Funció trigonométrica inversa

Archiu:Mplwp inverse trigonometric functions piaxis.svg

Funció trigonométrica inversa

Plantilla:Trigonometria En matemàtiques, les funcions trigonométricas inverses (ocasionalment també cridades funciones arc, funcions antitrigonométricas o funcions ciclométricas) són les funcions inverses de les funcions trigonométricas (en dominis adequadament restringits). Específicament, són les inverses de les funcions sen, coseno, tangente, cosecante, secante i cotangente, i s'utilisen per a obtindre un àngul a partir de qualsevol de les relacions trigonométricas angulars. Les funcions trigonométricas inverses s'utilisen àmpliament en ingenieria, navegació, física i geometria.

Notació

Existixen vàries notacions per a les funcions trigonométricas inverses. La convenció més comuna és nomenar funcions trigonométricas inverses usant un prefix d'arc: arcsin(x), arccos(x), arctan(x), etc, convenció que s'usa en este artícul. Esta notació sorgix de les següents relacions geomètriques: quan es medix en radianes, un àngul de θ radianes correspondrà a un arc la llongitut del qual és rθ, a on r és el radi de la circumferència. Aixina, en la circumferència goniométrica (de ràdio igual a 1), "el arc que el seu coseno és x" és el mateix que "el àngul que el seu coseno és x", perque la llongitut de l'arc de circumferència en ràdios és la mateixa que la mida de l'àngul en radianes. En els llenguages de programació de computadores, les funcions trigonométricas inverses generalment es denominen en les formes abreviades Asin, Acos i Nuguen (en Visual Basic); asin, acos i nuguen (en C++); o ArcSin, ArcCos i ArcTan (en Pascal).

Les notacions sense⁻¹(x), cos⁻¹(x), tan⁻¹(x), etc., tal com les va introduir John Herschel en 1813, també s'utilisen a sovint en fonts en anglés, i són coherents en la notació de les funcions inverses. Açò pot semblar que entra en conflicte en la semàntica comuna per a expressions com sense²(x), que es referixen a una potència numèrica en lloc de la composició de funcions, i per lo tant, pot generar una confusió entre l'invers multiplicativo o recíproc i la funció inversa. La confusió es mitiga una miqueta pel fet de que cada una de les funcions trigonométricas recíproques té el seu propi nom, per eixemple, (cos(x))⁻¹ = sec(x). No obstant, alguns autors desaconsellen el seu us per la seua ambigüitat. Una atra convenció utilisada per alguns autors és amprar una primera lletra mayúscula, junt en un superíndex ⁻¹: Sense⁻¹(x), Cos⁻¹(x), Tan⁻¹(x), etc. Açò potencialment evita la confusió en l'invers multiplicativo, que deuria estar representat per sense⁻¹(x), cos⁻¹(x), etc.

Des de 2009, l'estàndart ISO 80000-2 ha especificat que s'use únicament el prefix "arc" per a denominar a les funcions trigonométricos inverses.

L'influència dels llenguages de programació ha fet que cada volta siga més freqüent en la bibliografia en espanyol trobar-se en que les funciones sen i arc sen, tradicionalment transcritas en els texts matemàtics com sen i arc sen, apareguen escrites com sense i arc sense. Un eixemple notable és la pròpia Wikipedia en espanyol, a on la sintaxis del còdic LaTex utilisat per a escriure fòrmules matemàtiques, ampra les formes <math>\sin (x)</math> (en el resultat de $\sin (x)$); i <math>\arcsin (x)</math> (en el resultat de $\arcsin (x)$).

Propietats bàsiques

Valors principals

Ya que cap de les sis funcions trigonométricas són inyectivas, deuen estar restringides per a tindre funcions inverses. Per lo tant, els rancs de les funcions inverses són els subconjunts propis dels dominis de les funcions originals.

Per eixemple, usant el terme funció en el sentit de les funcions multivaluadas, de la mateixa manera que la funció raïl quadrada i = Plantilla:Sqrt podria definir-se a partir de i² = x, la funció i = arcsen(x) es definix de modo que sen(i) = x. Per a un número real dau x, en −1 ≤ x ≤ 1, hi ha múltiples (de fet, numerables infinits) números i tals que sen(i) = x; per eixemple, sen(0) = 0, pero també sen(π) = 0, sen(2π) = 0, etc. Quan solament es desija un valor, la funció pot restringir-se a la seua branca principal. En esta restricció, per a cada x en el domini, l'expressió arcsen(x) produirà un valor únic, cridat el seu valor principal. Estes propietats s'apliquen a totes les funcions trigonométricas inverses.

Les principals inverses s'enumeren en la següent taula.

Nom	Notació usual	Definició	Domini de x en resultat real	Ranc de valors principals usuals (radianes)	Ranc de valors principals usuals (graus)
arc sen	i = arcsen(x)	x = sen(i)	−1 ≤ x ≤ 1	−Plantilla:Sfrac ≤ i ≤ Plantilla:Sfrac	−90° ≤ i ≤ 90°
arc coseno	i = arccos(x)	x = cos(i)	−1 ≤ x ≤ 1	0 ≤ i ≤ π	0° ≤ i ≤ 180°
arc tangente	i = arctan(x)	x = tan(i)	tots els número real	−Plantilla:Sfrac < i < Plantilla:Sfrac	−90° < i < 90°
arc cotangente	i = arccot(x)	x = cot(i)	tots els número real	0 < i < π	0° < i < 180°
arc secante	i = arcsec(x)	x = sec(i)	x ≥ 1 o x ≤ -1	0 ≤ i < Plantilla:Sfrac o Plantilla:Sfrac < i ≤ π	0° ≤ i < 90° o 90° < i ≤ 180°
arc cosecante	i = arccsc(x)	x = csc(i)	x ≤ −1 o 1 ≤ x	−Plantilla:Sfrac ≤ i < 0 o 0 < i ≤ Plantilla:Sfrac	−90° ≤ i < 0° o 0° < i ≤ 90°

