Fòrmula (expressió)

Fòrmula (expressió)

Una de les figures més influents de la generació fundadora, Edsger Dijkstra en la pissarra durant una conferència en ETH Zurich en 1994. En paraules del propi Dijkstra, "Una image pot valdre més que mil paraules, una fòrmula val més que mil imàgens".

Una fòrmula és una seqüència o cadena de caràcters els símbols dels quals pertanyen a un llenguage formal, de tal manera que l'expressió complix certes regles de bona formació i que admet una interpretació consistent en alguna àrea de la matemàtica i en uns atres sistemes formals. Esta té la finalitat d'expressar una relació general entre els térmens expressats en la fòrmula.

En un sistema formal, una fòrmula ben formada és una cadena de caràcters o paraula generada segons una gramàtica formal a partir d'un alfabet donat. Un llenguage formal es definix com el conjunt de totes les seues fòrmules ben formades.

Principals tipos de fòrmules (numèriques)

Una fòrmula sol contindre variables (una o més), i la fòrmula en sí no és només una expressió, sino una espècie de juí. Tal sentencia pot declarar alguna cosa sobre les variables, o pot declarar alguna cosa sobre les operacions aplicades. El significat exacte d'una fòrmula sol estar implícit en el context i no pot entendre's directament a partir de la seua forma. Es poden distinguir tres casos comuns:

• Una fòrmula deu indicar cóm buscar el valor d'una variable (equacions, etc.)
• Una fòrmula (escrita com buscada' = expressió) definix un valor a través dels seus paràmetros (similar a assignació en programació i a voltes escrita a través d'un dígraf ":=" com en Pascal, pero en principi pot considerar-se un cas especial degenerado d'una equació);
• Una fòrmula és un enunciat llògic pròpiament dit: Identitats (per eixemple, un axioma), l'enunciat d'una teorema, etc.

Equacions

Artícul principal → Equació.

Una equació és una fòrmula el lligament exterior de la qual (superior) és una relació binaria equació. No obstant, una característica important d'una equació és també que els seus símbols constituents es dividixen en variables i paràmetros (la presència d'estos últims, no obstant, és opcional). Per eixemple, $x^2=1$ és una equació, a on x és una variable. Els valors d'una variable en els que es complix l'igualtat es diuen raïls de l'equació: en este cas són els dos números 1 i -1. Per regla general, si una equació en una variable no és una identitat (vejau més alvance), llavors les raïls de l'equació són un conjunt discret, més a sovint finito (possiblement també buit).

Si l'equació inclou paràmetros, el seu significat és trobar les raïls (és dir, els valors de la variable en la que l'igualtat és verdadera) per a paràmetros donats. A voltes açò es pot formular com trobar dependència implícita de la variable en el paràmetro o paràmetros. Per eixemple $x^2=a$ s'entén com una equació sobre x (que és la lletra habitual per a una variable, junt en i, z i t). Les raïls de l'equació són la raïl quadrada de a (es creu que hi ha dos, de distint signe). Tal fòrmula, per sí mateixa, només dona una relació binaria entre x i a i pot entendre's inversamente com una equació sobre a sobre x. En este cas elemental, pot tractar-se més be de definir a a través de x: $a=x^2$.

Identitats

Vore també: Funció identitat

Una identitat és una sentència que és verdadera [[generalitat cuantor|||per a qualsevol] valor de les variables. Per lo general, una identitat significa una igualtat d'identitat correcta, encara que pot haver una desigualtat o alguna atra relació en l'exterior d'una identitat. En molts casos, una identitat pot entendre's com alguna propietat de la operacions usada en ella, per eixemple l'identitat $a+b=b+a$ establix la conmutatividad de la suma.

En una fòrmula matemàtica es poden escriure frases prou complexes de forma compacta i cómoda. Les fòrmules que es fan verdaderes en qualsevol substitució de variables per objectes concrets d'algun domini es diuen verdaderes-identitat en eixe domini. Per eixemple: "per a qualsevol a i b es complix l'igualtat $(a+b{)}^2=a^2+2ab+b^2$". Esta identitat pot ser derivada dels #axioma, per deducció llògica, de suma i multiplicació en un anell conmutativo, que a la seua volta també tenen la forma d'identitats.

Una identitat també pot no incloure variables i ser una igualtat aritmètica (o d'un atre tipo), com $6^3=3^3+4^3+5^3$.

Equacions aproximades

Per eixemple: $x\approx \sin (x)$ és una igualtat aproximada quan $x$ és menut, és dir, que el sen d'un àngul és el valor de dit àngul expressat en radianes.

Desigualtats

Una fòrmula de desigualtat pot entendre's en els dos sentits descrits al principi de la secció: com una identitat (per eixemple, la desigualtat de Cauchy-Bunyakovsky-Schwarz) o, com una equació, com un problema per a trobar un conjunt (o més exactament, un subconjunt del domini de definició) al que puga pertànyer una variable, o variables.

