiva complexa. En coordenades proyectivas, la transformació f pot escriure's

[ζ, 1] (\begin{matrix} a & c \\ b & d \end{matrix}) [\frac{a ζ + b}{c ζ + d}, 1] = [f (ζ), 1] .

Aplicacions

En anàlisis complex, una funció meromorfa en el pla complex (o en qualsevol superfície de Riemann) és una relació $f / g$ de dos funcions holomorfas $f$ i $g$ . Com a mapa als número complejo, és indefinit sempre que $g$ siga zero. No obstant, induïx un mapa holomorfo $(f, g)$ a la recta proyectiva complexa que està ben definit inclús a on $g = 0$ . Esta construcció és útil en l'estudi de funcions holomorfas i meromorfas. Per eixemple, en una superfície de Riemann compactar no hi ha mapes holomorfos no constants als número complejo, pero els mapes holomorfos a la recta proyectiva complexa són abundants.

L'esfera de Riemann té molts usos en física. En mecànica quàntica, els punts de la recta proyectiva complexa són valors naturals para polarisació del fotó, espin de partículas de massives $1 / 2$ , i partícules de 2 estats en general (vore també bit quàntic i esfera de Bloch). L'esfera de Riemann s'ha sugerit com a model de relativista per a l'esfera celest.^[4] En teoria de cordes, les làmines universals de cordes són superfícies de Riemann, i l'esfera de Riemann, sent la superfície de Riemann més simple, juga un paper significatiu. També és important en la Teoria de twistores.

Vore també

Notes i referències

↑ En l'esfera de Riemann el punt de l'infinit representa l'horisó infinit del pla complex, és un infinit positiu $+ \infty$ tal que permet a la proyecció del pla complex "tancar-se" sobre dita esfera.
↑ «C^*».
↑ William Mark Goldman (1999) Complex Hyperbolic Geometry, pàgina 1, Clarendon Press ISBN 0-19-853793-X
↑ R. Penrose (2007). The Road to Reality, Vintage books, pp. 428-430 (§18.5). ISBN 978-0-679-77631-4.

Bibliografia

Brown, James and Churchill, Ruel (1989). Complex Variables and Applications, Nova York: McGraw-Hill. ISBN 0070109052.
Griffiths, Phillip and Harris, Joseph (1978). Principles of Algebraic Geometry, John Wiley & Sons. ISBN 0-471-32792-1.
Penrose, Roger (2005). The Road to Reality, Nova York: Knopf. ISBN 0-679-45443-8.
Rudin, Walter (1987). Real and Complex Analysis, Nova York: McGraw-Hill. ISBN 0071002766.
Riemann sphere en MathWorld.

Enllaços externs

Esfera de Riemann en Wikimedia Commons.

Plantilla:Springer
Moebius Transformations Revealed, by Douglas N. Arnold and Jonathan Rogness (a video by two University of Minnesota professors explaining and illustrating Möbius transformations using stereographic projection from a sphere)

Referències

Este artícul conté una traducció derivada de «Esfera de Riemann» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.

[1] En l'esfera de Riemann el punt de l'infinit representa l'horisó infinit del pla complex, és un infinit positiu $+ \infty$ tal que permet a la proyecció del pla complex "tancar-se" sobre dita esfera.

[2] «C^*».

[3] William Mark Goldman (1999) Complex Hyperbolic Geometry, pàgina 1, Clarendon Press ISBN 0-19-853793-X

[4] R. Penrose (2007). The Road to Reality, Vintage books, pp. 428-430 (§18.5). ISBN 978-0-679-77631-4.

[1]

[2]

[3]

[4]