Conmutatividad

Conmutatividad

En matemàtiques, la propietat conmutativa o conmutatividad és una propietat fonamental que tenen algunes operacions segons la qual el resultat d'operar dos elements no depén de l'orde en el que es prenen. Açò es complix en la adició i la multiplicació ordinàries: el orde dels sumants no altera la suma, o l'orde dels factors no altera el producte.

La conmutatividad de les operacions elementals de sumar i multiplicar ya era coneguda implícitament des de l'Antiguetat, encara que no va ser cridada aixina fins a principis de el XIX, época en que les matemàtiques contemporànees escomençaven a formalisar-se. Les successives ampliacions del concepte de número (número natural, número entero, número racional, número real) varen ampliar l'alcanç de les operacions de sumar i multiplicar, pero en totes elles es preserva la conmutatividad. Esta propietat també se satisfà en moltes atres operacions, com la suma de vectores, polinomis, matrius, funcions reals, etc., o el producte de polinomis o de funcions reals.

En contraposició a l'adició i la multiplicació de números, la substracció i la divisió no són operacions conmutativas. Entre les operacions no conmutativas cal destacar també la composició de funcions, el producte de matrius i el producte vectorial.

A pesar de ser una propietat aplicada bàsicament a les operacions matemàtiques, la conmutatividad o la no conmutatividad són rellevants en atres camps propencs com la llògica proposicional i algunes operacions de teoria de conjunts, i en algunes aplicacions físiques tals com el principi d'incertitut de la mecànica quàntica. Fòra de l'àmbit científic, també es poden trobar eixemples en la vida quotidiana, ya que l'eixecució consecutiva de dos accions pot tindre un resultat diferent segons l'orde en que s'eixecuten.

Definició

De fet, la conmutatividad és un cas particular del concepte de funció simètrica. En efecte, una operació binaria en M no és més que una aplicació μ: M × M $\to$ M, i afirmar que esta és simètrica, μ(x,i) = μ(i,x), és exactament lo mateix que lo que requerix la propietat conmutativa.

Donada una operació binaria $\star$ un conjunt M, es diu que dos elements x, i de M commuten (o que són permutables) quan es complix que x$\star$i = i$\star$x. Aixina que, una operació és conmutativa quan dos elements qualssevol commuten.

Eixemples bàsics: adició i multiplicació de números

L'importància fonamental de la propietat conmutativa radica en el fet de que l'adició i la multiplicació d'número natural Per eixemple:

$2+3=5=3+2$

$2\cdot 3=6=3\cdot 2$

Expressat de manera general: per a qualsevol x, i de N:

$x+y=y+x$

$x\cdot y=y\cdot x$

L'ampliació del sistema dels número natural a uns atres sistemes numèrics: número entero ($\mathbb{Z}$), número racional ($\mathbb{Q}$), número real ($ℝ$), i número complejo ($ℂ$), es fa estenent-se les operacions d'adició i multiplicació, i de manera que estes seguixen sent conmutativas. Per eixemple:

$\frac{1}{2}+\frac{1}{3}=\frac{1}{3}+\frac{1}{2}=\frac{5}{6}$

Açò no vol dir que qualsevol ampliació d'un sistema numèric necessàriament vaja a respectar les propietats prèvies. L'eixemple més important d'este fet ve dau pel cos dels cuaterniones H, que, de la mateixa manera que el dels número complejo, també és una extensió del cos dels número real, pero en tres unitats imaginàries i, j, k en lloc d'una. La multiplicació de H no és conmutativa, ya que per eixemple i·j = k, és diferent de j·i = -k.

En contrast en les operacions d'adició i multiplicació, les operacions que les permeten invertir, substracció i divisió, són clarament no conmutativas. Basta posar un parell d'eixemples:

• La substracción no és conmutativa, ya que $1-2\ne 2-1$.

• La divisió no és conmutativa, ya que $\frac{1}{2}\ne \frac{2}{1}$.

Note's que per a poder efectuar estos càlculs cal treballar en el sistema numèric apropiat: Z per a poder restar, i Q per a poder dividir per un número diferent de 0.