(Nota: alguns autors definixen el ranc de l'arc secante com (0 ≤ i < Plantilla:Sfrac o π ≤ i < Plantilla:Sfrac), perque la funció tangente no és negativa en este domini. Açò fa que alguns càlculs siguen més consistents. Per eixemple, utilisant este ranc, tan(arcsec(x)) = Plantilla:Sqrt, mentres que en el ranc (0 ≤ i < Plantilla:Sfrac o Plantilla:Sfrac < i ≤ π), es tindria que escriure tan(arcsec(x)) = ±Plantilla:Sqrt, ya que la tangente no és negativa en 0 ≤ i < Plantilla:Sfrac, pero tampoc és positiva en Plantilla:Sfrac < i ≤ π. Per una raó similar, els mateixos autors definixen el ranc de l'arc cosecante com −π < i ≤ −Plantilla:Sfrac o 0 < i ≤ Plantilla:Sfrac.)

Si es permet que x siga un número complejo, llavors el ranc de i s'aplica solament a la seua part real.

Solucions generals

Cada una de les funcions trigonométricas és periòdica en la part real del seu argument, recorrent tots els seus valors dos voltes en cada interval de 2π:

• El sen i la cosecante comencen el seu periodo en 2πk - Plantilla:Sfrac (a on k és un número entero), terminen en 2πk + Plantilla:Sfrac i després s'invertixen sobre 2πk + Plantilla:Sfrac a 2πk + Plantilla:Sfrac.
• El coseno i la secante comencen el seu periodo en 2πk, ho terminen en 2πk + π, i després s'invertixen sobre 2πk + π a 2πk + 2π.
• La tangente comença el seu periodo en 2πk - Plantilla:Sfrac, ho termina en 2πk + Plantilla:Sfrac, i després ho repetix (cap a avant) sobre 2πk + Plantilla:Sfrac a 2πk + Plantilla:Sfrac.
• La cotangente comença el seu periodo en 2πk, ho termina en 2πk + π, i després ho repetix (cap a avant) sobre 2πk + π a 2πk + 2π.

Esta periodicitat es reflectix en els inversos generals, a on k és un número entero.

La següent taula mostra cóm les funcions trigonométricas inverses poden usar-se per a resoldre les igualtats que involucren les sis funcions trigonométricas estàndar, a on s'assumix que r, s, x i i es troben dins del ranc apropiat.

El símbol ⇔ és l'igualtat llògica. L'expressió "LI ⇔ LD" indica que:

• (a) El costat esquerre de l'expressió (és dir, LI) i el costat dret (és dir, LD) són verdaders, o be que
• (b) El costat esquerre i el costat dret són falsos.

existix una opció (c) (per eixemple,  és possible que la declaració LI siga verdadera i també simultàneament que la declaració LD siga falsa), perque de lo contrari no es deuria haver escrit que "LI ⇔ LD" (consulte's esta nota al peu per a vore un eixemple ilustrant este concepte).

Condició		Solució	a on...
sen θ = i	⇔	θ = (-1)Plantilla:Hspk  arcsen(i) + π k	per a algun k ∈ ℤ
	⇔	θ = Plantilla:Spacearcsen(i) + 2 π k Plantilla:Spaceo θ = - arcsen(i) + 2 π k + π	per a algun k ∈ ℤ
csc θ = r	⇔	θ = (-1)Plantilla:Hspk  arccsc(r) + π k	per a algun k ∈ ℤ
	⇔	θ = Plantilla:Spacearccsc(i) + 2 π k Plantilla:Spaceo θ = - arccsc(i) + 2 π k + π	per a algun k ∈ ℤ
cos θ = x	⇔	θ = ± arccos(x) + 2 π k	per a algun k ∈ ℤ
	⇔	θ = Plantilla:Spacearccos(x) + 2 π k Plantilla:Spaceo θ = - arccos(x) + 2 π k + π	per a algun k ∈ ℤ
sec θ = r	⇔	θ = ± arcsec(r) + 2 π k	per a algun k ∈ ℤ
	⇔	θ = Plantilla:Spacearcsec(x) + 2 π k Plantilla:Spaceo θ = - arcsec(x) + 2 π k + 2 π	per a algun k ∈ ℤ
tan θ = s	⇔	θ = arctan(s) + π k	per a algun k ∈ ℤ
cot θ = r	⇔	θ = arccot(r) + π k	per a algun k ∈ ℤ

Valors iguals de les funcions

En la següent taula, es mostra cóm dos ànguls θ i φ deuen estar relacionats, si els seus valors baix una funció trigonométrica donada són iguals o tenen el signe canviat.

