Punt de cadira

Punt de cadira

Gràfic de la funció $x^2-y^2$, coneguda com a cadira de montar, o paraboloide hiperbòlic. Esta té un punt de cadira en l'orige, indicat en el gràfic pel punt roig.

Un punt de cadira o punt de ensilladura és el punt sobre una superfície en el que la pendent és zero pero no es tracta d'un extrem local (màxim o mínim). El nom prové de que en l'eixemple prototípico la superfície entorn al punt de cadira s'assembla a una cadira de montar a cavall.

Un eixemple de punt de cadira és un punt crític a on l'elevació és màxima en una direcció i mínima en la direcció perpendicular. Açò ocorre, per eixemple, en el punt $(0,0)$ de la funció $f(x,y)=x^2-y^2$. No obstant, no tots els punts de cadira són d'este tipo. Per eixemple, la funció $f(x,y)=x^2+y^3$ té un punt de cadira en (0,0), pero no té màxim local en cap direcció per l'orige.

Definició

Considerem una funció diferenciable de $n$ variables: $f:{ℝ}^n\to ℝ$. Diem que $f$ té un punt de cadira en $\hat{x}=(x_1,\dots ,x_n)$, si es complix:

1. $f$ té un punt crític en $\hat{x}$. És dir que el gradient és nul en dit punt: $\mathrm{\nabla }f(\hat{x})=\overrightarrow{0}$.
2. $f$ no té màxim ni mínim local en $\hat{x}$. Açò equival a dir que: per a tota bola centrada en $\hat{x}$, existix un punt $y$ de la bola a on $f(y)>f(\hat{x})$, i un atre punt $z$ de la bola a on $f(z)<f(\hat{x})$.

Eixemple

L'eixemple clàssic és l'anomenada cadira de montar, o Paraboloide hiperbòlic, que s'obté a partir de la funció $f(x,y)=x^2-y^2$. En este cas el gradient és: $\mathrm{\nabla }f(x,y)=(2x,-2y)$. Este s'anula solament en l'orige $(0,0)$. És dir que la funció té un únic punt crític. Vejam que este és un punt de cadira, usant la definició anterior.

Els valors de la funció en l'eix $x$, són: $f(x,0)=x^2>0$. Per un atre costat, els valors de la funció en l'eix $y$, són: $f(0,y)=-y^2<0$. Per lo tant, en qualsevol bola centrada en l'orige, existix a lo manco un punt de la bola a on la funció és positiva i un atre a on és negativa. Com ademés $f(0,0)=0$, es complix la definició de punt de cadira.

Notar que, si restringim la funció $f$ a l'eix $x$, s'obté la funció d'una variable $x^2$. Esta té un mínim local en $x=0$, per lo que $f$ té un mínim local en la direcció de l'eix x. En forma similar, en restringir $f$ a l'eix $y$, s'observa que esta té un màxim local en la direcció de l'eix $y$. Açò implica que $f$ no té mínim ni màxim local en $(0,0)$ (com a funció de dos variables). Per lo tant, es conclou que el punt crític $(0,0)$ és un punt de cadira. No obstant, com es va dir a l'inici, no tots els punts de cadira són d'esta forma, en un màxim en una direcció i un mínim en una atra.

Vore també

• Punt d'inflexió: És el punt a on la funció passa de cóncava a convexa, o viceversa.

• Cadira de mona: Un tipo particular de punt de cadira.