Funció exponencial

Funció exponencial

En matemàtiques, una funció exponencial és una funció de la forma$f(x)=a{b}^x$ en el que l'argument x es presenta com un exponent. Una funció de la forma $f(x)=a{b}^{cx+d}$ també és una funció exponencial, ya que pot reescriure's com:

$a{b}^{cx+d}=\left(a{b}^d\right){\left(b^c\right)}^x$

Com a funcions d'una variable real, les funcions exponencials es caracterisen únicament pel fet de que la taxa de creiximent de dita funció (és dir, la seua derivada) és directament proporcional al valor de la funció. La constant de proporcionalitat d'esta relació és el logaritmo natural de la base b:$\frac{d}{dx}{b}^x=b^x{\log }_{e}b.$ La constant i = 2.71828... és la base única per a la qual la constant de proporcionalitat és 1, de modo que la derivada de la funció és ella mateixa:$\frac{d}{dx}{e}^x=e^x{\log }_{e}e=e^x$. Ya que el canvi de la base de la funció exponencial simplement dona com resultat l'aparició d'un factor constant adicional, és computacionalment convenient reduir l'estudi de les funcions exponencials en l'anàlisis matemàtic a l'estudi d'esta funció particular, cridada convencionalment la "funció exponencial natural", o simplement, "la funció exponencial" i denotada per $x\mapsto e^x$ o be $x\mapsto \exp (x)$. Si ben abdós notacions són comunes, la primera s'usa generalment per als exponents més simples, mentres que la segona tendix a usar-se quan l'exponent és una expressió complicada.

La funció exponencial satisfà l'identitat multiplicativa fonamental $e^{x+y}=e^x{e}^y$ para tot $x,y\in ℝ$. Esta identitat s'estén als exponents de valores complexos. Es pot mostrar que cada solució contínua, distinta de zero, de l'equació funcional $f(x+y)=f(x)f(y)$ és una funció exponencial, $f:ℝ\to ℝ,x\mapsto b^x$ en l'identitat multiplicativa fonamental, junt en la definició del número i com i¹, mostra que $e^n=\underset{n\text{ términos}}{\underbrace{e\times \cdots \times e}}$ per a sancers positius n i relaciona la funció exponencial en la noció elemental de exponenciación.

L'argument de la funció exponencial pot ser qualsevol número real o complex o inclús un tipo d'objecte matemàtic completament diferent (per eixemple, una matriu).

La seua omnipresent aparició en matemàtiques pures i aplicades ha dut al matemàtic W. Rudin a opinar que la funció exponencial és "la funció més important en matemàtiques". En els ajusts aplicats, les funcions exponencials modelen una relació en la que un canvi constant en la variable independent proporciona el mateix canvi proporcional (és dir, aument o disminució de percentage) en la variable depenent. Açò ocorre àmpliament en les ciències naturals i socials; per lo tant, la funció exponencial també apareix en una varietat de contexts dins de la física, la química, l'ingenieria, la biologia matemàtica i l'economia.

La gràfica de $y=e^x$està inclinada cap a dalt, i aumenta més ràpit a mida que x aumenta. El gràfic sempre es troba per damunt de l'eix x, pero pot estar arbitrariamente prop d'ell per a x negatiu; Aixina, l'eix x és una asíntota horisontal. La pendent de la tangente a la gràfica en cada punt és igual a la seua coordenada i en eixe punt, com ho indica la seua funció derivada. El seu funció inversa és el logaritmo natural, denotat $\log$, $\ln$, o ${\log }_e$; per açò, alguns texts antics es referixen a la funció exponencial com el antilogaritmo.

Definició formal

La funció exponencial real $\exp :ℝ\to ℝ$ es pot caracterisar de vàries maneres equivalents. Més comunament, es definix per les següents séries de potències:

$\exp (x)=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^k}{k!}=1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+\frac{x^4}{24}+\cdots$

Com el ràdio de convergència d'esta série de potències és infinit, esta definició és, de fet, aplicable a tots els número complejo $z\in ℂ$.

