Àlgebra sobre un cos

En matemàtiques, un àlgebra sobre un cos $𝕂$, o una $𝕂$-àlgebra, és un espai vectorial $A$ sobre $𝕂$ equipat en una noció compatible de multiplicació d'elements de $A$. Una generalisació directa admet que $𝕂$ siga qualsevol anell conmutativo. Alguns autors utilisen el terme "àlgebra" com a sinònim de "àlgebra associativa".

Definicions

Per a ser exactes, siga $(V_{𝕂},+)$ un espai vectorial sobre el cos $𝕂$, i supongam que existix una operació binaria definida entre vectores:

Tal que és bilineal, és dir, tal que para tot $u,v,w\in V,\lambda \in 𝕂$:

1. $u\cdot (v+w)=u\cdot v+u\cdot w$
2. $(v+w)\cdot u=v\cdot u+w\cdot u$
3. $u\cdot (\lambda v)=(\lambda u)\cdot v=\lambda (u\cdot v)$

Llavors en esta operació, $V_{𝕂}$ es convertix en un àlgebra sobre $𝕂$ i $𝕂$ és el cos base de l'àlgebra $𝒜=(V_{𝕂},+,\cdot )$.

Les àlgebra també es poden definir més generalment sobre qualsevol anell unitari $R$: necessitem un mòdul $𝒜$ sobre $R$ i una operació bilineal sobre l'espai vectorial com la dalt descrita; llavors $𝒜$ és una $R$-àlgebra, i $R$ és el anell baix $𝒜$. Dos àlgebra $𝒜$ i $ℬ$ sobre $𝕂$ són isomorfas si existix una aplicació llineal biyectiva $f:𝒜\to ℬ$ tal que $f(𝐱𝐲)=f(𝐱)f(𝐲)$ para tot $x,y\in 𝒜$. Per a tots els propòsits pràctics, les àlgebra isomorfas són idèntiques; solament es diferencien en la notació dels seus elements.

Característiques

Per a les àlgebra sobre un cos, la multiplicació bilineal de $𝒜\times 𝒜$ a $𝒜$ està determinada totalment per la multiplicació dels elements de la base de $A$. Inversamente, una volta que ha segut elegida una base per a $𝒜$, els productes dels elements de base es poden fixar arbitrariamente, i llavors estendre d'una manera única a un operador bilineal en $𝒜$, és dir de modo que la multiplicació que resulta satisfaça les lleis de l'àlgebra.

Aixina, donat el cos $𝕂$, qualsevol àlgebra es pot especificar llevat un isomorfisme donant el seu dimensió (digam $n$), i especificar els $n^3$ coeficients d'estructura $c_{i,j,k}$, que són escalares. Estos coeficients d'estructura determinen la multiplicació en $𝒜$ via la regla següent:

${𝐞}_i{𝐞}_j=\sum _{k=1}^n{c}_{i,j,k}{𝐞}_k$

A on $\{{𝐞}_1,\dots ,{𝐞}_n\}$ una base de $A$. L'únic requisit en els coeficients de l'estructura és que, si la dimensió $n$ és un número infinit, llavors esta suma deu convergir (en qualsevol sentit que siga apropiat per a la situació). Observe, no obstant, que diversos conjunts de coeficients d'estructura poden donar lloc a àlgebra isomorfas.

En física matemàtica, els coeficients d'estructura s'escriuen a sovint $c_{i,j}^k$, i s'escriu usant el conveni de sumación d'Einstein com

${𝐞}_i{𝐞}_j=c_{i,j}^k$

Si s'aplica açò a vectores escrits en notació d'índex, llavors es convertix en:

$(𝐱𝐲{)}^k=c_{i,j}^k{x}^i{y}^j$

Si

$𝕂$

és solament un anell conmutativo i no un cos, llavors lo mateixa funciona si

$𝒜$

és un mòdul lliure sobre

$𝕂$

. Si no és, llavors la multiplicació encara està determinada totalment per la seua acció en un conjunt generador de

$𝒜$

; no obstant, les constants d'estructura no es poden especificar arbitrariamente en este cas, i saber solament les constants d'estructura no específica l'àlgebra mòdul isomorfisme.

Vore també

• Àlgebra de Clifford
• Àlgebra geomètrica
• Àlgebra simple central

Referències

• Richard D. Schafer, An Introduction to Nonassociative Algebras (1996) ISBN 0-486-68813-5.
• Ernst Kunz, Introduction to Commutative algebra and algebraic geometry, Birkhauser 1985, ISBN 0-8176-3065-1.