Integral elíptica

En càlcul, una integral elíptica és una funció $f$ de la forma

$f(x)=\underset{c}{\overset{x}{\int }}R(t,\sqrt{P(t)})dt$

a on $R$ és una funció racional, $P$ és un polinomi sense raïls repetides i $c\in ℝ$.

La denominació integral elíptica part dels primers problemes a on varen tindre lloc estes integrals, relacionats en el càlcul de la llongitut de segments d'elipse.

Les integrals elíptiques poden vore's com a generalisacions de les funcions trigonomètriques inverses. Les integrals elíptiques proporcionen solucions a una classe de problemes alguna cosa més àmplia que les funcions trigonomètriques inverses elementals, per eixemple el càlcul de la llongitut d'arc d'una circumferència solament requerix de les funcions trigonomètriques inverses, pero el càlcul de la llongitut d'arc d'una elipse requerix d'integrals elíptiques. Un atre bon eixemple és el péndola, el moviment de la qual per a chicotetes oscilacions pot representar-se per funcions trigonomètriques, pero per a oscilacions més grans requerix l'us de funcions elíptiques basades en les integrals elíptiques.

Càlcul

Totes les integrals elíptiques del tipo anterior poden ser reescrites en térmens en forma de suma de funcions elementals i tres tipos "bàsics" d'integrals elíptiques (cridats de primera espècie, de segona espècie i de tercera espècie). Per a vore açò escrigam l'integral elíptica en la forma:

$\int \frac{P(w,x)}{Q(w,x)}dx$

A on $w$ és una funció de $x$, tal que $w^2$ és un polinomi de tercer o quart grau, que conté a lo manco una potència impar de $x$.

Integral elíptica de primera espècie

Una integral elíptica de primera espècie és un cas particular de la integral elíptica. Existixen integrals elíptiques de primera espècie, completes i incompletes. Les primeres depenen d'una sola variable i les segones depenen de dos variables.

Integral elíptica completa de primera espècie

L'integral elíptica completa de primera espècie $K$ es definix com:

$K(x)=\underset{0}{\overset{\pi /2}{\int }}\frac{d\theta }{\sqrt{1-x^2{\mathrm{sen}}^2\theta }}=\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{dv}{\sqrt{(1-v^2)(1-x^2{v}^2)}}$

i pot expressar-se com una série de potències com

$K(x)=\frac{\pi }{2}\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{\left(\frac{(2n)!}{2^{2n}(n!{)}^2}\right)}^2{x}^{2n}=\frac{\pi }{2}\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{(P_{2n}(0))}^2{x}^{2n}$

a on $P_n$ és el polinomi de Legendre, l'expressió anterior és equivalent a

$K(x)=\frac{\pi }{2}(1+{\left(\frac{1}{2}\right)}^2{x}^2+{\left(\frac{1\cdot 3}{2\cdot 4}\right)}^2{x}^4+\cdots +{\left(\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}\right)}^2{x}^{2n}+\cdots )$

a on $n!!$ denota el doble factorial.

Equació diferencial

l'equació diferencial per a l'integral elíptica de primera espècie és

$\frac{d}{dx}(x(1-x^2)\frac{dK(x)}{dx})=xK(x)$

Una segona solució per a esta equació és $K(1-x^2)$, esta solució satisfà la relació

$\frac{d}{dx}K(x)=\frac{E(x)}{x(1-x^2)}-\frac{K(x)}{x}$

Integral elíptica incompleta de primera espècie

L'integral elíptica incompleta de primera espècie F es definix com:

$u=F(x,\phi )=\underset{0}{\overset{\phi }{\int }}\frac{d\theta }{\sqrt{1-x^2{\mathrm{sen}}^2\theta }}=\underset{0}{\overset{\mathrm{sen}\phi }{\int }}\frac{dv}{\sqrt{(1-v^2)(1-x^2{v}^2)}}=F_x(\phi )$

En este cas el paràmetro $\phi =\mathrm{am}(u)$ es diu "amplitut" i si es pren x com un paràmetro. Esta "amplitut" ve donada per l'inversa de la funció anterior F. Les funcions elíptiques de Jacobi es definixen a partir d'esta amplitut.

Transformació de Landen

La transformació de Landen permet expressar integrals elíptiques incompletes d'un paràmetro en integrals elíptiques d'un atre paràmetro diferent. Pot provar-se que si definim una nova amplitut φ₁ i un nou paràmetro k₁, relacionades en l'antiga amplitut φ i l'antic paràmetro k per mig de:

$k_1=\frac{2\sqrt{k}}{1+k}\tan \phi =\frac{\mathrm{sen}2{\phi }_1}{k+\cos 2{\phi }_1}$

Llavors existix una relació simple entre les integrals elíptiques incompletes associades als paràmetros (k₁,φ₁) i (k,φ) donada per:

$F(k,\phi )=\underset{0}{\overset{\phi }{\int }}\frac{d\theta }{\sqrt{1-k^2{\mathrm{sen}}^2\theta }}=\frac{1}{1+k}\underset{0}{\overset{{\phi }_1}{\int }}\frac{d{\theta }_1}{\sqrt{1-k_1^2{\mathrm{sen}}^2{\theta }_1}}$

Este resultat pot aplicar-se iterativamente per a calcular les integrals elíptiques incompletes en térmens de funcions elementals i llímits. Si definim les successions:

$k_i=\frac{2\sqrt{k_{i+1}}}{1+k_i}\tan {\phi }_i=\frac{\mathrm{sen}2{\phi }_{i+1}}{k+\cos 2{\phi }_{i+1}}$

Llavors tenim que:

$F(k_0,{\phi }_0)=\sqrt{\frac{k_1{k}_2{k}_3\dots }{k_0}}\underset{0}{\overset{\Phi }{\int }}\frac{d\theta }{\sqrt{1-{\mathrm{sen}}^2\theta }}=\sqrt{\frac{k_1{k}_2{k}_3\dots }{k_0}}\ln \tan (\frac{\pi }{4}+\frac{\Phi }{2})$

A on:

$\Phi =\underset{k\to \mathrm{\infty }}{\lim }{\phi }_k$

Vore també

• Curva elíptica
• Funció elíptica de Jacobi
• Funcions elíptiques de Weierstrass

Referències

Bibliografia

• Integral elíptica en MathWorld.

• Abramowitz, M. & Stegun, I. A. (eds.): "Elliptic Integrals", Ch. 17. En Handbook of Mathematical Functions with Formules, Graphs and Mathematical Tables, 9th printing, Nova York: Dover, pp. 587-607, 1972.