Igualtat				Solució							a on...	També una solució per a
sen θ	=	sen φ	⇔	θ =	(-1)Plantilla:Hspk	φ	+		π k		per a algun k ∈ ℤ	csc θ = csc φ
cos θ	=	cos φ	⇔	θ =	±	φ	+	2	π k		per a algun k ∈ ℤ	sec θ = sec φ
tan θ	=	tan φ	⇔	θ =		φ	+		π k		per a algun k ∈ ℤ	cot θ = cot φ
-  sen θ	=	sen φ	⇔	θ =	(-1)Plantilla:Hspk+1	φ	+		π k		per a algun k ∈ ℤ	csc θ = - csc φ
-  cos θ	=	cos φ	⇔	θ =	±	φ	+	2	π k	+ π	per a algun k ∈ ℤ	sec θ = - sec φ
-  tan θ	=	tan φ	⇔	θ =	-	φ	+		π k		per a algun k ∈ ℤ	cot θ = - cot φ
Plantilla:Mabs	=	Plantilla:Mabs	⇔	θ =	±	φ	+		π k		per a algun k ∈ ℤ	Plantilla:Mabs = Plantilla:Mabs
	⇕											Plantilla:Mabs = Plantilla:Mabs
Plantilla:Mabs	=	Plantilla:Mabs										Plantilla:Mabs = Plantilla:Mabs
												Plantilla:Mabs = Plantilla:Mabs

Relacions entre funcions trigonométricas i funcions trigonométricas inverses

Es tabulan a continuació les funcions trigonométricas de les funcions trigonométricas inverses. Una forma ràpida de deduir-les és considerant la geometria d'un triàngul rectàngul, en un costat de llongitut 1 i un atre costat de llongitut x, aplicant a continuació el teorema de Pitágoras i les definicions de les raons trigonométricas. Les deduccions purament algebraiques són més llargues. Val la pena senyalar que per a arc secante i arc cosecante, el diagrama assumix que x és positiu, i per lo tant, el resultat deu corregir-se per mig de l'us de valors absoluts i l'operació signe (sgn).

$\theta$	$\sin (\theta )$	$\cos (\theta )$	$\tan (\theta )$	Diagrama
$\arcsin (x)$	$\sin (\arcsin (x))=x$	$\cos (\arcsin (x))=\sqrt{1-x^2}$	$\tan (\arcsin (x))=\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}$	Archiu:Trigonometric functions and inverse3.svg
$\arccos (x)$	$\sin (\arccos (x))=\sqrt{1-x^2}$	$\cos (\arccos (x))=x$	$\tan (\arccos (x))=\frac{\sqrt{1-x^2}}{x}$	Archiu:Trigonometric functions and inverse.svg
$\arctan (x)$	$\sin (\arctan (x))=\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}$	$\cos (\arctan (x))=\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$	$\tan (\arctan (x))=x$	Archiu:Trigonometric functions and inverse2.svg
$\mathrm{arccot}(x)$	$\sin (\mathrm{arccot}(x))=\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$	$\cos (\mathrm{arccot}(x))=\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}$	$\tan (\mathrm{arccot}(x))=\frac{1}{x}$	Archiu:Trigonometric functions and inverse4.svg
$\mathrm{arcsec}(x)$	$\sin (\mathrm{arcsec}(x))=\frac{\sqrt{x^2-1}}{|x|}$	$\cos (\mathrm{arcsec}(x))=\frac{1}{x}$	$\tan (\mathrm{arcsec}(x))=\mathrm{sgn}(x)\sqrt{x^2-1}$	Archiu:Trigonometric functions and inverse6.svg
$\mathrm{arccsc}(x)$	$\sin (\mathrm{arccsc}(x))=\frac{1}{x}$	$\cos (\mathrm{arccsc}(x))=\frac{\sqrt{x^2-1}}{|x|}$	$\tan (\mathrm{arccsc}(x))=\frac{\mathrm{sgn}(x)}{\sqrt{x^2-1}}$	Archiu:Trigonometric functions and inverse5.svg

Relacions entre les funcions trigonométricas inverses

Archiu:Arcsine Arccosine.svg

Els valors principals habituals de les funcions arcsin (x) (roig) i arccos (x) (blava) representats en el pla cartesiano

Archiu:Arctangent Arccotangent.svg

Els valors principals habituals de les funcions arctan (x) (roig) i arccot (x) (blava) representats en el pla cartesiano

Archiu:Arcsecant Arccosecant.svg

Els valors principals habituals de les funcions arcsec (x) (roig) i arccsc (x) (blava) representats en el pla cartesiano

Ànguls complementaris:

$\begin{array}{cc}\arccos (x)& =\frac{\pi }{2}-\arcsin (x)\\ \mathrm{arccot}(x)& =\frac{\pi }{2}-\arctan (x)\\ \mathrm{arccsc}(x)& =\frac{\pi }{2}-\mathrm{arcsec}(x)\end{array}$

Arguments negatius:

$\begin{array}{cc}\arcsin (-x)& =-\arcsin (x)\\ \arccos (-x)& =\pi -\arccos (x)\\ \arctan (-x)& =-\arctan (x)\\ \mathrm{arccot}(-x)& =\pi -\mathrm{arccot}(x)\\ \mathrm{arcsec}(-x)& =\pi -\mathrm{arcsec}(x)\\ \mathrm{arccsc}(-x)& =-\mathrm{arccsc}(x)\end{array}$

Arguments recíprocs:

$\begin{array}{cc}\arccos \left(\frac{1}{x}\right)& =\mathrm{arcsec}(x)\\ \arcsin \left(\frac{1}{x}\right)& =\mathrm{arccsc}(x)\\ \arctan \left(\frac{1}{x}\right)& =\frac{\pi }{2}-\arctan (x)=\mathrm{arccot}(x),\text{ si }x>0\\ \arctan \left(\frac{1}{x}\right)& =-\frac{\pi }{2}-\arctan (x)=\mathrm{arccot}(x)-\pi ,\text{ si }x<0\\ \mathrm{arccot}\left(\frac{1}{x}\right)& =\frac{\pi }{2}-\mathrm{arccot}(x)=\arctan (x),\text{ si }x>0\\ \mathrm{arccot}\left(\frac{1}{x}\right)& =\frac{3\pi }{2}-\mathrm{arccot}(x)=\pi +\arctan (x),\text{ si }x<0\\ \mathrm{arcsec}\left(\frac{1}{x}\right)& =\arccos (x)\\ \mathrm{arccsc}\left(\frac{1}{x}\right)& =\arcsin (x)\end{array}$

