Classificació de discontinuïtats

Les funcions contínues són de suma importància en matemàtica i en distintes aplicacions. No obstant, no totes les funcions són contínues. Pot ocórrer que una funció no siga contínua en tot el seu domini de definició. Si una funció no és contínua en un punt, es diu que la funció té una discontinuidad en eixe punt i que la funció és discontínua. En este artícul es descriu la classificació de discontinuïtats per al cas més simple de funcions d'una sola variable real.

Conceptes previs

Considere's una funció i= f(x), de variable real x, definida per a tot valor de x llevat possiblement per a un cert valor x= a. És dir, f(x) està definida per a x < a i per a x > a. Definim també:

Tendència d'una funció

Considere's el concepte de tendència de la funció: f(x), en la proximitat d'un punt: a, abans d'amprar el concepte de llímit, més formal.

Es diu que una funció f(x) tendix a un valor c, quan x tendix a a per l'esquerra, si a mida que x pren valors més pròxims a a, sense aplegar mai a ser a, i inferiors a a, el valor de la funció f(x) s'aproxima progressivament a c, sent c un número real, llavors es diu que la funció convergix per l'esquerra en c, o que la funció és convergent per l'esquerra.

Si quan x s'aproxima a a, sense aplegar al valor de a, i en valors inferiors a a, pren valors cada volta majors, sense poder determinar un valor real que el valor de la funció no puga superar, es diu que la funció tendix a infinit quan x tendix a a per l'esquerra, de la mateixa manera si quan x s'aproxima progressivament a a, sense aplegar a ser a i en valors inferiors a a, el valor de la funció pren valors inferiors cada volta, sense poder determinar un número real mínim que la funció no puga superar, es diu que la funció tendix a menys infinit, quan la variable tendix a a per l'esquerra. En estos dos casos es diu que la funció divergix quan [n o x tendix a a per l'esquerra.

Si quan la variable x pren valors progressivament més pròxims a a, pero distints de a i inferiors a a, la funció oscila entre un valor superior Ls i un valor inferior Li, sent Ls el valor real més chicotet que la funció no pot superar quan x tendix a a per l'esquerra, i Li és el valor més alt per al que la funció permaneix per damunt quan x tendix a a per l'esquerra, es diu que la funció oscila entre els valors Ls i Li quan x tendix a a per l'esquerra, i per lo tant la funció, en este cas no té llímit.

Si per a valors de x pròxims a a, inferiors a a, no existix per no estar definida o per no existir cap número real com a resultat de f(x), es diu que f(x) no existix a l'esquerra de a.

$\mathrm{\forall }x<a\{\begin{array}{c}\mathrm{\exists }f(x)\{\begin{array}{c}\mathrm{\exists }\underset{x\to a^{-}}{\lim }f(x)\{\begin{array}{cc}\underset{x\to a^{-}}{\lim }f(x)=c& ⟶\text{Convergente}\\ \\ \underset{x\to a^{-}}{\lim }f(x)=\pm \mathrm{\infty }& ⟶\text{Divergente}\end{array}\\ \\ \nexists \underset{x\to a^{-}}{\lim }f(x)⟶\text{Oscilante}\end{array}\\ \\ \nexists f(x)⟶\text{No existe}\end{array}$

Pel mateix raonament es pot determinar la tendència de la funció f(x), quan x tendix a a, sense aplegar a ser a i en valors majors que a, dient que x tendix a a per la dreta, en els mateixos resultats que els obtinguts per l'esquerra.

$\mathrm{\forall }x>a\{\begin{array}{c}\mathrm{\exists }f(x)\{\begin{array}{c}\mathrm{\exists }\underset{x\to a^{+}}{\lim }f(x)\{\begin{array}{cc}\underset{x\to a^{+}}{\lim }f(x)=c& ⟶\text{Convergente}\\ \\ \underset{x\to a^{+}}{\lim }f(x)=\pm \mathrm{\infty }& ⟶\text{Divergente}\end{array}\\ \\ \nexists \underset{x\to a^{+}}{\lim }f(x)⟶\text{Oscilante}\end{array}\\ \\ \nexists f(x)⟶\text{No existe}\end{array}$

Segons el cas que f(x) presente quan x tendix a a per la dreta i per l'esquerra i el valor de la funció en el punt a: f(a), es podrà determinar la continuïtat de la funció en el punt a, o els distints tipos de discontinuidad.