La diferenciació terme per terme d'esta série de potències revela que $(d/dx)(\exp x)=\exp x$ per a totes les x reals, lo que du a una atra caracterisació comuna de $\exp (x)$ com l'única solució de l'equació diferencial

$y^{\prime }(x)=y(x),$

satisfent la condició inicial $y(0)=1.$

Basant-se en esta caracterisació, la regla de la cadena mostra que la seua funció inversa, el logaritmo natural, satisfà $(d/dy)({\log }_{e}y)=1/y$ per a $y>0,$ o ${\log }_{e}y={\int }_1^y\frac{1}{t}dt.$ Esta relació du a una definició menys comuna de la funció exponencial real $\exp (x)$com la solució $y$ a l'equació

$x=\underset{1}{\overset{y}{\int }}\frac{1}{t}dt.$

Per mig del teorema del binomi i la definició de la série de potències, la funció exponencial també es pot definir com el següent llímit:

$e^x=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{(1+\frac{x}{n})}^n.$

Visió general

La funció exponencial sorgix quan una cantitat creix o decau a una taxa proporcional al seu valor actual. Una d'eixes situacions és l'interés contínuament compost, i de fet, va ser esta observació la que va dur a Jacob Bernoulli en 1683 al número

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{(1+\frac{1}{n})}^n$

ara conegut com i. Més vesprada, en 1697, Johann Bernoulli va estudiar el càlcul de la funció exponencial.

Si una cantitat principal d'1 guanya interessos a una taxa anual de x capitalisació mensual, llavors l'interés guanyat cada més és Plantilla:Sfrac voltes el valor actual, per lo que cada més el valor total es multiplica per (1 + Plantilla:Sfrac), i el valor al final de l'any és (1 + Plantilla:Sfrac)¹². Si, en canvi, l'interés s'agrava diàriament, açò es convertix en (1 + Plantilla:Sfrac)³⁶⁵. Deixar que el número d'intervals de temps per any creixca sense llímit du a la definició llímit de la funció exponencial,

$\exp (x)=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{(1+\frac{x}{n})}^n$

primer donat per Leonhard Euler. Esta és una de vàries #caracterisació de la funció exponencial; Uns atres impliquen séries o equacions diferencials.

De qualsevol d'estes definicions es pot mostrar que la funció exponencial obedix a l'identitat de exponenciación bàsica,

$\exp (x+y)=\exp (x)\cdot \exp (y)$

lo que justifica la notació i^x.

La derivada (taxa de canvi) de la funció exponencial és la funció exponencial en sí mateixa. Més generalment, una funció en una taxa de canvi proporcional a la funció en sí mateixa (en lloc de ser igual a ella) és expressable en térmens de la funció exponencial. Esta propietat de funció conduïx a un creiximent exponencial o decaiguda exponencial.

La funció exponencial s'estén a una funció completa en el pla complex. La fòrmula de Euler relaciona els seus valors en arguments purament imaginaris en funcions trigonométricas. La funció exponencial també té anàlecs per als quals l'argument és una matriu, o inclús un element d'un àlgebra de Banach o un àlgebra de Lie.

Derivades i equacions diferencials

L'importància de la funció exponencial en matemàtiques i ciències prové principalment de la seua definició com a funció única que és igual a la seua derivada i és igual a 1 quan x = 0. És dir,

$\frac{d}{dx}{e}^x=e^x\text{y}{e}^0=1.$

Les funcions de la forma ce^x per a la constant c són les úniques funcions que són iguals a la seua derivada (pel teorema de Picard-Lindelöf). Atres formes de dir lo mateixa inclouen:

• La pendent de la gràfica en qualsevol punt és l'altura de la funció en eixe punt.
• La taxa d'aument de la funció en x és igual al valor de la funció en x.
• La funció resol l'equació diferencial i′ = i.
• exp és un punt fix de derivat com a funcional.

Si la taxa de creiximent o decaiguda d'una variable és proporcional al seu tamany, com és el cas del creiximent poblacional illimitat (vore catàstrofe maltusiana), interés compost contínuament o decaiguda radiactiva, llavors la variable pot escriure's com una funció exponencial pel temps. Explícitament per a qualsevol constant real k, una funció f: R → R satisfà f′ = kf si i solament si f (x) = cekx per a alguna constant c. k, a function satisfies if and only if f(x) = ce^kx for some constant c.

Ademés, per a qualsevol funció diferenciable f(x), trobem, per la regla de la cadena:

$\frac{d}{dx}{e}^{f(x)}=f^{\prime }(x)e^{f(x)}.$

Fraccions contínues per a i^x

Una fracció contínua per a i^x pot obtindre's a través d'una identitat de Euler:

$e^x=1+\frac{x}{1-\frac{x}{x+2-\frac{2x}{x+3-\frac{3x}{x+4-\ddots }}}}$

La següent fracció contínua generalisada per a i^z convergix més ràpidament:

$e^z=1+\frac{2z}{2-z+\frac{z^2}{6+\frac{z^2}{10+\frac{z^2}{14+\ddots }}}}$

o be, aplicant la substitució. z = Plantilla:Sfrac:

$e^{\frac{x}{y}}=1+\frac{2x}{2y-x+\frac{x^2}{6y+\frac{x^2}{10y+\frac{x^2}{14y+\ddots }}}}$

en un cas especial per a z = 2:

$e^2=1+\frac{4}{0+\frac{2^2}{6+\frac{2^2}{10+\frac{2^2}{14+\ddots }}}}=7+\frac{2}{5+\frac{1}{7+\frac{1}{9+\frac{1}{11+\ddots }}}}$

Esta fòrmula també convergix, encara que més llentament, per a z> 2. Per eixemple:

$e^3=1+\frac{6}{-1+\frac{3^2}{6+\frac{3^2}{10+\frac{3^2}{14+\ddots }}}}=13+\frac{54}{7+\frac{9}{14+\frac{9}{18+\frac{9}{22+\ddots }}}}$

Pla complex

Com en el cas real, la funció exponencial es pot definir en el pla complex en vàries formes equivalents. La definició més comuna de la funció exponencial complexa és paralela a la definició de la série de potències per als arguments reals, a on la variable real es reemplaça per una complexa:

$\exp (z):=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{z^k}{k!}$

La multiplicació de dos còpies d'estes séries de potències en el sentit de Cauchy, permesa pel teorema de Mertens, mostra que la propietat multiplicativa definitoria de les funcions exponencials seguix sent vàlida per a tots els arguments complexos:

$\exp (w+z)=\exp (w)\exp (z)$ para tot $w,z\in ℂ$

La definició de la funció exponencial complexa a la seua volta conduïx a les definicions apropiades que estenen les funcions trigonométricas a arguments complexos.

En particular, quan $z=it$ ($t$real), la definició de la série produïx l'expansió

$\exp (it)=(1-\frac{t^2}{2!}+\frac{t^4}{4!}-\frac{t^6}{6!}+\cdots )+i(t-\frac{t^3}{3!}+\frac{t^5}{5!}-\frac{t^7}{7!}+\cdots )$

En esta expansió, la reorganisació dels térmens en parts reals i imaginàries es justifica per la convergència absoluta de la série. Les parts reals i imaginàries de l'expressió anterior de fet corresponen a les expansions de la série de $\cos t$ i $\sin t$, respectivament.

Esta correspondència proporciona motivació per a definir el coseno i el sen per a tots els arguments complexos en térmens de $\exp (\pm iz)$i la série de potències equivalents:

$\cos z:=\frac{1}{2}[\exp (iz)+\exp (-iz)]=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^k\frac{z^{2k}}{(2k)!}$ i $\mathrm{sen}z:=\frac{1}{2i}[\exp (iz)-\exp (-iz)]=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^k\frac{z^{2k+1}}{(2k+1)!}$para tot $z\in ℂ$

Les funcions exp, cos i sense, aixina definides, tenen un radi infinit de convergència per la prova de relació i, per lo tant, són funcions completes (és dir, holomorfas en $ℂ$). El ranc de la funció exponencial és $ℂ\setminus \{0\}$, mentres que els rancs de les funcions complexes de sen i coseno són $ℂ$ en la seua totalitat, d'acort en el teorema de Picard, que afirma que el ranc d'una funció completa no constant és $ℂ$ o $ℂ$excloent un valor lacunario.

Estes definicions per a les funcions exponencials i trigonométricas conduïxen trivialment a la fòrmula de Euler:

$\exp (iz)=\cos z+i\mathrm{sen}z$ para tot $z\in ℂ$

Alternativament, podríem definir la funció exponencial complexa basada en esta relació. Si $z=x+iy$, a on $x$i $y$són reals, podríem definir el seu exponencial com

$\exp z=\exp (x+iy):=(\exp x)(\cos y+i\mathrm{sen}y)$

a on exp, cos i sen en el costat dret del signe de definició deuen interpretar-se com a funcions d'una variable real, prèviament definida per atres mijos.

Per a $t\in ℝ$, la relació $\overline{\exp (it)}=\exp (-it)$es manté, per lo que $|\exp (it)|=1$per a real $t$ i $t\mapsto \exp (it)$mapea la llínea real (mod $2\pi$) al círcul unitari. Sobre la base de la relació entre $\exp (it)$ i el círcul unitari, és fàcil vore que, restringit arguments reals, les definicions de sen i coseno donades anteriorment coincidixen en les seues definicions més elementals basades en nocions geomètriques.

La funció exponencial complexa és periòdica en el periodo $2\pi i$ i $\exp (z+2\pi ik)=\exp z$ per a tots $z\in ℂ,k\in \mathbb{Z}$.