En Matemàtiques

Artícul principal → Notació matemàtica.

En Geometria, Estadística i unes atres branques de les Matemàtiques, una fòrmula és una equació que relaciona constants o variables matemàtiques i que s'expressa per mig d'una igualtat matemàtica.

Les expressions matemàtiques consten d'un conjunt de símbols del alfabet, que en una expressió matemàtica inclouen:

• Constants i variables, existixen diverses maneres de designar a este tipo d'entitats:
  • Números, que són un tipo de constants.
  • Signes del alfabet llatí, que s'usa per a nomenar tant a constants com a variables.
  • Signes del alfabet grec, usats similarmente a les anteriors.
• Funcions i predicats; entre este conjunt de símbols s'usen alguns específics para:
  • Operadors, que solen interpretar-se com a funcions, per eixemple la suma + o el producte · poden ser enteses com a funcions de dos arguments.
• Símbols llògics
  • Conectivas llògiques ($\vee ,\leftarrow ,\wedge ,\mathrm{\top },\dots$)
  • Quantificadors llògics. (∀; ∃)
• Signes de puntuació, separadores i divisores horisontals i verticals.
• Atres símbols de creació exclusiva per a este llenguage, com $\int ,\mathrm{\varnothing },$ para integral i conjunt buit, entre molts uns atres.

Per eixemple, el problema de determinar el volum dels cossos geomètrics, com els sòlits platònics, o les relacions mètriques del triàngul, o les raons trigonométricas. El volum d'una esfera requerix càlcul integral per a la seua resolució; segons Arquímedes pot calcular-se per mig de la fòrmula que relaciona el volum en el ràdio:

$V=\frac{4}{3}\pi r^3.$

En àlgebra, una fòrmula és una identitat que s'utilisa per a simplificar els càlculs o resoldre una equació o factorizar polinomis. Per eixemple, per a la equació quadràtica en coeficients reals o complexos, existixen sempre dos solucions, no necessàriament distintes, cridades raïls, que poden ser reals o complexes. Es denomina fòrmula quadràtica a l'equació que proporciona les raïls de l'equació quadràtica:

a on el símbol ± indica que els valors

$x_1=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

i

$x_2=\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

constituïxen les dos solucions.

Les cantitats, medides o incògnitas, que apareixen se solen identificar o simbolisar en lletres mayúscules (V=volum), lletres minúscules (r=radi), lletres gregues (π=pi=3,1415926…) i atres símbols (Σ representa la suma de moltes cantitats similars, una flecha sobre una lletra indica que es tracta d'un vector, $\overrightarrow{a}$, un punt sobre una lletra, $\dot{a}$, indica la derivada o diferencial d'eixa funció, etc.). A voltes és necessari l'us de subíndexs (x₁, x₂, …) i superíndexs (x², x³, …).

En ciències naturals

En física, química i atres ciències, una fòrmula relaciona magnituts físiques que poden ser medides per a calcular el valor d'atres de molt difícil o d'impossible mida. En un context general, nos suministren una solució matemàtica per a un problema del món real. Una fòrmula química expressa la relació dels elements en una molècula o compost químic.

L'expressió general de la segona llei de Newton, que també pot expressar-se com a F = ma, és aplicable a un ranc molt ampli de situacions físiques i nos permet calcular unes variables a partir d'atres conegudes o predir el comportament d'un sistema físic. Els dos térmens d'una fòrmula física deuen tindre la mateixa equació de dimensions, és dir, posseir les mateixes unitats de mida, o es poden convertir en idèntiques.

A sovint, les fòrmules van acompanyades de les corresponents unitats puix les fòrmules científiques expressen relacions entre magnituts reals que són el resultat de medides i que, per tant, posseïxen unitats. En l'eixemple anterior de l'esfera, si r = 2,0 cm, el resultat per al volum serà:

$V=\frac{4}{3}\pi (2,0\text{ cm}{)}^3=33,51{\text{ cm}}^3.$

Vore també: Llei científica i Model matemàtic

Fòrmules químiques

Artícul principal → Fòrmula química.

En química moderna, una fòrmula química és una forma d'expressar informació sobre les proporcions d'àtom que constituïxen un compost químic concret, utilisant una sola llínea de símbols d'elements, números i, a voltes, atres símbols, com a paréntesis, corchetes i signes més (+) i menys (-). Per eixemple, H₂O és la fòrmula química del aigua, especificant que cada molècula consta de dos àtoms d'hidrogen (H) i un àtom d'oxigen (O). De la mateixa manera, OPlantilla:Sup sub indica una molècula d'ozon formada per tres àtoms d'oxigen i una càrrega negativa neta.

