Funció elíptica

En anàlisis complex, una funció elíptica és, en térmens generals, una funció definida sobre el pla complex i periòdica en abdós direccions. Les funcions elíptiques poden ser vistes com a generalisacions de les funcions trigonométricas (les quals únicament tenen la periodicitat en una direcció, paralela a la recta real). Històricament, les funcions elíptiques varen ser descobertes com les funcions inverses de les integrals elíptiques, que varen ser estudiades en relació en el problema de la llongitut d'arc en una elipse, d'a on es deriva el seu nom.

Definició

Formalment, una funció elíptica és una funció meromorfa $f$ definida sobre $ℂ$ per a la que existixen dos número complejo no nuls $a$ i $b$ tal que

$f(z+a)=f(z+b)=f(z)$   $\mathrm{\forall }z\in ℂ$

i tal que $\frac{a}{b}$ no és un real. D'açò es deduïx que

 $f(z+ma+nb)=f(z)$ $\mathrm{\forall }z\in ℂ$ i para tot sancer $m$ i $n$.

En el desenroll de la teoria de les funcions elíptiques, la majoria d'autors moderns utilisen la notació creada per Karl Weierstrass: la notació de les funcions elíptiques en forma de Weierstrass basades en la funció $\mathrm{\wp }$ és cómoda i qualsevol funció elíptica pot ser expressada a partir d'estes. Weierstrass es va interessar en estes funcions quan era estudiant de Christoph Gudermann, un estudiant de Carl Friedrich Gauss. Les funcions elíptiques introduïdes per Carl Gustav Jakob Jacobi, i la funció auxiliar theta (no doble periòdica), són més complicades pero abdós importants per a l'història i per a la teoria general. La diferència més important entre estes dos teories és que les funcions de Weierstrass tenen pols d'alt orde situats en els cantons d'un retícul periòdic, mentres que les funcions de Jacobi tenen pols simples.

L'estudi de les funcions elíptiques està estretament relacionat en l'estudi de les funcions modular i les formes modular, relació demostrada pel teorema de Taniyama-Shimura. Alguns eixemples d'esta relació són l'invariante j, les séries de Eisenstein i la funció eta de Dedekind.

Propietats

Qualsevol número ω tal que f(z + ω) = f(z) para tota z de C se li crida period de f. Si dos periodos a i b són tals que qualsevol atre periodo ω pot ser escrit com ω = ma + nb en m i n sancers , llavors a i b se'ls crida periodos fonamentals. Tota funció elíptica té un parell fonamental de periodos, encara que este parell no és únic, com es descriu més alvance.

Si a i b són periodos fonamentals que descriuen un retícul, llavors exactament el mateix retícul pot ser obtingut pels periodos fonamentals a' i b' a on a' = p a + q b i b' = r a + s b a on p, q, r i s són sancers que satisfan p s − q r = 1. Dit d'una atra forma, la matriu $\left(\begin{array}{cc}p& q\\ r& s\end{array}\right)$ té determinant unitat, per lo que pertany al grup modular. En atres paraules, si a i b són periodos fonamentals d'una funció elíptica, llavors també ho són a' i b' .

Si a i b són periodos fonamentals, llavors qualsevol paralelogramo en vèrtiços z, z + a, z + b, z + a + b se li crida paralelogramo fonamental. Movent dit paralelogramo múltiples de a i b obtenim una còpia del paralelogramo, i la funció f es comporta idénticamente sobre totes eixes còpies, per esta periodicitat.

El número de pols és qualsevol paralelogramo és finito (i igualment per a tot paralelogramo fonamental). A no ser que la funció elíptica siga constant, tot paralelogramo fonamental té a lo manco un pol com a conseqüència del teorema de Liouville.

La suma dels órdens dels pols en qualsevol paralelogramo fonamental se li crida el orde de la funció elíptica. La suma dels residus dels pols en qualsevol paralelogramos fonamental és igual a zero, en particular, cap funció elíptica pot tindre orde un.

El número de zeros (contats en la seua multiplicitat) en qualsevol paralelogramo fonamental és igual a l'orde de la funció elíptica.

La derivada d'una funció elíptica és una atra funció elíptica en els mateixos periodos. El conjunt de totes les funcions elíptiques en el mateix periodo fonamental formen un cos.

Les funcions elíptiques en forma de Weierstrass $\mathrm{\wp }$ són el prototip de funció elíptica, i de fet, el cos de funcions elíptiques per a un retícul donat es genera a partir de $\mathrm{\wp }$ i la seua derivada ${\mathrm{\wp }}^{\prime }$.

Vore també

• Funció elíptica de Jacobi
• Funció elíptica de Weierstrass