Identitats útils si solament es té un fragment d'una taula de sen:

$\begin{array}{cc}\arccos (x)& =\arcsin \left(\sqrt{1-x^2}\right),\text{ si }0\le x\le 1\text{ , de donde se obtiene }\\ \arccos & \left(\frac{1-x^2}{1+x^2}\right)=\arcsin \left(\frac{2x}{1+x^2}\right),\text{ si }0\le x\le 1\\ \arcsin & \left(\sqrt{1-x^2}\right)=\frac{\pi }{2}-\mathrm{sgn}(x)\arcsin (x)\\ \arccos (x)& =\frac{1}{2}\arccos (2x^2-1),\text{ si }0\le x\le 1\\ \arcsin (x)& =\frac{1}{2}\arccos (1-2x^2),\text{ si }0\le x\le 1\\ \arcsin (x)& =\arctan \left(\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\right)\\ \arctan (x)& =\arcsin \left(\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}\right)\\ \mathrm{arccot}(x)& =\arccos \left(\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}\right)\end{array}$

Sempre que s'use ací la raïl quadrada d'un número complejo, s'elegix la raïl en la part real positiva (o la part imaginària positiva si el quadrat és real negatiu).

Un formulari útil que es deriva directament de la taula anterior és

$\arctan \left(x\right)=\arccos \left(\sqrt{\frac{1}{1+x^2}}\right),\text{ si }x\ge 0$.

S'obté reconeixent que $\cos (\arctan \left(x\right))=\sqrt{\frac{1}{1+x^2}}=\cos (\arccos \left(\sqrt{\frac{1}{1+x^2}}\right))$.

De la fòrmula de l'àngul mitat, $\tan \left(\frac{\theta }{2}\right)=\frac{\sin (\theta )}{1+\cos (\theta )}$, s'obté:

$\begin{array}{cc}\arcsin (x)& =2\arctan \left(\frac{x}{1+\sqrt{1-x^2}}\right)\\ \arccos (x)& =2\arctan \left(\frac{\sqrt{1-x^2}}{1+x}\right),\text{ si }-1<x\le 1\\ \arctan (x)& =2\arctan \left(\frac{x}{1+\sqrt{1+x^2}}\right)\end{array}$

Fòrmula de la suma d'arc tangentes

$\arctan (v)\pm \arctan (u)=\arctan \left(\frac{u\pm v}{1\mp uv}\right)(\mathrm{mod}\pi ),uv\ne 1.$

Es deduïx de la fòrmula de la tangente de la suma

$\tan (\alpha \pm \beta )=\frac{\tan (\alpha )\pm \tan (\beta )}{1\mp \tan (\alpha )\tan (\beta )},$ fent que

$\alpha =\arctan (u),\beta =\arctan (v).$

En càlcul

Plantilla:AnchorDerivades de funcions trigonométricas inverses

Artícul principal → Derivació de funcions trigonométricas.

Les derivadas per a valors complexos de z són els següents:

$\begin{array}{cccc}\frac{d}{dz}\arcsin (z)& =\frac{1}{\sqrt{1-z^2}};& z& \ne -1,+1\\ \frac{d}{dz}\arccos (z)& =-\frac{1}{\sqrt{1-z^2}};& z& \ne -1,+1\\ \frac{d}{dz}\arctan (z)& =\frac{1}{1+z^2};& z& \ne -i,+i\\ \frac{d}{dz}\mathrm{arccot}(z)& =-\frac{1}{1+z^2};& z& \ne -i,+i\\ \frac{d}{dz}\mathrm{arcsec}(z)& =\frac{1}{z^2\sqrt{1-\frac{1}{z^2}}};& z& \ne -1,0,+1\\ \frac{d}{dz}\mathrm{arccsc}(z)& =-\frac{1}{z^2\sqrt{1-\frac{1}{z^2}}};& z& \ne -1,0,+1\end{array}$

Solament per a valors reals de x:

$\begin{array}{ccc}\frac{d}{dx}\mathrm{arcsec}(x)& =\frac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}};& |x|>1\\ \frac{d}{dx}\mathrm{arccsc}(x)& =-\frac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}};& |x|>1\end{array}$

Una derivació d'eixemple: si $\theta =\arcsin (x)$, s'obté:

$\frac{d\arcsin (x)}{dx}=\frac{d\theta }{d\sin (\theta )}=\frac{d\theta }{\cos (\theta )d\theta }=\frac{1}{\cos (\theta )}=\frac{1}{\sqrt{1-{\sin }^2(\theta )}}=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$

Expressió com a integrals definides

Integrar la derivada i fixar el valor en un punt dona una expressió per a la funció trigonométrica inversa com una integral definida:

$\begin{array}{cccc}\arcsin (x)& =\underset{0}{\overset{x}{\int }}\frac{1}{\sqrt{1-z^2}}dz,& |x|& \le 1\\ \arccos (x)& =\underset{x}{\overset{1}{\int }}\frac{1}{\sqrt{1-z^2}}dz,& |x|& \le 1\\ \arctan (x)& =\underset{0}{\overset{x}{\int }}\frac{1}{z^2+1}dz,\\ \mathrm{arccot}(x)& =\underset{x}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{1}{z^2+1}dz,\\ \mathrm{arcsec}(x)& =\underset{1}{\overset{x}{\int }}\frac{1}{z\sqrt{z^2-1}}dz=\pi +\underset{x}{\overset{-1}{\int }}\frac{1}{z\sqrt{z^2-1}}dz,& x& \ge 1\\ \mathrm{arccsc}(x)& =\underset{x}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{1}{z\sqrt{z^2-1}}dz=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{x}{\int }}\frac{1}{z\sqrt{z^2-1}}dz,& x& \ge 1\\ \end{array}$

Quan x és igual a 1, les integrals en dominis llimitats són impròpies, pero aixina i tot estan ben definides.

