Espinor

Archiu:Spinor on the circle.pdf

Espinor

Archiu:Spinor on the circle.png

Un espinor visualisat com un vector que apunta a lo llarc d'una banda de Möbius, exhibint una inversió de signe quan el círcul (el "sistema físic") es gira contínuament durant un gir complet de 360°.

En geometria i física, els espinores són elements d'un espai vectorial (complex) que poden posar-se en correspondència o associar-se a vectores d'un espai euclídeo. De la mateixa manera que els vectores físics i els tensors de forma més general, els espinores es transformen linealmente quan l'espai euclídeo se somet a una lleu rotació.

Introducció

Archiu:Belt Trick.ogv

Un objecte unit per cinturons o cuerdo pot girar contínuament sense enredrar-se. Observe's que en acabant de que la gaveta complete una rotació de 360°, l'espiral s'invertix des de la seua configuració inicial. Les lligam tornen a la seua configuració original despuix de girar un total de 720°

Archiu:Antitwister.ogv

Un eixemple més extrem que demostra que este principi funciona en qualsevol número de lligam. En el llímit, una peça d'espai sòlit continu pot girar en el seu propi emplaçament sense esgarrar-se o intersecarse

Tant els espinores com els vectorés són elements d'un espai vectorial, la diferència radica en com es comporten els seus components en considerar un canvi de referència o de canvi de base. Ademés en les aplicacions pràctiques els espinores es prenen com a elements d'un espai vectorial sobre $ℂ$, mentres que els vectores físics es definixen sobre $ℝ$. Per a entendre açò dels canvis de components considerem com es transformen les components de tensors i espinores al rotar la base vectorial en l'es expressen. Considere's aplicar una rotació a les coordenades d'un sistema. Cap objecte en el propi sistema s'ha mogut, solament les coordenades ho han fet, per lo que sempre hi haurà un canvi compensatori en eixos valors de coordenades quan s'apliquen a qualsevol objecte del sistema. Els vectores geomètrics, per eixemple, tenen components que experimentaran la mateixa rotació que les coordenades. Més àmpliament, qualsevol càlcul tensorial associat en el sistema (per eixemple, la tensió d'algun mig) també té descripcions de coordenades que s'ajusten per a compensar els canvis en el sistema de coordenades en sí. Els espinores no apareixen en este nivell de la descripció d'un sistema físic, quan un s'ocupa solament de les propietats d'una sola rotació aïllada de les coordenades. Més be, apareixen quan s'imagina que, en lloc d'una sola rotació, el sistema de coordenades es trencada gradualment (contínuament) entre alguna configuració inicial i una atra final. Per a qualsevol de les cantitats familiars i intuïtives (tensoriales) associades en el sistema, la llei de transformació no depén dels detalls precisos de cóm varen aplegar les coordenades a la seua configuració final. Els espinores, per un atre costat, estan construïts de tal manera que els fa "sensibles" a cóm va aplegar allí la rotació gradual de les coordenades: exhibixen dependència del camí.

Resulta que, per a qualsevol configuració final de les coordenades, en realitat hi ha (topológicamente) dos rotacions graduals (equivalents) desiguals del sistema de coordenades que resulten en esta mateixa configuració. Esta ambigüitat es diu homotopía de la rotació gradual. L'eixemple del cinturó enredrat és un cas famós en el que dos rotacions diferents, una a través d'un àngul de 2π i l'atra a través d'un àngul de 4π, que tenen les mateixes configuracions finals pero diferents classes. Els espinores en realitat mostren una inversió de signe que realment depén d'esta classe de homotopía. Açò els distinguix dels vectores i atres tensors, cap dels quals són sensibles al gir acumulat.

Els espinores es poden exhibir com a objectes concrets usant una elecció de coordenades cartesianas. En tres dimensions euclidianas, per eixemple, els espinores poden construir-se fent una elecció de matrius de Pauli corresponents a (per eixemple, moments angulars respecte a) els tres eixos de coordenades. Estes són matrius de 2×2 en número complejo, i els vectores columna complexos de dos components en els que actuen estes matrius per multiplicació de matrius són els espinores. En este cas, el grup de gir és isomorfo al grup de 2×2 de matrius unitàries en determinant un, que naturalment es troba dins de l'àlgebra matricial. Este grup actua per conjugació en l'espai vectorial real comprés per les matrius de Pauli, estructurant-ho com un grup de rotacions entre elles, pero també actua sobre els vectores columna (és dir, sobre els espinores).

Més generalment, un àlgebra de Clifford pot construir-se a partir de qualsevol espai vectorial V dotat d'una forma quadràtica (no degenerada), com l'espai euclídeo en el seu producte escalar estàndart, o l'espai-temps de Minkowski en la seua mètrica de Lorentz estàndar. l'espai dels espinores és el conjunt de vectores columna en components $2^{\lfloor \dim V/2\rfloor }$. L'àlgebra ortogonal de Lie (és dir, les "rotacions" infinitesimals) i el grup d'espin associat a la forma quadràtica estan abdós (canónicamente) continguts en l'àlgebra de Clifford, per lo que cada representació de l'àlgebra de Clifford també definix una representació de l'àlgebra de Lie i del grup d'espin. Depenent de la dimensió i de la signatura mètrica, esta realisació dels espinores com vectores columna pot ser irreducible o pot descompondre's en un parell de les denominades mijos regressos o representacions de Weyl. Quan l'espai vectorial V és de quatre dimensions, l'àlgebra es descriu per mig de matrius gamma.