Una fòrmula química identifica cada element constituent pel seu símbol químic i indica el número proporcional d'àtoms de cada element.

En les fòrmules empíriques, estes proporcions comencen en un element clau i després assignen números d'àtoms dels atres elements en el compost, com a proporcions a l'element clau. En els composts moleculars, estes proporcions sempre poden expressar-se com a número entero. Per eixemple, la fòrmula empírica del etanol pot escriure's C₂H₆O, perque totes les molècules d'etanol contenen dos àtoms de carbono, sis àtoms d'hidrogen i un àtom d'oxigen. Alguns tipos de composts iònics, no obstant, no poden escriure's com a fòrmules empíriques que contenen només els número entero. Un eixemple és el carbur de bor, la fòrmula del qual de CB_n és una relació variable de números no sancers, en n oscilant entre més de 4 i més de 6,5.

Quan el compost químic de la fòrmula està format per molèculas simples, les fòrmules químiques solen amprar formes per a sugerir l'estructura de la molècula. Existixen varis tipos de fòrmules, entre les que s'inclouen les fòrmules moleculars i les fòrmules condensadas. Una fòrmula molecular enumera el número d'àtoms per a reflectir els de la molècula, de modo que la fòrmula molecular de la glucosa és C₆H₁₂O₆ en lloc de la fòrmula empírica de la glucosa, que és CH₂O. Llevat en el cas de les substàncies molt simples, les fòrmules químiques moleculars carixen generalment de l'informació estructural necessària, i inclús poden ser ambigües en ocasions.

Una fòrmula estructural és un dibuix que mostra l'ubicació de cada àtom i a quins àtoms s'unix.

En Informàtica

En Informàtica, una fòrmula descriu típicament un càlcul, com una suma, que serà realisat sobre una o més variables. A sovint les fòrmules tenen el format implícit d'una instrucció o comando d'ordenador com:

Graus Celsius = (5/9)*(Graus Fahrenheit -32)

En la terminologia d'una hoja informàtica, una fòrmula és habitualment una cadena de text que conté referències de celes, com =A1+A2 a on A1 i A2 descriuen "celes" (columna A, fila 1 o 2) dins de la hoja. El resultat apareixerà en la cela que conté dita fòrmula (per eixemple, en A3, baix dels valors anteriors). El signe = precedix el segon terme (dreta) de la fòrmula que indica la cela en la que estan almagasenats les senyes. La part esquerra o primer membre de la fòrmula s'omet en estos casos puix el resultat s'almagasena en el lloc en que es troba la fòrmula i seria redundante dir A3=A1 + A2, si la fòrmula està almagasenada en A3.

La majoria dels programes d'ordenador, no obstant, no poden manejar una llògica simbòlica i solament treballen en cantitats numèriques, sistema binario i àlgebra de Boole, i deuen respectar-se els requeriments sobre les unitats en l'introducció de senyes.

En Ciències Socials

Igualment, en Economia, Sociologia, Psicologia i unes atres ciències socials, s'ampren fòrmules que relacionen les magnituts pròpies d'eixes branques del coneiximent.

Per eixemple, la llei de Okun pot ser expressada en la següent forma: (Abel & Bernanke 2005)

$\frac{(\bar{Y}-Y)}{\bar{Y}}=c(u-\bar{u})$, a on:

• $\bar{Y}$ és la PIB de plena ocupació o producció potencial.
• I és el PIB actual .
• $\bar{u}$ és la taxa natural de desocupació.
• o és la taxa actual de desocupació.
• c és el factor que relaciona els canvis en la desocupació en els canvis en la producció.

Unitats

Les fòrmules utilisades en la ciència casi sempre requerixen una elecció d'unitats. Les fòrmules s'utilisen per a expressar relacions entre diverses cantitats, com la temperatura, la massa o la càrrega en física; l'oferta, el benefici o la demanda en economia; o una àmplia gama d'atres cantitats en atres disciplines.

Un eixemple de fòrmula utilisada en ciència és la Fòrmula d'entropía de Boltzmann. En mecànica estadística, és una equació de provabilitat que relaciona la entropía S d'un gas ideal en la cantitat W, que és el número de microstados corresponents a un macroestado donat:

$S=k\cdot \log W$           (1) S= k ln W

a on k és la Constant de Boltzmann igual a 1.38062 x 10^-23 joule/kelvin, i W és el número de microstados consistents en el macroestado donat.

Vore també

• Notació matemàtica
• Fòrmula ben formada (llògica matemàtica)
• Hoja
• Fòrmula de la Coca-cola
• Anex:Séries matemàtiques, fòrmules per al càlcul de séries i sumatorios
• Anex:Derivades, fòrmules per a calcular la derivada
• Anex:Integrals, fòrmules per al càlcul integral

Enllaços externs

Fòrmula (expressió) en el Viccionari.