Séries infinites

Similar a les funciones sen i coseno, les funcions trigonométricas inverses també es poden calcular usant series de potències. Per a l'arc sen, la série es pot deduir expandint la seua derivada, $\frac{1}{\sqrt{1-z^2}}$, com una série binomial, i integrant terme per terme (usant la definició integral com anteriorment). De manera similar, la série per a l'arc tangente pot derivar-se expandint la seua derivada $\frac{1}{1+z^2}$ en una série geomètrica i aplicant la definició integral anterior (vejau la série de Leibniz).

$\begin{array}{cc}\arcsin (z)& =z+\left(\frac{1}{2}\right)\frac{z^3}{3}+\left(\frac{1\cdot 3}{2\cdot 4}\right)\frac{z^5}{5}+\left(\frac{1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}\right)\frac{z^7}{7}+\cdots \\ & =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}\frac{z^{2n+1}}{2n+1}\\ & =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(2n)!}{(2^{n}n!{)}^2}\frac{z^{2n+1}}{2n+1};|z|\le 1\end{array}$

$\arctan (z)=z-\frac{z^3}{3}+\frac{z^5}{5}-\frac{z^7}{7}+\cdots =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n{z}^{2n+1}}{2n+1};|z|\le 1z\ne i,-i$

Les séries per a les atres funcions trigonométricas inverses es poden donar en térmens d'estes d'acort en les relacions donades anteriorment. Per eixemple, $\arccos (x)=\pi /2-\arcsin (x)$, $\mathrm{arccsc}(x)=\arcsin (1/x)$, etc. Una atra série ve donada per:

$2{(\arcsin \left(\frac{x}{2}\right))}^2=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^{2n}}{n^2(\genfrac{}{}{0ex}{}{2n}{n})}.$

Leonhard Euler va trobar una série per a l'arc tangente que convergix més ràpidament que el seu série de Taylor:

$\arctan (z)=\frac{z}{1+z^2}\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\prod _{k=1}^n\frac{2k{z}^2}{(2k+1)(1+z^2)}.$

(El terme en la suma per a n = 0 és el producte buit, que val 1).

Alternativament, açò es pot expressar com

$\arctan (z)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{2^{2n}(n!{)}^2}{(2n+1)!}\frac{z^{2n+1}}{(1+z^2{)}^{n+1}}.$

Una atra série per a la funció arc tangente ve donada per

$\arctan (z)=i\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{2n-1}(\frac{1}{(1+2i/z{)}^{2n-1}}-\frac{1}{(1-2i/z{)}^{2n-1}}),$

a on $i=\sqrt{-1}$ és l'unitat imaginària.

Fraccions contínues per a l'arc tangente

Dos alternatives a la série de potències per a l'arc tangente són estes fraccions contínues:

$\arctan (z)=\frac{z}{1+\frac{(1z{)}^2}{3-1z^2+\frac{(3z{)}^2}{5-3z^2+\frac{(5z{)}^2}{7-5z^2+\frac{(7z{)}^2}{9-7z^2+\ddots }}}}}=\frac{z}{1+\frac{(1z{)}^2}{3+\frac{(2z{)}^2}{5+\frac{(3z{)}^2}{7+\frac{(4z{)}^2}{9+\ddots }}}}}$

La segona d'elles és vàlida en el pla complex. Hi ha dos corts, des de −i fins al punt en l'infinit, baixant per l'eix imaginari, i des de i fins al punt en l'infinit, pujant pel mateix eix. Funciona millor per a número real que van de -1 a 1. Els denominadors parcials són els número natural impar, i els numeradors parcials (despuix del primer) són sol (nz)², i cada quadrat perfecte apareix una volta. La primera va ser desenrollada per Leonhard Euler; la segona per Carl Friedrich Gauss utilisant la funció hipergeométrica.

Integrals indefinides de funcions trigonométricas inverses

Per a valors reals i complexos de z :

$\begin{array}{cc}\int \arcsin (z)dz& =z\arcsin (z)+\sqrt{1-z^2}+C\\ \int \arccos (z)dz& =z\arccos (z)-\sqrt{1-z^2}+C\\ \int \arctan (z)dz& =z\arctan (z)-\frac{1}{2}\ln (1+z^2)+C\\ \int \mathrm{arccot}(z)dz& =z\mathrm{arccot}(z)+\frac{1}{2}\ln (1+z^2)+C\\ \int \mathrm{arcsec}(z)dz& =z\mathrm{arcsec}(z)-\ln \left[z(1+\sqrt{\frac{z^2-1}{z^2}})\right]+C\\ \int \mathrm{arccsc}(z)dz& =z\mathrm{arccsc}(z)+\ln \left[z(1+\sqrt{\frac{z^2-1}{z^2}})\right]+C\end{array}$

Per a x real ≥ 1:

$\begin{array}{cc}\int \mathrm{arcsec}(x)dx& =x\mathrm{arcsec}(x)-\ln (x+\sqrt{x^2-1})+C\\ \int \mathrm{arccsc}(x)dx& =x\mathrm{arccsc}(x)+\ln (x+\sqrt{x^2-1})+C\end{array}$

Per a totes les x reals que no estiguen entre -1 i 1:

$\begin{array}{cc}\int \mathrm{arcsec}(x)dx& =x\mathrm{arcsec}(x)-\mathrm{sgn}(x)\ln \left(|x+\sqrt{x^2-1}|\right)+C\\ \int \mathrm{arccsc}(x)dx& =x\mathrm{arccsc}(x)+\mathrm{sgn}(x)\ln \left(|x+\sqrt{x^2-1}|\right)+C\end{array}$

El valor absolut és necessari per a compensar els valors negatius i positius de les funciones arc secante i arc cosecante. La funció signe també és necessària pels valors absoluts en les derivades de les dos funcions, que creen dos solucions diferents per als valors positius i negatius de x. Estos es poden simplificar encara més utilisant les definicions logarítmiques de les funcions hiperbòliques inverses:

$\begin{array}{cc}\int \mathrm{arcsec}(x)dx& =x\mathrm{arcsec}(x)-\mathrm{arcosh}(|x|)+C\\ \int \mathrm{arccsc}(x)dx& =x\mathrm{arccsc}(x)+\mathrm{arcosh}(|x|)+C\\ \end{array}$

El valor absolut en l'argument de la funció arcosh crea una mitat negativa de la seua gràfica, fent-la idèntica a la funció logarítmica signe que es mostra dalt.

Totes estes antiderivada es poden derivar usant métodos d'integració i les formes derivades simples que es mostren dalt.

Eixemple

Usant $\int udv=uv-\int vdu$ (és dir, el método d'integració per parts), s'obté

$\begin{array}{cccc}u& =\arcsin (x)& dv& =dx\\ du& =\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}& v& =x\end{array}$

Després

$\int \arcsin (x)dx=x\arcsin (x)-\int \frac{x}{\sqrt{1-x^2}}dx,$

que aplicant la simple substitució següent, $w=1-x^2,dw=-2xdx$ tira el resultat final:

$\int \arcsin (x)dx=x\arcsin (x)+\sqrt{1-x^2}+C$

Ampliació al pla complex

Archiu:Riemann surface for Arg of ArcTan of x.svg

Una superfície de Riemann per a l'argument de la relació tan z = x. La superfície taronja d'en mig és la funció principal, que representa arctan x. La superfície blava de dalt i la verda d'avall estan desplaçades verticalment 2π i −2π respectivament

Ya que les funcions trigonométricas inverses són funcions analítiques, poden estendre's des de la llínea real al pla complex. Açò dona com resultat funcions en vàries superfícies i punts de ramificació. Una forma possible de definir l'extensió és:

$\arctan (z)=\underset{0}{\overset{z}{\int }}\frac{dx}{1+x^2}z\ne -i,+i$

a on la part de l'eix imaginari que no es troba estrictament entre els punts de ramificació (−iy + i) és el cort de branca entre la superfície principal i les atres. La trayectòria de l'integral no deu creuar un brot de branca. Quanz no està en una cort de branca, una ruta en llínea recta de 0 a z és una ruta d'este tipo. Per a z en un brot de branca, el camí deu acostar-se des de Re[x] > 0 per a la cort de branca superior i des de Re[x] < 0 per al brot de branca inferior.

La funció arc sen es pot definir com:

$\arcsin (z)=\arctan \left(\frac{z}{\sqrt{1-z^2}}\right)z\ne -1,+1$

a on (la funció raïl quadrada té la seua cort en l'eix real negatiu i) la part de l'eix real que no es troba estrictament entre −1 i +1 és el brot de branca entre la superfície principal de l'arc sen i les atres superfícies;

$\arccos (z)=\frac{\pi }{2}-\arcsin (z)z\ne -1,+1$

que té el mateix brot que l'arc sen;

$\mathrm{arccot}(z)=\frac{\pi }{2}-\arctan (z)z\ne -i,i$

que té el mateix brot que l'arc tangente;

$\mathrm{arcsec}(z)=\arccos \left(\frac{1}{z}\right)z\ne -1,0,+1$

a on la part de l'eix real entre −1 i +1 inclusivament, és el brot entre la superfície principal de l'arc secante i les atres superfícies;

$\mathrm{arccsc}(z)=\arcsin \left(\frac{1}{z}\right)z\ne -1,0,+1$

que té el mateix brot que el arc secante.

Formes logarítmiques

Estes funcions també poden expressar-se utilisant logaritmos complexos. Açò estén el seu dominis al pla complex de forma natural. Les següents identitats per als valors principals de les funcions es mantenen en tots els llocs a on es definixen, inclús en les seues corts de branca.

$\begin{array}{ccc}\arcsin (z)& =-i\ln (\sqrt{1-z^2}+iz)=i\ln (\sqrt{1-z^2}-iz)& =\mathrm{arccsc}\left(\frac{1}{z}\right)\\ \arccos (z)& =-i\ln (\sqrt{z^2-1}+z)=\frac{\pi }{2}-\arcsin (z)& =\mathrm{arcsec}\left(\frac{1}{z}\right)\\ \arctan (z)& =-\frac{i}{2}\ln \left(\frac{i-z}{i+z}\right)=-\frac{i}{2}\ln \left(\frac{1+iz}{1-iz}\right)& =\mathrm{arccot}\left(\frac{1}{z}\right)\\ \mathrm{arccot}(z)& =-\frac{i}{2}\ln \left(\frac{z+i}{z-i}\right)=-\frac{i}{2}\ln \left(\frac{iz-1}{iz+1}\right)& =\arctan \left(\frac{1}{z}\right)\\ \mathrm{arcsec}(z)& =-i\ln (i\sqrt{1-\frac{1}{z^2}}+\frac{1}{z})=\frac{\pi }{2}-\mathrm{arccsc}(z)& =\arccos \left(\frac{1}{z}\right)\\ \mathrm{arccsc}(z)& =-i\ln (\sqrt{1-\frac{1}{z^2}}+\frac{i}{z})=i\ln (\sqrt{1-\frac{1}{z^2}}-\frac{i}{z})& =\arcsin \left(\frac{1}{z}\right)\end{array}$

