Esfera de Bloch

L'estat d'un sistema de dos nivells, com un espin 1/2 o més generalment un qubit, es pot representar per mig d'un punt en una esfera.

En mecànica quàntica, la esfera de Bloch és una representació geomètrica de l'espai d'estats purs d'un sistema quàntic de dos nivells. El seu nom aludix al físic suís Felix Bloch. Per extensió, també sol cridar-se esfera de Bloch al conjunt d'estats purs de sistema física d'un número finito arbitrari de nivells. En este cas, com es mostrarà despuix, l'esfera de Bloch ya no és una esfera, pero posseïx una estructura geomètrica coneguda com a espai simètric. Geomètricament l'esfera de Bloch pot ser representada per una esfera de ràdio unitat en R³. En esta representació, cada punt de la superfície de l'esfera correspon unívocamente a un estat pur del espai de Hilbert de dimensió complexa 2, que caracterisa a un sistema quàntic de dos nivells.

Cada parell de punts diametralment oposts sobre l'esfera de Bloch correspon a dos estats ortonormals en l'espai de Hilbert, puix la distància entre estos és 2, lo que de colp i repent implica ortogonalidad. Com a conseqüència formen una base del mateix. Tals estats resulten ser autovectores de la proyecció de l'operador d'espin ½ sobre la direcció que determinen els dos punts. Dit operador s'expressa amprant les matrius de Pauli, i tot sistema quàntic de dos nivells pot equiparar-se al cas d'espin ½.

El punt de coordenades cartesianas (0,0,1) correspon al autovector en autovalor positiu de la matriu de Pauli ${\sigma }_z$, mentres que el punt opost (0,0,-1) correspon al autovector en autovalor negatiu. En la terminologia de computació quàntica, empleada en tractar els qubits, abdós estats es designen per $|0⟩$ i $|1⟩$ respectivament. Estos estats en terminologia d'espin ½ poden designar-se per $|+⟩$ i $|-⟩$, o “espin dalt” i “espin avall”.

Lo dit per als punts sobre l'eix Z val per als atres eixos amprant en cada cas la matriu de Pauli corresponent.

Definició

Erro al crear miniatura:

Esfera de Bloch.

Qualsevol punt de l'esfera de Bloch és un estat quàntic o qubit que es pot expressar com:

A on $\theta ,\varphi$ són número real tals que $0\le \theta \le \pi$ i $0\le \varphi \le 2\pi$.

Desenrolle

El qubit

Un qubit es pot representar com una combinació llineal dels estats $|0⟩$ i $|1⟩$, és dir:

A on tant $\alpha$ com $\beta$ poden ser número complejo, els quals podem escriure en forma exponencial:

Llavors hem caracterisat el qubit en térmens de quatre paràmetros reals.

Invarianza respecte a la fase global

No obstant, les úniques cantitats mesurables són les provabilitats $|\alpha {|}^2$ i $|\beta {|}^2$, llavors multiplicar este estat per un factor arbirtrario $e^{i\gamma }$ (una fase global) no té conseqüències observables, ya que:

i de forma similar per a $|\beta {|}^2$. A açò se li coneix com invarianza sobre la fase global. Aixina, que podem multiplicar lliurement el nostre estat per $e^{-i{\varphi }_{\alpha }}$:

A on hem usat $\varphi ={\varphi }_{\beta }-{\varphi }_{\alpha }$, reduint el número de paràmetros a tres.

Condició de normalisació

Ademés, tenim la condició de normalisació $⟨\psi |\psi ⟩=1$. Si escrivim $r_{\beta }{e}^{i\varphi }$ en forma cartesiana, podem escriure esta condició com:

$\begin{array}{ccc}⟨\psi |\psi ⟩& =& 1\\ & =& |r_{\alpha }{|}^2+|x+iy{|}^2\\ & =& r_{\alpha }^2+x^2+y^2\end{array}$

Pero l'equació $1=r_{\alpha }^2+x^2+y^2$ correspon a una esfera unitària en l'espai real $\mathrm{I}{\mathrm{R}}^3$ (x,i,$r_{\alpha }$).

Coordenades esfèriques

Açò nos sugerix que es pot representar l'estat $|\psi ⟩$ com un punt sobre la superfície d'esta esfera unitària. Estos punts s'escriuen en térmens dels ànguls $\theta$ i $\varphi$ com:

Substituint açò en el nostre estat tenim:

Ànguls mijos

Notem ara que si $\theta =0$, $|\psi ⟩=|0⟩$, i si $\theta =\pi /2$, $|\psi ⟩=e^{i\varphi }|1⟩$. Esta última expressió correspon als estats sobre l'equador de la nostra esfera. Açò sugerix que en realitat basta $0\le \theta \le \pi /2$ per a tindre tots els estats possibles.

Considerem ara un estat $|{\psi }^{\prime }⟩$ que este en el costat opost de l'esfera, que tinga coordenades $(1,\pi -\theta ,\varphi +\pi )$.

És dir que tots els estats baix de l'equador són el negatiu d'algun estat per damunt de l'equador. Per a no repetir els estats sobre l'esfera, canviem l'expressió

per

De tal manera que tots els punts sobre l'esfera corresponen a algun únic estat distint.