Quan el seu domini s'estén des de la llínea real al pla complex, la funció exponencial conserva les següents propietats:

• $e^{z+w}=e^z{e}^w$
• $e^0=1$
• $e^z\ne 0$
• $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}{e}^z=e^z$
• ${\left(e^z\right)}^n=e^{nz},n\in \mathbb{Z}$

Estendre el logaritmo natural a arguments complexos produïx el logaritmo complex log z, que és una funció multivalor.

Podem definir una exponenciación més general:

$z^w=e^{w\log z}$

per a tots els número complejo z i w. Esta és també una funció multivalor, inclús quan z és real. Esta distinció és problemàtica, ya que les funcions multivalor log z i z^w es confonen fàcilment en els seus equivalents d'un sol valor en substituir un número real per z. La regla sobre la multiplicació d'exponents per al cas d'número real positius deu modificar-se en un context multivalor:

(i^z) ^w ≠ ezw, sino més be (i^z) ^w = i ^{(z + 2πin) w} multivalor sobre sancers n

La funció exponencial mapea qualsevol llínea en el pla complex a una espiral logarítmica en el pla complex en el centre en l'orige. cal senyalar dos casos especials: quan la llínea original és paralela a l'eix real, l'espiral resultant mai es tanca sobre sí mateixa; quan la llínea original és paralela a l'eix imaginari, l'espiral resultant és un círcul d'algun radi.

• Gràfics en 3D de la part real, la part imaginària i el mòdul de la funció exponencial
• 
  z = Re(i^{x + iy})
• 
  z = Im(i^{x + iy})
• 
  z = abs(i^{x + iy})

Considerant la funció exponencial complexa com una funció que involucra quatre variables reals:

$v+iw=\exp (x+iy)$

La gràfica de la funció exponencial és una superfície bidimensional que es curva a través de quatre dimensions.

Començant en una part codificada per colors del domini

$xy$

, les següents són representacions de la gràfica com es proyecta de manera diversa en dos o tres dimensions.

• Gràfics de la funció exponencial complexa
• 
  Clau:
  $x>0:\text{verde}$
  $x<0:\text{rojo}$
  $y>0:\text{amarillo}$
  $y<0:\text{azul}$
• 
  Proyecció sobre el pla complex de ranc (V/W). Compare en la següent image en perspectiva.
• 
  Proyecció en les dimensions $x$, $v$i $w$, produint una forma de bocina o embut acampanado (concebuda com una image en perspectiva 2-D).
• 
  Proyecció en les dimensions $y$, $v$ i $w$, produint una forma espiral. ($y$ranc estés a ± 2π, novament com a image en perspectiva 2-D).

La segona image mostra cóm es mapea el pla complex de domini en el pla complex de ranc:

• zero s'assigna a

1 * l'eix real $x$s'assigna a l'eix real $v$positiu

• l'eix imaginari $y$s'envol al voltant del círcul unitari a una velocitat angular constant
• els valors en parts reals negatives s'assignen dins del círcul unitari
• els valors en parts reals positives s'assignen fòra del círcul unitari
• els valors en una part real constant s'assignen a círculs centrats en zero
• els valors en una part imaginària constant s'assignen a rajos que s'estenen des de zero

La tercera i quarta imàgens mostren cóm el gràfic en la segona image s'estén en una de les atres dos dimensions que no es mostren en la segona image.

La tercera image mostra el gràfic estés a lo llarc de l'eix real $x$. Mostra que la gràfica és una superfície de revolució sobre l'eix $x$de la gràfica de la funció exponencial real, que produïx una forma de bocina o embut.

La quarta image mostra el gràfic estés a lo llarc de l'eix imaginari $y$. Mostra que la superfície del gràfic per a valors $y$positius i negatius realment no coincidixen en l'eix real $v$negatiu, sino que forma una superfície en espiral al voltant de l'eix $y$. Degut a que els seus valors $y$s'han estés a ± 2π, esta image també representa millor la periodicitat 2π en el valor imaginari $y$.

Càlcul de a^b a on tant a com b són complexos

Artícul principal → Potenciació.

La exponenciación complexa a^b es pot definir convertint a coordenades polars i usant l'identitat (i^ln(a))Plantilla:La seua = a^b:

$a^b={\left(r{e}^{\theta i}\right)}^b={\left(e^{\ln (r)+\theta i}\right)}^b=e^{(\ln (r)+\theta i)b}$

No obstant, quan b no és un número entero, esta funció és multivalor, perque θ no és única.

