Pol (anàlisis complex)

En anàlisis complex, un pol d'una funció holomorfa és un cert tipo de singularitat que es comporta com la singularitat 1/zⁿ en z = 0. Un pol de la funció f(z) és un punt z = a tal que f(z) tendix a infinit a mida que z tendix a a.

Pol (anàlisis complex)

El valor absolut de la Funció gamma. L'image mostra que la funció tendix a infinit en els pols (esquerra). En la part dreta, la funció Gamma no té pols, únicament s'incrementa ràpidament.

Definició

Formalment, siga O un subconjunt obert del pla complex C, siga a un element de O i f : O − {a} → C és una funció holomorfa . Si existix una funció holomorfa g : O → C i un número natural n tal que:

$f(z)=\frac{g(z)}{(z-a{)}^n}$

per a tota z de O − {a}, llavors cridem a a pol de f. Si el sancer n es tria tan chicotet com siga possible, llavors n se li denomina orde del pol. Un pol d'orde 1 també és cridat pol simple.

Equivalentement, a és un pol d'orde n≥ 0 d'una funció f si existix un entorn obert O de a tal que f : O - {a} → C és holomorfa i el llímit

$\underset{z\to a}{\lim }(z-a{)}^{n}f(z)$

existix i és diferent de 0.

Classificació

Vore també: Singularitat matemàtica

Evaluant f(z) en el punt a, est és un pol d'orde n de f si i solament si tots lo térmens de la série de Laurent de f definits en l'entorn de a de grau inferior a n s'anulen i el terme de grau n és distint de zero.

Un pol d'orde 0 és una singularitat evitable. En este cas, el llímit lim_z→a f(z) existix com a número complex, i la funció pot ser representada per una série de Taylor. Si l'orde és major que 0, llavors lim_z→a f(z) = ∞, i la funció tindrà un desenroll en térmens de la série de Laurent.

Si la primera derivada de la funció f té un pol simple en a, llavors a és un punt de ramificació de f. (El recíproc no té perque ser cert).

Una singularitat no evitable que no és un pol ni un punt de ramificació se li crida singularitat essencial.

Una funció holomorfa que les seues totes les seues singularitats són pols se li denomina funció meromorfa.

Vore també

• Zero (anàlisis complex)

Referències

• Pole en MathWorld.