Propietats

És important destacar que per a traure profit de la conmutatividad d'una operació és necessari que esta siga associativa, ya que en este cas la composició de n elements x₁, …, x_n es pot representar (sense paréntesis) com a x₁$\star$…$\star$x_n. Per eixemple

• (Teorema de conmutatividad) Si una operació és associativa i conmutativa llavors la composició de n elements es pot calcular en

per a qualsevol permutació (i 1,..., i n) dels índexs (1,..., n ).

Si una operació $\star$ associativa i dos elements x, i commuten, llavors també commuten les seues «potències»: $({\star }^{m}x)\star ({\star }^{n}y)=({\star }^{n}y)\star ({\star }^{m}x)$, per a qualsevol m i n número natural no nuls. En particular, totes les «potències» ${\star }^{n}x$ (n> 0) commuten entre elles.

• Siga $\star$ operació associativa en M. Si x commuta en i i en z, llavors també commuta en i$\star$z

Centre

Artícul principal → Centre (àlgebra).

Donat un conjunt M en una operació interna, el centre de M és el subconjunt format pels elements que commuten en tots els demés; a voltes es representa per Z(M). Afirmar que l'operació és conmutativa significa que el centre de M és tot M.

Com a conseqüència de l'última de les propietats anteriors, si l'operació és associativa llavors el centre de M és una part estable per a l'operació (és dir, si dos elements x, i pertanyen al centre llavors x $\star$ també pertany.)

Estructures algebraiques i conmutatividad

Una estructura algebraica ve donada per un o varis conjunts dotats d'operacions binarias o operacions externes. En la definició de cada tipo d'estructura algebraica impon que estes operacions complixquen certes propietats, entre les que pot estar la propietat conmutativa. Quan en alguna d'estes operacions no s'impon que satisfaça la propietat conmutativa pero no obstant la satisfà, llavors s'afig l'adjectiu conmutativo el nom de l'estructura en qüestió.

• Un magma és un conjunt dotat d'una operació binaria. Quan esta és conmutativa es diu magma conmutativo.
• Un monoide és un conjunt dotat d'una operació associativa en element neutre. Si també és conmutativa, es diu monoide conmutativo. Per eixemple, (N,+) i (N,·) són monoides conmutativos.
• Un grup és un conjunt dotat d'una operació associativa, en element neutre, i a on tot element és simetritzable. Si l'operació és conmutativa es diu grup conmutativo o grup abeliano. Per eixemple, (Z,+) és un grup conmutativo.
• Un anell és un conjunt A dotat de dos operacions binarias, habitualment denotades en notació aditiva (+) i notació multiplicativa (·). Respecte a la primera, (A,+) és un grup conmutativo. Respecte a la segona, (A,·) és un monoide. Ademés, la segona deu ser distributiva respecte a la primera. Quan la multiplicació és conmutativa, es diu anell conmutativo. Per eixemple, (Z,+, ·) és un anell conmutativo.
• Un cos és un anell a on 0≠1 i tot element no nul és invertible. Un cos es diu cos conmutativo quan la multiplicació és conmutativa. Per eixemple, en la suma i producte habituals, Q, R i C són cossos conmutativos, mentres que el cos dels cuaterniones H és un cos no conmutativo. (Note's, no obstant, que alguns autors preferixen requerir la conmutatividad del producte dins de la definició de cos, en el context del qual els cossos no conmutativos són cridats anells de divisió.)

• Un espai vectorial sobre un cos K és un conjunt I dotat d'una adddició respecte a la que (I,+) és un grup conmutativo, i d'una operació externa que permet multiplicar elements de I (vectores) per a elements de K (escalares). Si en lloc d'un cos es considera un anell l'estructura resultant es diu mòdul.
• Donat un cos conmutativo K (o, més generalment, un anell conmutativo), una K-àlgebra és un conjunt A dotat d'una estructura de K-espai vectorial (K-mòdul si K és un anell) i d'una segona operació binaria, usualment representada en notació multiplicativa. Quan esta operació és conmutativa es diu K-àlgebra conmutativa. Per eixemple, C i H són R-#àlgebra associatives i unitàries; la primera és conmutativa i la segona no. Un atre eixemple de gran importància és el conjunt dels polinomis en una variable en coeficients en K, K[X], que en les operacions habituals de suma i producte de polinomis i de producte per escalares és una K-àlgebra associativa, conmutativa i unitària.