Funció exponencial general

Si es pren com a base l'número complejo a diferent de i, i com a variable l'exponent z, es té que la funció exponencial general w = f(z)=$a^z$, es definix com::Plantilla:EcuacionÉs una família de funcions unívoques, no lligades entre sí, que es distinguixen pels factors exp(2kπiz), sent k qualsevol número entero.

Matrius i #àlgebra de Banach

La definició de la série de potències de la funció exponencial té sentit per a les matrius quadrades (per a les quals la funció es denomina matriu exponencial) i més generalment en qualsevol àlgebra B de Banach. En esta configuració, i⁰ = 1, i i^x és invertible en i inversa i^−x per a qualsevol x en B. Si xy = yx, llavors i^{x + i} = i^xiⁱ, pero esta identitat pot fallar per a no commutar x i i.

Algunes definicions alternatives duen a la mateixa funció. Per eixemple, i^x pot definir-se com:

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{(1+\frac{x}{n})}^n.$

O i^x pot definir-se com f(1), a on f: R→B és la solució a l'equació diferencial f ′(t) = xf(t) en condició inicial f(0) = 1.

#Àlgebra de Lie

Donat un Grup de Lie G i la seua àlgebra de Lie associada $𝔤$, el mapa exponencial és un mapa $𝔤$↦ G que satisfà propietats similars. De fet, ya que R és l'àlgebra de Lie del grup de Lie de tots els número real positius baix multiplicació, la funció exponencial ordinària per als arguments reals és un cas especial de la situació de l'àlgebra de Lie. De manera similar, com el grup de Lie GL(n,R) de matrius invertibles n × n té com a àlgebra de Lie M(n,R), l'espai de totes les matrius n × n, la funció exponencial per a matrius quadrades és un cas especial de Mapa exponencial d'àlgebra de Lie.

L'identitat exp(x + i) = exp(x)exp(i) pot fallar per als elements de l'àlgebra de Lie x i i que no commuten; La fòrmula de Baker – Campbell – Hausdorff proporciona els térmens de correcció necessaris.

Transcendència

La funció i^z no està en C(z) (és dir, no és el cocient de dos polinomis en coeficients complexos).

Per a n número complejo distints {a₁, …, a_n}, el conjunt {i^a₁z, …, i^a_nz} és linealment independent sobre C(z).

La funció i^z és transcendental sobre C(z)

Computació

En computar (una aproximació de) la funció exponencial, si l'argument està prop de 0, el resultat serà propenc a 1, i computar la diferència $\exp (x)-1$ pot produir una pèrdua de precisió.

Seguint una proposta de William Kahan, pot ser útil tindre una rutina dedicada, a sovint cridada expm1, per a calcular i^x − 1 directament, sense passar pel càlcul de i^x. Per eixemple, si l'exponencial es calcula utilisant la seua série de Taylor

$e^x=1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+\cdots +\frac{x^n}{n!}+\cdots ,$

un pot usar la série de Taylor $e^x-1:$

$e^x-1=x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+\cdots +\frac{x^n}{n!}+\cdots .$

Açò es va implementar per primera volta en 1979 en la calculadora Hewlett-Packard HP-41C, i va ser proporcionat per vàries calculadores, sistemes d'àlgebra computacional i llenguages de programació (per eixemple, C99).

S'ha utilisat un enfocament similar per al logaritmo.(vore lnp1).

Una identitat en térmens de la tangente hiperbòlica,

$\mathrm{expm1}(x)=\exp (x)-1=\frac{2\tanh (x/2)}{1-\tanh (x/2)},$

proporciona un valor d'alta precisió per a valors menuts de x en sistemes que no implementen expm1(x).

Vore també

• Criptografia asimètrica
• Número i
• Logaritmo natural
• Exponenciación

Bibliografia

• Abramowitz, M. i Stegun, I. A.. Exponential Function. §4.2 en Handbook of Mathematical Functions with Formules, Graphs, and Mathematical Tables, 9th printing. New York: Dover, pp. 69-71, 1972.
• Courant, Richard i Fritz, John. Introducció al càlcul i a l'anàlisis matemàtic Vol.I. Editorial Limusa,1999. ISBN 968-18-0639-5.
• Apostol, T. M., Calculus. Tom I. Càlcul en funcions d'una variable, en una introducció a l'Àlgebra llineal. Editorial reverte, 2005 ISBN 84-291-5002-1.
• Ahlfors, Lars. Complex Analysis: an Introduction to the Theory of Analytic Functions of One Complex Variable (1953, 1966, 1979) (ISBN 0-07-000657-1)

Enllaços externs

• Plantilla:Springer
• Plantilla:Planetmath reference
• Plantilla:Planetmath reference
• Exponential Function en MathWorld.