Llímit d'una funció

AP El llímit per esquerra en a, és dir, el llímit en aproximar-se al valor x= a per mig de valors menors de a, com:

$L^{-}=\underset{x\to a^{-}}{\lim }f(x)$

El llímit per dreta en a, és dir, el llímit en aproximar-se al valor x= a per mig de valors majors de a, com:

$L^{+}=\underset{x\to a^{+}}{\lim }f(x)$

Si estos dos llímits en l'entorn del punt a existixen i són iguals es diu que la funció té llímit en este punt.

$\begin{array}{c}\underset{x\to a^{-}}{\lim }f(x)=L^{-}\\ \\ \underset{x\to a^{+}}{\lim }f(x)=L^{+}\\ \\ L^{-}=L^{+}=L\end{array}\}\underset{x\to a}{\lim }f(x)=L$

En qualsevol atre cas es diu que la funció no té llímit en eixe punt.

Llímit superior i llímit inferior

AP A pesar de que una funció existixca pero no tinga llímit en un punt, podem diferenciar un llímit superior i inferior.

Es diu que una funció té llímit superior per l'esquerra, en un punt a, si existix una quota superior: Ls, que el llímit no supera quan s'aproxima a a per l'esquerra:

$\underset{x\to a^{-}}{\mathrm{lim\; sup}}f(x)=\underset{x\to a^{-}}{\bar{\lim }}f(x)=L{s}^{-}$

De la mateixa manera es diu que una funció té llímit inferior per l'esquerra, en un punt a, si existix una quota inferior: Li, per baix de la qual el llímit no pot estar quan s'aproxima a a per l'esquerra:

$\underset{x\to a^{-}}{\mathrm{lim\; inf}}f(x)=\underset{x\to a^{-}}{\underset{―}{\lim }}f(x)=L{i}^{-}$

Es diu que una funció té llímit superior per la dreta, en un punt a, si existix una quota superior: Ls, que el llímit no supera quan s'aproxima a a per la dreta:

$\underset{x\to a^{+}}{\mathrm{lim\; sup}}f(x)=\underset{x\to a^{+}}{\bar{\lim }}f(x)=L{s}^{+}$

També es diu que una funció té llímit inferior per la dreta, en un punt a, si existix una quota inferior: Li, per baix de la qual el llímit no pot estar quan s'aproxima a a per la dreta:

$\underset{x\to a^{+}}{\mathrm{lim\; inf}}f(x)=\underset{x\to a^{+}}{\underset{―}{\lim }}f(x)=L{i}^{+}$

Si el llímit superior per la dreta i per l'esquerra coincidixen, li'l menciona senzillament de llímit superior, de la mateixa manera, si el llímit inferior per la dreta i per l'esquerra coincidixen li'l menciona com el llímit inferior.

$\underset{x\to a}{\mathrm{lim\; sup}}f(x)=\underset{x\to a}{\bar{\lim }}f(x)=Ls$

$\underset{x\to a}{\mathrm{lim\; inf}}f(x)=\underset{x\to a}{\underset{―}{\lim }}f(x)=Li$

Pero esta coincidència no té perque donar-se en tots els casos.

Funció Contínua

AP Si una funció té llímit en un paràmetro i el seu valor coincidix en el valor de la funció en eixe punt, llavors la funció és contínua en eixe punt:

$\begin{array}{c}\underset{x\to a}{\lim }f(x)=L\\ f(a)=L\end{array}\}\text{continua}$

en qualsevol atre cas és discontínua en eixe punt.

Tipos de discontinuïtats

La discontinuïtat d'una funció en un punt pot ser classificada en:

$\mathrm{F}\mathrm{u}\mathrm{n}\mathrm{c}\mathrm{i}\acute{\mathrm{o}}\mathrm{n}\{\begin{array}{c}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{u}\mathrm{a}\\ \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{u}\mathrm{a}\{\begin{array}{c}\mathrm{e}\mathrm{v}\mathrm{i}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{b}\mathrm{l}\mathrm{e}\\ \mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{c}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{l}\{\begin{array}{c}\mathrm{d}\mathrm{e}{\mathrm{1}}^{\mathrm{a}}\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{i}\mathrm{e}\{\begin{array}{c}\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{a}\mathrm{l}\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{f}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{i}\mathrm{t}\\ \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{a}\mathrm{l}\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{i}\mathrm{t}\mathrm{o}\\ \mathrm{a}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{t}\acute{\mathrm{o}}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{c}\mathrm{a}\end{array}\\ \mathrm{d}\mathrm{e}{\mathrm{2}}^{\mathrm{a}}\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{i}\mathrm{e}\end{array}\end{array}\end{array}$

Discontinuïtat evitable

Una funció presenta discontinuïtat evitable en un punt a, si existix el llímit en el punt, pero la funció en eixe punt, f(a), té un valor distint o no existix, vejam estos dos casos.

