Àlgebra de Clifford

Àlgebra de Clifford

Diagrama de l'àlgebra de Clifford.

Les àlgebra de Clifford són àlgebra associatives d'importància en matemàtiques, en particular en teoria de la forma quadràtica i del grup ortogonal i en la física. Es nomenen aixina per William Kingdon Clifford.

Definició formal

Siga V un espai vectorial sobre un cos k i q : V → k una forma quadràtica en V. L'àlgebra de Clifford C(q) és un àlgebra associativa unital sobre k junt en la funció llineal i: V → C(q) definit per la propietat universal següent: per a cada àlgebra associativa A sobre k en una funció llineal j: V → A tal que per a cada v en V es té j(v)² = q(v)1 (a on 1 denota l'identitat multiplicativa de A), hi ha un homomorfisme únic del àlgebra f: C(q) → A tal que el diagrama següent commuta

$\begin{array}{ccc}V& \to & C(q)\\ \downarrow & \swarrow & \\ A& & \end{array}$

és dir tal que fi = j.

L'àlgebra de Clifford existix i pot ser construïda com seguix: prenga l'àlgebra tensorial T(V) construïda pel ideal generat per

$v\otimes v-q(v)1$.

Se seguix d'esta construcció que i és inyectivo, i V es pot considerar com subespacio llineal de C(q).

Siga

B(o, v) = q(o + v) - q(o) - q(v)

la forma bilineal associada a q. Que és una conseqüència de la definició que l'identitat

uv + vu = B (o, v)

val en C(q) per a cada parell (o, v) de vectores en V. Si el cos és de característica distinta de 2 esta expressió es pot utilisar com a definició alternativa.

L'àlgebra de Clifford C(q) és filtrada per subespacios

k ⊂ k + V ⊂ k + V + V² ⊂ ...

dels elements que es poden escriure com a monomis de 0, 1, 2,.. vectores en V. l'àlgebra graduada associada és canónicamente isomorfa al àlgebra exterior Λ V de l'espai vectorial. Açò mostra en particular que

dim C(q) = 2^{dim V}.

Una manera més simple de considerar açò és elegint una base arbitrària i₁, i₂..... per a V. Usant la relació de anticonmutación podem expressar sempre un element de l'àlgebra de Clifford com combinació llineal de monomis del tipo

$e_{i_1}{e}_{i_2}{e}_{i_3}\cdots e_{i_n},i_1<i_2<\cdots <i_n$

que dona un isomorfisme explícit en l'àlgebra exterior. Observe's que este és un isomorfisme d'espais vectorials, no de àlgebra.

Si V té dimensió finita parell, el cos és algebraicamente tancat i la forma quadràtica és no degenerada, l'àlgebra de Clifford és simple central. Aixina pel teorema de Artin-Wedderburn és (no canónicamente) isomorfa a un àlgebra de matrius. Se seguix que en este cas C(q) té una representació irreducible de dimensió 2^dim(V)/2 que és única llevat un isomorfisme (no únic). Est és la famosa representació per espinor), i les seues vectores es diuen espinorés.

En cas que el cos k siga el cos de número real l'àlgebra de Clifford d'una forma quadràtica de signatura p, q és generalment denotada C(p, q). S'han classificat estes àlgebra reals de Clifford com seguix...

Les àlgebra de Clifford són importants en la física. Els físics consideren generalment les àlgebra de Clifford expressades per les matrius γ₁...,γ_n que tenen la propietat que

γ_i γ_j + γ_j γ_i = 2δ_i,j

a on δ és la matriu d'una forma quadràtica del tipo p,q sobre una base ortonormal d'i₁,..., i_n.

Vore també

• Representacions de àlgebra de Clifford

Bibliografia

• arXiv:0509178.

1–116. (Text en espanyol)