Hi ha, no obstant, un cas especial en el que l'adjectiu conmutativo no té exactament el mateix significat que en els casos anteriors:

• Una K-àlgebra de Lie és una K-àlgebra el producte de la qual, usualment denotat per (x,i) $\mapsto$ [x,i], satisfà les propietats de ser alternat ([x,x] = 0 per a tot x) i la identitat de Jacobi. Es diu que és una K-àlgebra de Lie conmutativa quan el producte de dos elements qualssevol és nul: [x,i]=0.

L'adjectiu conmutativo apareix també en el nom d'una branca del àlgebra: el àlgebra conmutativa, que estudia els anells conmutativos i els seus mòduls.

Història

Els primers usos implícits de la propietat conmutativa es remonten a l'Antiguetat. Els egipcíacs utilisaven la propietat conmutativa de la multiplicació per a simplificar el càlcul de productes. En la Antiga Grècia, Euclides va assumir la propietat conmutativa de la multiplicació en la seua obra Elements. Els usos formals de la propietat conmutativa varen aparéixer a finals de el XVIII i els inicis del XIX, quan els matemàtics varen escomençar a treballar en el camp de la teoria de funcions.

La primera utilisació documentada de l'adjectiu conmutativo va ser en un artícul de François Servois de 1814 els Annales de Gergonne, a on apareix l'expressió en francés conmutativas entre elles per a descriure, en la terminologia actual, el fet de que dos funcions commuten. En 1841 Duncan Farquharson Gregory va usar l'expressió en anglés commutative law en el seu llibre Examples of the processes of the differential and integral calculus per a referir-se a la possibilitat de commutar dos operacions. Este us va ser arreplegat poc despuix, en 1844, per George Boole en un artícul en Philosophical Transactions.

Atres usos i eixemples de conmutatividad

Llògica proposicional

La propietat conmutativa també és aplicable a algunes operacions de la llògica proposicional. En llògica proposicional, la conmutación es troba en algunes regles de substitució:

$(P\vee Q)\iff (Q\vee P)$

i

$(P\wedge Q)\iff (Q\wedge P)$,

a on "$\iff$" és un símbol metalógico que significa «en una demostració formal, es pot substituir en...».

Conectivos de funcions de veres

La conmutatividad és una propietat d'algunes conectivas llògiques de la llògica proposicional, que s'expressa en #equivalència llògiques:

Conmutatividad de la conjunció

$(P\wedge Q)\leftrightarrow (Q\wedge P)$

Conmutatividad de la disjunció

$(P\vee Q)\leftrightarrow (Q\vee P)$

Conmutatividad de l'implicació (també cridada llei de la permutació)

$(P\to (Q\to R))\leftrightarrow (Q\to (P\to R))$

Conmutatividad de l'equivalència (també cridada llei conmutativa completa de l'equivalència)

$(P\leftrightarrow Q)\leftrightarrow (Q\leftrightarrow P)$

Teoria de conjunts

La unió i la intersecció de conjunts són operacions conmutativas. Encara que estes operacions es poden efectuar en famílies arbitràries de conjunts, quan es tracta de dos conjunts estes propietats s'expressen

$A\cup B=B\cup A,A\cap B=B\cap A$.

La suma i el producte de cardinals són operacions conmutativas. Si $𝔞$ i $𝔟$ són dos cardinals, llavors

$𝔞+𝔟=𝔟+𝔞,𝔞𝔟=𝔟𝔞$.

Açò implica en particular que la suma i el producte d'número natural (és dir, els cardinals dels conjunts finitos) són conmutativas. La conmutatividad de la suma és conseqüència de la de l'unió de conjunts. La conmutatividad del producte és conseqüència de que un producte cartesiano de conjunts té el mateix número d'elements independentment de cóm es realise este producte.

En contrast en els cardinals, en general la suma i el producte d'ordinalés transfinitos no són conmutativas. Per eixemple, si ω és l'ordinal de N, 1 + ω ≠ ω + 1.