Si el llímit, quan x tendix a a, és c, i el valor de la funció evaluada en a és d, la funció és discontínua en a.

$\{\begin{array}{c}\begin{array}{c}\underset{x\to a^{-}}{\lim }f(x)=c\\ \underset{x\to a^{+}}{\lim }f(x)=c\end{array}\}\underset{x\to a}{\lim }f(x)=c\\ f(a)=d\end{array}$

Si el llímit quan x tendix a a és c, pero la funció no existix en eixe punt (el punt no pertany al domini), la funció és discontínua en a.

$\{\begin{array}{c}\begin{array}{c}\underset{x\to a^{-}}{\lim }f(x)=c\\ \underset{x\to a^{+}}{\lim }f(x)=c\end{array}\}\underset{x\to a}{\lim }f(x)=c\\ \nexists f(a)\end{array}$

Sabent que una funció és contínua en un punt, quan té llímit en eixe punt, i el valor del llímit és el mateix que el valor de la funció en eixe punt, les dos discontinuïtats anteriors es poden evitar assignant a la funció, en el punt de discontinuidad, el valor del llímit en eixe punt.

$\{\begin{array}{c}\begin{array}{c}\underset{x\to a^{-}}{\lim }f(x)=c\\ \underset{x\to a^{+}}{\lim }f(x)=c\end{array}\}\underset{x\to a}{\lim }f(x)=c\\ f(a)=c\end{array}$

Discontinuïtat essencial o no evitable

Es diu que una funció presenta una discontinuïtat essencial quan es produïx algunes de les següents situacions:

Discontinuïtat de primera espècie: si els llímits laterals són distints, o a lo manco un d'ells divergix.

Discontinuïtat de segona espècie: si la funció, a lo manco en un dels costats del punt, no existix o no té llímit.

Discontinuïtat de primera espècie

En este tipo de discontinuïtat existixen tres tipos:

De bot finit

Existixen els llímits per la dreta i per l'esquerra del punt, el seu valor és finit, pero no són iguals:

A este tipo de discontinuïtat de primera espècie se li crida bot finit, i el bot (Δi) ve dau per:

$\Delta y=|\underset{x\to a^{-}}{\lim }f(x)-\underset{x\to a^{+}}{\lim }f(x)|$

Si la funció tendix a c, quan x tendix a a per l'esquerra, i tendix a d quan ho fa per la dreta, en el punt x = a, es presenta un bot, independentment del valor de la funció en eixe punt.

$\{\begin{array}{c}\underset{x\to a^{-}}{\lim }f(x)=c\\ \underset{x\to a^{+}}{\lim }f(x)=d\\ \nexists f(a)\end{array}$

Aixina podem vore que són discontinuïtats de bot finit:

$\{\begin{array}{c}\underset{x\to a^{-}}{\lim }f(x)=c\\ \underset{x\to a^{+}}{\lim }f(x)=d\\ f(a)=c\end{array}$

$\{\begin{array}{c}\underset{x\to a^{-}}{\lim }f(x)=c\\ \underset{x\to a^{+}}{\lim }f(x)=d\\ f(a)=d\end{array}$

$\{\begin{array}{c}\underset{x\to a^{-}}{\lim }f(x)=c\\ \underset{x\to a^{+}}{\lim }f(x)=d\\ f(a)=e\end{array}$

De bot infinit

Si un dels llímits laterals és infinit i l'atre finit, tant si el llímit per l'esquerra és finit i el de la dreta infinit:

$\begin{array}{c}\underset{x\to a^{-}}{\lim }f(x)=L\\ \underset{x\to a^{+}}{\lim }f(x)=\pm \mathrm{\infty }\end{array}\}\text{discontinuïtat de salto infinito}$

Aixina podem vore els casos:

$\{\begin{array}{c}\underset{x\to a^{-}}{\lim }f(x)=c\\ \underset{x\to a^{+}}{\lim }f(x)=+\mathrm{\infty }\end{array}$

