Derivació de funcions trigonométricas

Funció	Derivada
$\mathrm{sen}(x)$	$\cos (x)$
$\cos (x)$	$-\mathrm{sen}(x)$
$\tan (x)$	${\sec }^2(x)$
$\cot (x)$	$-{\csc }^2(x)$
$\sec (x)$	$\sec (x)\tan (x)$
$\csc (x)$	$-\csc (x)\cot (x)$
$\mathrm{arcsen}(x)$	$\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
$\arccos (x)$	$\frac{-1}{\sqrt{1-x^2}}$
$\arctan (x)$	$\frac{1}{x^2+1}$

La derivació de les funcions trigonométricas és el procés matemàtic de trobar el ritme al com una funció trigonométrica canvia respecte de la variable independent; és dir, la derivada de la funció. Les funcions trigonométricas més habituals són les funcions sen(x), cos(x) i tan(x). Per eixemple, en derivar f(x) = sen(x), s'està calculant la funció f'(x) tal que dona el ritme de canvi del sen(x) en cada punt x.

$f^{\prime }(x)=\cos (x)$

Derivada de la funció tangente

A partir de la regla del cocient, segons la qual si la funció que es vol derivar, $f(x)$,

$f(x)=\frac{g(x)}{h(x)}$

i $h(x)\ne 0$, llavors la regla diu que la derivada de $g(x)/h(x)$ és igual a:

$\frac{d}{dx}f(x)=f^{\prime }(x)=\frac{g^{\prime }(x)h(x)-g(x)h^{\prime }(x)}{[h(x){]}^2}$

A partir de l'identitat trigonométrica

$\tan (x)=\frac{\mathrm{sen}(x)}{\cos (x)}$

fent:

$g(x)=\mathrm{sen}(x)$

$g^{\prime }(x)=\cos (x)$

$h(x)=\cos (x)$

$h^{\prime }(x)=-\mathrm{sen}(x)$

substituint resulta

$f^{\prime }(x)=\frac{\cos (x)\cos (x)-\mathrm{sen}(x)[-\mathrm{sen}(x)]}{{\cos }^2(x)}$

operant

$f^{\prime }(x)=\frac{{\cos }^2(x)+{\mathrm{sen}}^2(x)}{{\cos }^2(x)}$

i aplicant les identitats trigonométricas

${\cos }^2(x)+{\mathrm{sen}}^2(x)=1$

${\sec }^2(x)=\frac{1}{{\cos }^2(x)}$

resulta:

$f^{\prime }(x)={\sec }^2(x)$

Derivada de la funció arcoseno

Tenim una funció $y=\mathrm{arcsen}x$, que també es pot expressar com $\mathrm{sen}y=x$. Derivant implícitament la segona expressió:

$\cos y\cdot \frac{dy}{dx}=1$

$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{\cos y}$

Tenim ademés que $\cos y=\sqrt{1-{\mathrm{sen}}^{2}y}$, i que $x=\mathrm{sen}y$. Substituint, tenim la fòrmula final:

$\frac{d}{dx}\mathrm{arcsen}x=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$