Generalisació

Degut a que totes les funcions trigonométricas inverses generen un àngul d'un triàngul rectàngul, es poden generalisar usant la fòrmula de Euler per a formar un triàngul rectàngul en el pla complex. Algebraicament, s'obté:

$c{e}^{\theta i}=c\cos (\theta )+ci\sin (\theta )$

o

$c{e}^{\theta i}=a+bi$

a on $a$ és el costat adjacent, $b$ és el costat opost i $c$ és l'hipotenusa. A partir d'ací, es pot resoldre per a $\theta$.

$\begin{array}{cc}{e}^{\ln (c)+\theta i}& =a+bi\\ \ln c+\theta i& =\ln (a+bi)\\ \theta & =\mathrm{Im}(\ln (a+bi))\end{array}$

o

$\theta =-i\ln \left(\frac{a+bi}{c}\right)=i\ln \left(\frac{c}{a+bi}\right)$

Prendre la part imaginària funciona per a qualsevol $a$ i $b$ de valor real, pero si $a$ o $b$ té un valor complex, es té que usar l'equació final per a que la part real del resultat no s'excloga. Ya que la llongitut de l'hipotenusa no canvia l'àngul, ignorar la part real de $\ln (a+bi)$ també elimina $c$ de l'equació. En l'equació final, es veu que l'àngul del triàngul en el pla complex es pot trobar utilisant les llongituts de cada costat. En establir un dels tres costats igual a 1 i un dels costats restants igual a la senya d'entrada $z$, s'obté una fòrmula per a una de les funcions trigonométricas inverses, per a un total de sis equacions. Degut a que les funcions trigonométricas inverses requerixen solament una entrada, es deu posar el costat final del triàngul en térmens dels atres dos usant la relació del teorema de Pitágoras

$a^2+b^2=c^2$

La següent taula mostra els valors de a, b i c per a cada una de les funcions trigonométricas inverses i les expressions equivalents per a $\theta$ que resulten de reemplaçar els valors en les equacions anteriors i simplificar.

$\begin{array}{cccccccccccc}& a& & b& & c& & \theta & & {\theta }_{simplificado}& & {\theta }_{a,b\in ℝ}\\ \arcsin (z)& \sqrt{1-z^2}& & z& & 1& & -i\ln \left(\frac{\sqrt{1-z^2}+zi}{1}\right)& & =-i\ln (\sqrt{1-z^2}+zi)& & \mathrm{Im}(\ln (\sqrt{1-z^2}+zi))\\ \arccos (z)& z& & \sqrt{1-z^2}& & 1& & -i\ln \left(\frac{z+i\sqrt{1-z^2}}{1}\right)& & =-i\ln (z+\sqrt{z^2-1})& & \mathrm{Im}(\ln (z+\sqrt{z^2-1}))\\ \arctan (z)& 1& & z& & \sqrt{1+z^2}& & i\ln \left(\frac{\sqrt{1+z^2}}{1+zi}\right)& & =\frac{i}{2}\ln \left(\frac{i+z}{i-z}\right)& & \mathrm{Im}(\ln (1+zi))\\ \mathrm{arccot}(z)& z& & 1& & \sqrt{z^2+1}& & i\ln \left(\frac{\sqrt{z^2+1}}{z+i}\right)& & =\frac{i}{2}\ln \left(\frac{z-i}{z+i}\right)& & \mathrm{Im}(\ln (z+i))\\ \mathrm{arcsec}(z)& 1& & \sqrt{z^2-1}& & z& & -i\ln \left(\frac{1+i\sqrt{z^2-1}}{z}\right)& & =-i\ln (\frac{1}{z}+\sqrt{\frac{1}{z^2}-1})& & \mathrm{Im}(\ln (1+\sqrt{1-z^2}))\\ \mathrm{arccsc}(z)& \sqrt{z^2-1}& & 1& & z& & -i\ln \left(\frac{\sqrt{z^2-1}+i}{z}\right)& & =-i\ln (\sqrt{1-\frac{1}{z^2}}+\frac{i}{z})& & \mathrm{Im}(\ln (\sqrt{z^2-1}+i))\\ \end{array}$

En este sentit, totes les funcions trigonométricas inverses es poden considerar com a casos específics de la funció logarítmica de valors complexos. Ya que esta definició funciona per a qualsevol $z$ de valor complex, esta definició permet obtindre ànguls hiperbòlics com a resultats i es pot utilisar per a definir encara més les funcions hiperbòliques inverses. Les demostracions elementals de les relacions també poden obtindre's a través de l'expansió a formes exponencials de les funcions trigonométricas.