$\{\begin{array}{c}\underset{x\to a^{-}}{\lim }f(x)=c\\ \underset{x\to a^{+}}{\lim }f(x)=-\mathrm{\infty }\end{array}$

com en el cas de que el llímit per l'esquerra siga infinit i per la dreta finit:

$\begin{array}{c}\underset{x\to a^{-}}{\lim }f(x)=\pm \mathrm{\infty }\\ \underset{x\to a^{+}}{\lim }f(x)=L\end{array}\}\text{discontinuïtat de salto infinito}$

A on es pot vore:

$\{\begin{array}{c}\underset{x\to a^{-}}{\lim }f(x)=+\mathrm{\infty }\\ \underset{x\to a^{+}}{\lim }f(x)=c\end{array}$

$\{\begin{array}{c}\underset{x\to a^{-}}{\lim }f(x)=-\mathrm{\infty }\\ \underset{x\to a^{+}}{\lim }f(x)=c\end{array}$

Es diu que la discontinuïtat és de bot infinit.

Discontinuïtat asintòtica

Si els dos llímits laterals de la funció en el punt x = a sò infinits:

$\begin{array}{c}\underset{x\to a^{-}}{\lim }f(x)=\pm \mathrm{\infty }\\ \underset{x\to a^{+}}{\lim }f(x)=\pm \mathrm{\infty }\end{array}\}\text{discontinuïtat }\mathrm{a}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{t}\acute{\mathrm{o}}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{c}\mathrm{a}$

A este tipo de discontinuïtat de primera espècie se li crida discontinuïtat asintòtica, sent x = a l'asíntota.

$\{\begin{array}{c}\underset{x\to a^{-}}{\lim }f(x)=+\mathrm{\infty }\\ \underset{x\to a^{+}}{\lim }f(x)=+\mathrm{\infty }\end{array}$

$\{\begin{array}{c}\underset{x\to a^{-}}{\lim }f(x)=+\mathrm{\infty }\\ \underset{x\to a^{+}}{\lim }f(x)=-\mathrm{\infty }\end{array}$

$\{\begin{array}{c}\underset{x\to a^{-}}{\lim }f(x)=-\mathrm{\infty }\\ \underset{x\to a^{+}}{\lim }f(x)=+\mathrm{\infty }\end{array}$

$\{\begin{array}{c}\underset{x\to a^{-}}{\lim }f(x)=-\mathrm{\infty }\\ \underset{x\to a^{+}}{\lim }f(x)=-\mathrm{\infty }\end{array}$

Discontinuïtat de segona espècie

Si la funció no existix en un dels costats del punt, o no existixen algun, o abdós, dels llímits laterals de la funció en eixe punt, es diu que la funció presenta una discontinuïtat de segona espècie en eixe punt.

$\{\begin{array}{c}\underset{x\to a^{-}}{\lim }f(x)=c\\ \mathrm{\forall }x\ge a:\nexists f(x)\end{array}$

$\{\begin{array}{c}\mathrm{\forall }x\le a:\nexists f(x)\\ \underset{x\to a^{+}}{\lim }f(x)=c\end{array}$

NO és una discontinuïtat de segona espècie una funció definida en un sol punt, o més generalment, en un conjunt insolado de punts. Tota funció definida en eixe tipo de conjunts és contínua.

$\{\begin{array}{c}\begin{array}{c}\mathrm{\forall }x<a:\nexists f(x)\\ \mathrm{\forall }x>a:\nexists f(x)\end{array}\}\mathrm{\forall }x\ne a:\nexists f(x)\\ f(a)=c\end{array}$

Si la funció existix, pero no té llímit:

$\{\begin{array}{c}\underset{x\to a^{-}}{\lim }f(x)=c\\ \nexists \underset{x\to a^{+}}{\lim }f(x)\end{array}$

$\{\begin{array}{c}\nexists \underset{x\to a^{-}}{\lim }f(x)\\ \underset{x\to a^{+}}{\lim }f(x)=c\end{array}$

$\{\begin{array}{c}\nexists \underset{x\to a^{-}}{\lim }f(x)\\ \nexists \underset{x\to a^{+}}{\lim }f(x)\end{array}$

Vore també

Punt crític

Punt fronteriç

Punt estacionario

Punt singular

• Punt d'inflexió
• Extrems d'una funció
• Singularitat matemàtica
• Classificació de discontinuïtats
• Criteri de la primera derivada
• Criteri de la segona derivada
• Criteri de la tercera derivada
• Criteri de la derivada de major orde
• Punt de cadira