Atres operacions algebraiques

Ademés de l'adició i multiplicació de números, hi ha atres operacions anàlogues que són conmutativas. Entre elles destaca l'adició de vectores en un espai vectorial qualsevol, com per eixemple l'espai euclidiano Rⁿ, l'espai M_m,n(R) de les matrius m×n en coeficients reals, o l'espai de les funcions reals $ℱ$(I,R) definides en un conjunt qualsevol I. També es diu que el producte escalar de vectores en un espai euclidiano és conmutativo, encara que, al no tractar-se d'una operació interna, seria més apropiat dir que és simètric.

Vida quotidiana

En la vida quotidiana es poden trobar numerosos eixemples d'operacions conmutativas, com per eixemple l'acció de posar-se els calcetins: no importa qué calcetí es pose primer, de qualsevol de les dos maneres el resultat final (tindre els dos calcetins posats) és el mateix. Un eixemple que utilisa la conmutatividad de l'adició s'observa quan es paga un producte o servici en monedes: independentment de l'orde en que es donen en el caixer, el total acumulat sempre és el mateix.

Eixemples d'operacions no conmutativas

Teoria de conjunts

La composició de funcions no és una operació conmutativa. Per eixemple, considerem les funcions:

$\begin{array}{cccc}f:& R& \to & R\\ & x& \mapsto & y=f(x)=x+1\end{array}\begin{array}{cccc}g:& R& \to & R\\ & x& \mapsto & y=g(x)=x^2\end{array}$

Llavors

$(g\circ f)(x)=g(f(x))=x^2+2x+1$

que és diferent de:

$(f\circ g)(x)=f(g(x))=x^2+1$

Un cas particular interessant és el de les biyecciones d'un conjunt en sí mateixa, és dir, les #permutació, que formen un grup dit grup simètric. Este no és conmutativo quan el conjunt té 3 o més elements.

Operacions anticonmutativas

Un àlgebra és anticonmutativa si i només si xi = -(ix) para tot x, i, a on * representa a un operador matemàtic binario.

Entre els eixemple d'operadors anticonmutativos es troben:

• La resta.
• El producte vectorial.
• Les #àlgebra de Lie.

Atres operacions algebraiques

Sobre operacions no conmutativas en matemàtica, i aparte de la substracció i divisió ya mencionades, algunes operacions binarias no conmutativas són les següents: La potenciació no és conmutativa, ya que, per eixemple, 2³ = 8 és diferent de 3² = 9. La multiplicació de matrius no és conmutativa; per eixemple,

$\left[\begin{array}{cc}0& 0\\ 1& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 1\end{array}\right]\ne \left[\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}0& 0\\ 1& 0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 0\end{array}\right]$

Més generalment, si n≥2, l'anell de les matrius quadrades M_n(R) no és conmutativo, i el seu centre està format per les matrius escalares, és dir, les matrius múltiples de l'identitat.

Vida quotidiana

En la vida del dia a dia es poden trobar multitut d'eixemples d'operacions no conmutativas. Un eixemple senzill podria ser el de llavar i planchar la roba: les accions de llavar i planchar (en este orde) produïxen un resultat diferent que planchar i després llavar. Un atre eixemple és la concatenació de texts, és dir, l'acció de juntar cadenes de caràcters. No és lo mateix escriure L'i després CA (LACA) que escriure primer CA i després LA (CALA).

Finalment, un últim eixemple: els moviments del gaveta de Rubik no commuten (de fet, tots ells formen un grup no conmutativo).

Commutador

Artícul principal → Commutador de dos operadors.

El commutador dona una indicació de la mida en que una certa operació binaria no conseguix ser conmutativa. Per a poder definir-ho, hi ha una certa estructura adicional, ya siga que l'operació és la d'un grup, o be que siga la multiplicació en un anell o àlgebra.

En un grup

En un grup, el commutador de dos elements x i i és l'element:

$[x,y]=x^{-1}{y}^{-1}xy$

(També es pot definir en un atre conveni, invertint les segones x i i en lloc de les primeres.) Està clar que [x,i] = i (element neutre del grup) si x i i commuten. Un grup és conmutativo sii tots els commutadors són l'element neutre.

El conjunt dels commutadors d'un grup G no és per lo general un subgrup, pero genera un subgrup normal cridat subgrup dels commutadors o subgrup derivat. El cocient G / D de G pel seu subgrup derivat és un grup conmutativo cridat grup abelianitzat de G; és el més gran dels cocients conmutativos de G.