Demostració d'eixemple

Gràfics cromàtics de les funcions trigonométricas inverses en el pla complex

Archiu:Complex arcsin.jpg	Archiu:Complex arccos.jpg
$\arcsin (z)$	$\arccos (z)$
Archiu:Complex arctan.jpg	Archiu:Complex ArcCot.jpg
$\arctan (z)$	$\mathrm{arccot}(z)$
Archiu:Complex ArcSec.jpg	Archiu:Complex ArcCsc.jpg
$\mathrm{arcsec}(z)$	$\mathrm{arccsc}(z)$

$\sin (\varphi )=z$

$\varphi =\arcsin (z)$

Usant la definició exponencial del sen, s'obté

$z=\frac{e^{\varphi i}-e^{-\varphi i}}{2i}$

Siga

$\xi =e^{\varphi i}$

Resolent per a $\varphi$

$z=\frac{\xi -\frac{1}{\xi }}{2i}$

$2iz=\xi -\frac{1}{\xi }$

$\xi -2iz-\frac{1}{\xi }=0$

${\xi }^2-2i\xi z-1=0$

$\xi =iz\pm \sqrt{1-z^2}=e^{\varphi i}$

$\varphi i=\ln (iz\pm \sqrt{1-z^2})$

$\varphi =-i\ln (iz\pm \sqrt{1-z^2})$

(s'elegix la branca positiva)

$\varphi =\arcsin (z)=-i\ln (iz+\sqrt{1-z^2})$

Aplicacions

Aplicació: trobar l'àngul d'un triàngul rectàngul

Archiu:Trigonometry triangle és.svg

Triàngul rectàngul

Les funcions trigonométricas inverses són útils quan s'intenta determinar els dos ànguls restants d'un triàngul rectàngul si es coneixen les llongituts dels costats del triàngul. Recordant les definicions de triàngul rectàngul de sen i coseno, es té que

$\theta =\arcsin \left(\frac{\text{opuesto}}{\text{hipotenusa}}\right)=\arccos \left(\frac{\text{adyacente}}{\text{hipotenusa}}\right).$

A sovint, l'hipotenusa es desconeix i deuria calcular-se abans d'usar arcoseno o arcocoseno usant el teorema de Pitágoras: $a^2+b^2=h^2$ a on $h$ és la llongitut de l'hipotenusa. L'arc tangente és útil en esta situació, ya que no es necessita la llongitut de l'hipotenusa.

$\theta =\arctan \left(\frac{\text{opuesto}}{\text{adyacente}}\right).$

Per eixemple, suponga's que un sostre descendix 8 metros quan s'estén 20 metros horisontalment. El sostre forma un àngul θ en l'horisontal, a on θ es pot calcular de la següent manera:

$\theta =\arctan \left(\frac{\text{opuesto}}{\text{adyacente}}\right)=\arctan \left(\frac{\text{desnivel}}{\text{anchura}}\right)=\arctan \left(\frac{8}{20}\right)\approx 21.8^{\circ }.$

En informàtica i ingenieria

Variant de dos arguments de l'arc tangente

Artícul principal → arcotangente de dos paràmetros.

La funció arcotangente de dos paràmetros calcula el arcotangente de i/x donats i i x, pero en un ranc de (−π, π]. En atres paraules, nuguen2 (i, x) és l'àngul entre l'eix positiu x d'un pla i el punt (x, i) en ell, en signe positiu per a ànguls en sentit antihorario (semiplano superior,i > 0), i signe negatiu per a ànguls en sentit horari (semiplano inferior,i < 0). Es va introduir per primera volta en molts llenguages de programació de computadores, pero ara també és comuna en atres camps de la ciència i l'ingenieria.

En térmens de la funció estàndar arctan, és dir, en un ranc de (−Plantilla:Sfrac, Plantilla:Sfrac), es pot expressar de la següent manera:

$\mathrm{atan2}(y,x)=\{\begin{array}{cc}\arctan (\frac{y}{x})& x>0\\ \arctan (\frac{y}{x})+\pi & y\ge 0,x<0\\ \arctan (\frac{y}{x})-\pi & y<0,x<0\\ \frac{\pi }{2}& y>0,x=0\\ -\frac{\pi }{2}& y<0,x=0\\ \text{undefined}& y=0,x=0\end{array}$

També és igual al valor principal del argument del número complejo x + i i.

Esta funció també es pot definir utilisant la fòrmula de la tangente de l'àngul mitat de la següent manera:

$\mathrm{atan2}(y,x)=2\arctan \left(\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}+x}\right)$

sempre que x > 0 o i ≠ 0. No obstant, este procediment falla si es pretén calcular x ≤ 0 i i = 0, per lo que l'expressió no és adequada per al seu us en programes d'ordenador.

L'orde d'arguments anterior (i, x) sembla ser el més comú, i en particular s'usa segons l'Organisació Internacional de Normalisació en el llenguage de programació C, pero alguns autors poden usar la convenció oposta (x,i) per lo que es requerix certa precaució. Estes variacions es detallen en l'artícul nuguen2.

Funció d'arc en el paràmetro d'ubicació

En moltes aplicacions, la solució $y$ de l'equació $x=\tan (y)$ és acostar-se lo més possible a un valor donat $-\mathrm{\infty }<\eta <\mathrm{\infty }$. La solució adequada és produïda pel paràmetro funció arc tangente modificada

$y={\arctan }_{\eta }(x):=\arctan (x)+\pi \cdot \mathrm{rni}\left(\frac{\eta -\arctan (x)}{\pi }\right).$

La funció $\mathrm{rni}$ redoneja al sancer més propenc.

Precisió numèrica

Per a ànguls propencs a 0 i π, l'arc coseno és un valor mal condicionat, i per lo tant, calcularà l'àngul en precisió reduïda en aplicacions informàtiques (pel número llimitat de dígits). De manera similar, l'arc sen pert precisió per a ànguls propencs a −π/2 i π/2.

Vore també

• Exsecante
• Verseno
• Funcions hiperbòliques inverses
• Anex:Integrals de funcions inverses trigonométricas
• Identitats i fòrmules de trigonometria
• Funció trigonométrica
• Funcions trigonométricas de matrius

Enllaços externs

• Inverse Tangent en MathWorld.