Singularitat essencial

Archiu:Essential singularity.png

Gràfica de la funció exp(1/z), centrada en la singularitat essencial en z = 0. La coloració representa l'argument complex i la lluminositat el valor absolut. Esta image mostra com acostant-se a la singularitat des de diferents direccions s'obtenen diferents comportaments (al contrari que un pol que seria uniformemente blanc).

En anàlisis complex, una singularitat essencial és singularitat «severa» en la que en el seu entorn la funció experimenta un comportament extrem. Bàsicament, la categoria de singularitats essencials és un conjunt de singularitats especialment inmanejables. Són, per definició, aquelles singularitats que no entren en el conjunt de singularitat evitable o pol.

Descripció formal

Siga un conjunt obert O en el pla complex C. Siga a un element de O, i f : O  {a} → C una funció meromorfa. El punt a es denomina singularitat essencial de la funció f si la singularitat no és ni un pol ni evitable.

Per eixemple, la funció exponencial f(z) = i^1/z posseïx una singularitat essencial en z = 0.

Descripcions alternatives

Siga a un número complejo, supongam que f(z) no està definida en a pero és una funció analítica en un entorn O del pla complex, tal que cada entorn obert de posseïx intersecció no buida en O. Si abdós

$\underset{z\to a}{\lim }f(z)$   i   $\underset{z\to a}{\lim }\frac{1}{f(z)}$   existixen, llavors a és una singularitat evitable de f i 1/f.

Si

$\underset{z\to a}{\lim }f(z)$   existix pero   $\underset{z\to a}{\lim }\frac{1}{f(z)}$   no existix, llavors a és un zero de f i un pol d'1/f.

Análogamente si

$\underset{z\to a}{\lim }f(z)$   no existix pero   $\underset{z\to a}{\lim }\frac{1}{f(z)}$   existix, llavors a és un pol de f i un zero d'1/f.

Si ni

$\underset{z\to a}{\lim }f(z)$   ni   $\underset{z\to a}{\lim }\frac{1}{f(z)}$   existixen, llavors a és un singularitat essencial de f i 1/f.

Un atre modo de caracterisar singularitats essencials és per mig d'un desenroll en série de Laurent entorn al punt a; si este desenroll posseïx infinits térmens de potències d'orde negatiu llavors a és una singularitat essencial.

El comportament de funcions meromorfas entorn a singularitats essencials ve descrit pel teorema de Weierstrass-Casorati i més fortament pel gran teorema de Picard. L'últim d'estos establix que en qualsevol entorn d'una singularitat essencial a, la funció f pren tots els possibles valors, llevat potser un, un número infinit de voltes.

Vore també

• Classificació de discontinuïtats

Referències

• Essential Singularity en MathWorld.
• Lars V. Ahlfors; Complex Analysis, McGraw-Hill, 1979
• Rajendra Kumar Jain, S. R. K. Iyengar; Advanced Engineering Mathematics. Page 920. Alpha Science International, Limited, 2004. ISBN 1842651854