En un anell o un àlgebra

En un anell o, més generalment, en un àlgebra, el commutador de dos elements x i i és l'element

[x,i] = xy − yx.

De nou, està clar que [x, i] = 0 sii x i i commuten. Un anell o àlgebra són conmutativos si tots els commutadors són nuls.

Si A és una K-àlgebra associativa, llavors el producte (x,i) $\mapsto$ [x,i] definit pel commutador és alternat i satisfà la identitat de Jacobi, de modo A és també una K-àlgebra de Lie. L'àlgebra associativa A és conmutativa si la seua àlgebra de Lie associada també ho és.

Propietats relacionades

Asociatividad

Artícul principal → Propietat associativa.

La propietat associativa està molt relacionada en la conmutativa. La propietat associativa d'una expressió que conté dos o més ocurrències del mateix operador postula que l'orde que es porten a terme les operacions no afecta al resultat final, sempre que l'orde dels térmens no canvie. Pel contrari, la propietat conmutativa diu que l'orde dels térmens no afecta al resultat final.

La majoria d'operacions conmutativas que es troben en la pràctica també són associatives. No obstant, la conmutatividad no implica la asociatividad. Un contraeixemple senzill és el següent en la mija aritmètica de n números:

$m(x,y,\dots )=\frac{x+y+\dots }{n}$

Esta operació és clarament conmutativa (l'intercanvi entre x i i no afecta el resultat final perque es tracta d'una suma) pero no és associativa, ya que, per eixemple:

$m(1,2,3)=\frac{1+2+3}{3}=\frac{6}{3}=2$

$m(m(1,2),3)=m(\frac{1+2}{2},3)=\frac{\frac{1+2}{2}+3}{2}=\frac{\frac{1+2+6}{2}}{2}=\frac{\frac{9}{2}}{\frac{2}{1}}=\frac{9}{4}$

pero

$m(1,m(2,3))=m(1,\frac{2+3}{2})=\frac{1+\frac{2+3}{2}}{2}=\frac{\frac{2+2+3}{2}}{2}=\frac{\frac{7}{2}}{\frac{2}{1}}=\frac{7}{4}$

Al no ser associativa no es pot aplicar la teorema de conmutatividad, com es veu per eixemple en que:

$\begin{array}{c}m(1,2,3)=2\\ m(m(1,2),3)=\frac{9}{4}\\ m(1,m(2,3))=\frac{7}{4}\end{array}\}$

Existix una relació interessant entre asociatividad i conmutatividad. Considerem un conjunt M dotat d'una operació que representarem multiplicativamente. Considerem, per a cada a de M, les corresponents translacions per l'esquerra i la dreta:

$\begin{array}{cccc}{L}_a:& M& \to & M\\ & 𝐱& \mapsto & 𝐲=L_a(𝐱)=a𝐱\end{array}$

$\begin{array}{cccc}{R}_a:& M& \to & M\\ & 𝐱& \mapsto & 𝐲=R_a(𝐱)=𝐱a\end{array}$

La asociatividad de l'operació significa que:

$\mathrm{\forall }x,y,z\in M:(xy)z=x(yz)$

Pero esta expressió es pot escriure:

$R_z\circ L_x(y)=L_x\circ R_z(y)$

per lo que l'operació és associativa si tota translació per l'esquerra commuta en tota translació per la dreta.

Simetria

Artícul principal → Simetria.

Algunes formes de simetria es poden relacionar directament en la conmutatividad. Quan un operador conmutativo escriu com una funció binaria llavors la funció resultant és simètrica a lo llarc de la llínea i = x. Per eixemple, si la funció f representa la suma (una operació conmutativa) de tal manera que f(x,i) = x + i, llavors f és una funció simètrica (vejau l'image de la dreta, a on s'observa la simetria respecte a la diagonal).

Sobre relacions entre dos variables, hi ha una estreta conexió entre conmutatividad i la relació simètrica. Afirmar que una relació R és simètrica significa que $xRy\iff yRx$.

Operadors que no commuten en mecànica quàntica

Artícul principal → Principi d'incertitut de Heisenberg.

