Teorema de Picard

En anàlisis complex, la gran teorema de Picard i la menuda teorema de Picard són teoremes relacionades sobre el ranc d'una funció analítica. Ells duen el nom d'Émile Picard.

Les teoremes

El gràfic de la funció exp (1⁄z), centrat en la singularitat essencial en z = 0. El to d'un punt z representa l'argument de exp (1⁄z), la lluminància representa el seu valor absolut. Esta gràfica mostra que arbitrariamente prop de la singularitat, s'alcancen tots els valors distints de zero.

Menuda Teorema de Picard: si una funció f: C → C és sancera i no constant, llavors el conjunt de valors que f(z) assumix és el pla complex complet o el pla menys un punt únic.

Bosqueig de la prova: La prova original de Picard es va basar en les propietats de la funció lambda modular, generalment indicada per λ, i que realisa, utilisant la terminologia moderna, el recobriment universal holomorfo del pla perforat dos voltes pel disc de l'unitat. Esta funció es construïx explícitament en la teoria de les funcions elíptiques. Si f omet dos valors, llavors la composició de f en l'invers de la funció modular mapea el pla en el disc de l'unitat, lo que implica que f és constant segons el teorema de Liouville. Esta teorema és un enfortiment significatiu de la teorema de Liouville que establix que l'image d'una funció no constant completa deu ser illimitada. Més tart es varen trobar moltes proves diferents de la teorema de Picard i el teorema de Schottky és una versió quantitativa d'ell. En el cas de que els valors de f falten un sol punt, este punt es diu valor lacunario de la funció.

Gran Teorema de Picard: Si una funció analítica f té una singularitat essencial en un punt w, llavors, en qualsevol veïnat perforat de w, f (z) adquirix tots els valors complexos possibles, en com a molt una sola excepció, infinitament a sovint.

Est és un enfortiment substancial del teorema de Casorati-Weierstrass, que solament garantisa que el ranc de f siga dens en el pla complex. Un resultat de la Gran Teorema de Picard és que qualsevol funció completa, no polinomial, alcança tots els valors complexos possibles en una freqüència infinita, en una excepció com a màxim.

La "excepció única" és necessària en abdós teoremes, com es demostra ací:

• i^z és una funció no constant completa que mai és 0,
• i^1/z té una singularitat essencial en 0, pero aixina i tot mai alcança 0 com a valor.

Generalisació i investigació actual

La gran teorema de Picard és cert en una forma llaugerament més general que també s'aplica a les funcions meromorfas:

Gran Teorema Picard (versió meromórfica): Si M és una superfície de Riemann, w un punt en M, P¹(C) = C ∪ {∞} denota l'esfera de Riemann i f : M{w} → P¹(C) és una funció holomorfa en singularitat essencial en w, després en qualsevol subconjunt obert de M que continga w, la funció f (z) alcança tots, com a molt, dos punts de P1 (C) infinitament a sovint.

Eixemple: La funció meromorfa f(z) = 1/(1 − i^1/z) té una singularitat essencial en z = 0 i alcança el valor ∞ infinitament a sovint en qualsevol veïnat de 0; no obstant no alcança els valors 0 o 1.

En esta generalisació, la menuda teorema de Picard es desprén de la gran teorema de Picard perque una funció completa és un polinomi o té una singularitat essencial en l'infinit. De la mateixa manera que en la chicoteta teorema, els punts (com a màxim dos) que no s'alcancen són valors lacunares de la funció.

La següent conjectura es relaciona en "la gran teorema de Picard":

Conjectura: Siga {O₁, ..., O_n} una colecció de subconjunts oberts oberts de C que cobrixen l'unitat perforada D {0}. Supongam que en cada O_j hi ha una funció holomórfica inyectiva f_j, tal que df_j = df_k en cada intersecció O_j ∩ O_k. Després els diferencials s'unixen a una forma 1 meromorfa en D.

Està clar que els diferencials s'unixen a una forma d holomorfa g dz en D {0}. En el cas especial a on el residu de g en 0 és zero, la conjectura es deriva de el "Gran Teorema de Picard".

Referències

• Conway, John B. (1978). Functions of One Complex Variable I, 2nd edició, Springer. ISBN 0-387-90328-3.
• Shurman. «Sketch of Picard's Theorem». Consultat el 18 de maig de 2010.