Quadrat perfecte

Un quadrat perfecte en matemàtiques, o un número quadrat, és un número entero que és el quadrat d'algun atre; dit d'un atre modo, és un número que la seua raïl quadrada és un número natural.

Un número és un quadrat perfecte si es pot ordenar en una figura quadrada. Per eixemple, 9 és un número quadrat perfecte ya que pot ser escrit com 3 × 3, i es pot ordenar del següent modo:

32 = 9

Archiu:Square number 9.png

Un número entero positiu que no té divisorés quadrats (llevat l'1) es denomina número lliure de quadrats.

Archiu:SquareProperties.svg

Elevar 5 al quadrat nos proporciona l'àrea d'un quadrat de costat 5.

En àlgebra, el quadrat d'un número n s'expressa com a n², i equival a n × n. L'operació algebraica d'elevar al quadrat un número n nos proporciona l'àrea d'un quadrat geomètric el costat del qual medix n. Per esta raó, tal operació es coneix com elevar al quadrat.

Un número natural n elevat al quadrat es pot linealizar per mig de la següent expressió:

$n^2=\sum _{i=1}^n(2i-1)$

Aixina, per eixemple:

$3^2=\sum _{i=1}^3(2i-1)=1+3+5=9$

En el mateix resultat que la multiplicació:

$3^2=3\times 3=9$

Propietats

La fòrmula general per al n-ésimo número quadrat és n². Esta expressió és igual a la suma dels n primers número impar, demostrador per inducció matemàtica, registrada en la següent fòrmula:

$n^2=\sum _{k=1}^n(2k-1)$

$e.g.5^2=\sum _{k=1}^5(2k-1)=1+3+5+7+9=25$

Un quadrat parell es pot expressar com la suma de dos impar consecutius. Puix si complix la condició cap $P=4n^2$ es planteja l'equació:

$P=(2n^2+1)+(2n^2-1)$.

Un número primo de la forma $4k+1$ es pot expressar com la suma de dos quadrats:

$4k+1=m^2+n^2$

$e.g.k=4\to 17=16+1=4^2+1^2;k=9\to 37=6^2+1^2=36+1$

Els babilonios usaven taules de quadrats per a la multiplicació aplicant la fòrmula:

$ab=\frac{1}{4}[(a+b{)}^2-(a-b{)}^2]$

$e.g.5\times 2=\frac{1}{4}[(5+2{)}^2-(5-2{)}^2]=\frac{49-9}{4}=\frac{40}{4}=10$

El teorema dels quatre quadrats de Lagrange establix que qualsevol número entero positiu pot ser escrit com la suma de quatre quadrats perfectes. Tres quadrats no són suficients per a ser representats com a números de la forma 4^k(8m + 7). Un número positiu pot ser representat com una suma de dos quadrats precisament si la [[Teorema fonamental de l'aritmètica|factorización en número primo]] no conté potències impars de la forma 4k + 3. Esta és una generalisació del problema de Waring.

Segons l'últim dígit del número n que el seu quadrat es vol calcular es pot comprovar que dit quadrat tindrà les següents propietats:

1. Si l'últim dígit és 0, el seu quadrat acaba en 00 i els dígits precedents formen un quadrat.
2. Si l'últim dígit és 1 o 9, el seu quadrat termina en 1 i els dígits precedents formen un múltiple de 4.
3. Si l'últim dígit és 2 o 8, el seu quadrat termina en 4 i els dígits precedents formen un número par.
4. Si l'últim dígit és 3 o 7, el seu quadrat termina en 9 i els dígits precedents formen un múltiple de 4.
5. Si l'últim dígit és 4 o 6, el seu quadrat termina en 6 i els dígits precedents formen un número impar.
6. Si l'últim dígit és 5, el seu quadrat termina en 25 i els dígits precedents formen un número par.
7. Per tant, cap quadrat perfecte sancer acaba en 2, 3, 7 ni 8.

Eixemples

12 = 1	Archiu:Square number 1.png
22 = 4	Archiu:Square number 4.png
32 = 9	Archiu:Square number 9.png
42 = 16	Archiu:Square number 16.png
52 = 25	Archiu:Square number 25.png

La cantitat de factors (divisores) d'un número quadrat perfecte és sempre impar. O dit d'un atre modo, es complix que para tot número natural que no és quadrat perfecte, la cantitat dels seus factors és un número par.

Tot número natural es pot descompondre en factors primers i els seus corresponents exponents:

$N=p_1^a.p_2^b.p_3^c\mathrm{...}$

,

a on N és un número natural,

$p_1,p_2,\mathrm{...}$

són número primo i a,b,c... els seus corresponents exponents. Ya que tots els possibles divisores de N són una combinació d'este producte des de a=0,1,2,..a, b=0,1,2,...b i c=0,1,2,...c, la cantitat de divisores de N és:

n = (a+1).(b+1).(c+1)... a on n és la cantitat de factors o divisores de qualsevol número natural.

ya que en un número quadrat perfecte els exponents a, b, c, ... són número par, tots els factors de n seran impars i per tant el producte també és un número impar. Açò pot comprovar-se revisant l'Anex:Taula de divisores

Els primers 50 quadrats perfectes són:

0² = 0 (Plantilla:OEIS)

1² = 1

2² = 4

3² = 9

4² = 16

5² = 25

6² = 36

7² = 49

8² = 64

9² = 81

10² = 100

11² = 121

12² = 144

13² = 169

14² = 196

15² = 225

16² = 256

17² = 289

18² = 324

19² = 361

20² = 400

21² = 441

22² = 484

23² = 529

24² = 576

25² = 625

26² = 676

27² = 729

28² = 784

29² = 841

30² = 900

31² = 961

32² = 1024

33² = 1089

34² = 1156

35² = 1225

36² = 1296

37² = 1369

38² = 1444

39² = 1521

40² = 1600

41² = 1681

42² = 1764

43² = 1849

44² = 1936

45² = 2025

46² = 2116

47² = 2209

48² = 2304

49² = 2401

50² = 2500

Vore també

• Matemàtica
• Potenciació
• Raïl quadrada
• Equació de segon grau
• Conjectura de Legendre
• Paradoxa de Galileo
• Trinomi quadrat perfecte

Bibliografia

• Conway, J. H. and Guy, R. K. The Book of Numbers. New York: Springer-Verlag, pp. 30-32, 1996. ISBN 0-387-97993-X
• Square Number en MathWorld.