En mecànica quàntica, tal com la va formular Schrödinger, les magnituts observables físiques es corresponen en un cert tipo d'operadors llineals, els operadors autoadjuntos en un espai de Hilbert apropiat. Per eixemple, en un moviment unidimensional la posició x i la cantitat de moviment p d'una partícula estan representades respectivament pels operadors $\hat{x}$ i $\hat{p}$. Quan l'estat del sistema es representa per mig d'una funció d'ona ψ(x) de L²(R), llavors estos operadors interpreten com $\hat{x}\psi =x\psi (x)$ (multiplicar per x) i $\hat{p}=-\mathrm{i}\hslash \mathrm{d}/\mathrm{d}x$ (a on ħ és la constant de Planck reduïda). Estos dos operadors no commuten, tal com es pot comprovar considerant el resultat de compondre'ls actuant sobre ψ(x) (ometem el factor constant -iħ):

$x\left(\frac{d}{dx}\psi \right)=x{\psi }^{\prime }\ne \frac{d}{dx}(x\psi (x))=\psi +x{\psi }^{\prime }$

Esta no conmutación també es pot expressar calculant el seu commutador:

$[\hat{x},\hat{p}]=\mathrm{i}\hslash \mathrm{I}\mathrm{d}.$

Segons el principi d'incertitut de Heisenberg, si els operadors que representen dos magnituts observables no commuten, llavors estes no es poden medir de forma precisa i simultànea. Aixina que la posició i la cantitat de moviment (en una direcció donada) no es poden determinar simultàneament. De manera més precisa, esta incertitut mínima ve quantificada precisament pel valor esperat del commutador dels dos operadors, i en el cas que nos ocupa açò significa que les desviacions estàndars de la posició i el moment satisfan la desigualtat σ_xσ_p

Bibliografia

Llibres

• (1970) Algèbre, Chapitres 1 à 3 (en francés), Pariu: Hermann.

Éléments de mathématique (Elements de matemàtica), llibre d'àlgebra.

• Bourbaki (1971). Groupes et algèbres de Lie, Chapitre 1 (en francés), Pariu: Hermann.

Éléments de mathématique, llibre de grups i #àlgebra de Lie.

• Bourbaki (1970.). Théorie dones ensembles (en francés), Pariu: Hermann.

Éléments de mathématique, llibre de teoria de conjunts.

• Halmos, Paul R. (1960). Naive set theory, Nova York: Van Nostrand.

Text clàssic de teoria de conjunts.

• Cantor, Georg (2006). Fonaments per a una teoria general de conjunts, Barcelona: Crítica. ISBN 84-8432-695-0.
• Castellet, Manuel (1990). Àlgebra llineal i geometria (en català), Anglaterra: Publicacions de la Universitat Autònoma de Barcelona. ISBN 84-7488-943-X.

Llibre de primer curs d'universitat, a on es definix o s'estudia la conmutatividad de vàries operacions.

• Lang, Serge (2002). Algebra, 3a ed. edició (en anglés), Nova York: Springer. ISBN 0-387-95385-X.

Text clàssic d'àlgebra.

• Robins, Gai; Shute, {{{nom2}}} (1987). The Rhind mathematical papyrus: An ancient Egyptian text (en anglés), Londres: British Museum Publications. ISBN 0-7141-0944-4.

Traducció i interpretació del papir de Rhind.

Fonts històriques

"Artícul de servos a on introduïx el terme "conmutativo ".

• Gregory, Duncan Farquharson (1841). Examples of the processes of the differential and integral calculus, Cambridge: University Press.

Llibre de Gregory a on usa l'expressió "llei conmutativa".

Artícul de Boole a on usa l'expressió "llei conmutativa".

Recursos en llínea

Definició de conmutatividad i eixemples senzills d'operacions conmutativas i no conmutativas.

Artícul no publicat que descriu la capacitat matemàtica de les civilisacions antigues.

"Pàgina sobre els primers usos de térmens matemàtics.

Artícul sobre l'història dels número real

Biografia sobre Servois.

Vore també

• Anticonmutatividad
• Propietat distributiva
• Commutador (matemàtica)

Enllaços externs

• Propietat conmutativa de la suma, video en YouTube
• Propietat conmutativa de la multiplicació, video en YouTube