Punt de cadira

Gràfic de la funció

x^{2} - y^{2}

, coneguda com a cadira de montar, o paraboloide hiperbòlic. Esta té un punt de cadira en l'orige, indicat en el gràfic pel punt roig.

Un punt de cadira o punt de ensilladura és el punt sobre una superfície en el que la pendent és zero pero no es tracta d'un extrem local (màxim o mínim). El nom prové de que en l'eixemple prototípico la superfície entorn al punt de cadira s'assembla a una cadira de montar a cavall.

Un eixemple de punt de cadira és un punt crític a on l'elevació és màxima en una direcció i mínima en la direcció perpendicular. Açò ocorre, per eixemple, en el punt $(0, 0)$ de la funció $f (x, y) = x^{2} - y^{2}$ . No obstant, no tots els punts de cadira són d'este tipo. Per eixemple, la funció $f (x, y) = x^{2} + y^{3}$ té un punt de cadira en (0,0), pero no té màxim local en cap direcció per l'orige.

Definició

Considerem una funció diferenciable de $n$ variables: $f : ℝ^{n} \to ℝ$ . Diem que $f$ té un punt de cadira en $\hat{x} = (x_{1}, \dots, x_{n})$ , si es complix:

$f$ té un punt crític en $\hat{x}$ . És dir que el gradient és nul en dit punt: $\nabla f (\hat{x}) = \vec{0}$ .
$f$ no té màxim ni mínim local en $\hat{x}$ . Açò equival a dir que: per a tota bola centrada en $\hat{x}$ , existix un punt $y$ de la bola a on $f (y) > f (\hat{x})$ , i un atre punt $z$ de la bola a on $f (z) < f (\hat{x})$ .

Eixemple

L'eixemple clàssic és l'anomenada cadira de montar, o Paraboloide hiperbòlic, que s'obté a partir de la funció $f (x, y) = x^{2} - y^{2}$ . En este cas el gradient és: $\nabla f (x, y) = (2 x, - 2 y)$ . Este s'anula solament en l'orige $(0, 0)$ . És dir que la funció té un únic punt crític. Vejam que este és un punt de cadira, usant la definició anterior.

Els valors de la funció en l'eix $x$ , són: $f (x, 0) = x^{2} > 0$ . Per un atre costat, els valors de la funció en l'eix $y$ , són: $f (0, y) = - y^{2} < 0$ . Per lo tant, en qualsevol bola centrada en l'orige, existix a lo manco un punt de la bola a on la funció és positiva i un atre a on és negativa. Com ademés $f (0, 0) = 0$ , es complix la definició de punt de cadira.

Notar que, si restringim la funció $f$ a l'eix $x$ , s'obté la funció d'una variable $x^{2}$ . Esta té un mínim local en $x = 0$ , per lo que $f$ té un mínim local en la direcció de l'eix x. En forma similar, en restringir $f$ a l'eix $y$ , s'observa que esta té un màxim local en la direcció de l'eix $y$ . Açò implica que $f$ no té mínim ni màxim local en $(0, 0)$ (com a funció de dos variables). Per lo tant, es conclou que el punt crític $(0, 0)$ és un punt de cadira. No obstant, com es va dir a l'inici, no tots els punts de cadira són d'esta forma, en un màxim en una direcció i un mínim en una atra.

Vore també

Punt d'inflexió: És el punt a on la funció passa de cóncava a convexa, o viceversa.

Cadira de mona: Un tipo particular de punt de cadira.

Este artícul conté una traducció derivada de «Punto de silla» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.