Tipos de espinores

En la pràctica existixen varis tipos d'objectes denominats informalemente espinor les lleis dels quals de transformació baix canvis de coordenades o sistemes de referència són llaugerament diferents. En la finalitat de clarificar açò enumerem els tipos abans de procedir a la discussió detallada:

• Espinores de Pauli són elements d'un espai vectorial ${ℂ}^2$, les components del qual es transformen en canviar de sistema de referència per mig del grup SU(2), isomorfo al grup espinorial Sp(3). Servixen per a representar de forma matemàticament convenient vectores tridimensionals de ${ℝ}^3$ i per a definir la seua estructura matemàtica s'ampra un producte intern relacionat en el producte escalar euclídeo, que condiciona la forma correcta en que es transformen baix canvis de referència les components. Este tipo de espinores va sorgir en el context de la mecànica quàntica no relativista.
• Espinores de Weyl són també elements de l'espai vectorial ${ℂ}^2$, pero dotat d'una estructura diferent. En este cas les components es transformen en canviar de sistema de referència per mig del grup SL(2,C), isomorfo al grup espinorial Sp(3,1). Servixen per a representar cuadrivectorés del espai de Minkowski i s'usen en aplicacions relativistes, la seua estructura matemàtica usa una forma simpléctica que es pot relacionar en el producte intern associat a mètrica de Minkowski de ${ℝ}^4$. Novament eixe últim fet condiciona les propietats transformació de components baix canvis de referència. Este tipo de espinores és el més àmpliament usat en física i s'ampren en la mecànica quàntica relativista, millor conococida com teoria quàntica de camps.
• Espinores de Dirac o biespinores, són elements de l'espai vectorial ${ℂ}^2\times {ℂ}^2$ i, en realitat, no són estrictament un nou tipo de espinor ya que un espinor de Dirac realment equival a un parell de espinores de Weyl, raó per la qual a voltes se'ls crida biespionores.

Aixina, la diferència essencial dels vectores i els espinores de la física és cóm es transformen els seus components quan representem dit objecte en diferents bases vectorials. Aixina les components d'un mateix vector tridimensional expressades en dos bases vectorials diferents, es relacionen per mig d'una matriu de rotació o element del grup de Lie SO(3), mentres que les components d'un espinor es relacionen per mig d'una matriu que representa un element del grup SU(2) (en el cas de espinores de Pauli) o SL(2,C.

Matemàticament es podrien definir nous tipos de espinores pensant en les representacions fonamentals del grup espinoral Sp(n). De fet els dos tipos espinoriales bàsics de la física actual es basen en el grup de rotacions de l'espai euclídeo i el grup de transformacions de Lorentz de l'espai de Minkowski.

Vectores tridimensionals i espinores de Pauli

Açò implica, per eixemple que per al cas de espinores, quan es compon una seqüència de chicotetes rotacions (integrades) per a formar una rotació final general, la transformació del espinor resultant depén de la seqüència de rotacions chicotetes que s'hagen aplicat: al contrari que els vectores i els tensors, un espinor es transforma en el seu opost quan l'espai es gira contínuament a través d'un gir complet de 0° a 360° (vore l'image). Esta propietat caracterisa als espinores: es poden vore com les raïls quadrades dels vectores. En térmens rigorosos, un vector tridimensional ordinari es pot expressar com una combinació quadràtica de les components d'un espinor.

Cuadrivectores i espinores de Weyl

També és possible definir un tipo de espinor similar a l'anterior en un espai-temps de Minkowski, en el cas del qual les transformació de Lorentz de la teoria de la relativitat especial eixerciten el paper de les rotacions. Els espinores varen ser introduïts en geometria per Élie Cartan en 1913. En la década de 1920, els físics varen descobrir que els espinores són essencials per a descriure l'espin del electró i atres partícules subatòmiques. Els espinores es caracterisen per la forma específica en com es comporten davant les rotacions. Canvien de diferents maneres depenent no solament de la rotació final general, sino també dels detalls de cóm es va conseguir eixa rotació (per mig d'una trayectòria contínua en el grup ortogonal). Hi ha dos classes topológicamente distinguibles (homotópicas) de trayectòries a través de rotacions que donen com resultat la mateixa rotació general, com s'ilustra en el famós moviment de contorsión denominat truc del plat. Estes dos classes distintes produïxen transformacions espinoriales de signe opost. El grup espinorial és el grup de totes les rotacions que es mantenen en la classe. Recobrix doblement el grup de rotació, ya que cada rotació es pot obtindre de dos maneres desiguals com el punt final d'una ruta. L'espai dels espinores està equipat per definició en una representació llineal (complexa) del grup de espin, lo que significa que els elements del grup de espin actuantes són transformacions llineals en l'espai dels espinores, d'una manera que realment depén de la classe de homotopía. En térmens matemàtics, els espinores es descriuen per mig d'una representació proyectiva de doble valor del grup de rotació SO(3).

Encara que els espinores es poden definir purament com a elements d'un espai de representació del grup de espin (o el seu àlgebra de Lie de rotacions infinitesimals), típicament es definixen com a elements d'un espai vectorial que du associada una representació llineal del àlgebra de Clifford. L'àlgebra de Clifford és un àlgebra associativa que es pot construir a partir de l'espai euclidiano i el seu producte intern de forma independent de la base. Tant el grup d'espin com la seua àlgebra de Lie estan incrustats dins de l'àlgebra de Clifford de manera natural, i en les aplicacions, l'àlgebra de Clifford és a sovint el més fàcil de treballar. Despuix d'elegir una base ortonormal de l'espai euclídeo, es genera una representació de l'àlgebra de Clifford per mig de matrius gamma, matrius que satisfan un conjunt de relacions canòniques de anti-conmutación. Els espinores són els vectores columna sobre els que actuen estes matrius. En tres dimensions euclídeas, per eixemple, les matrius de Pauli és un conjunt de matrius gamma, i els vectores columna complexos de dos components sobre els que actuen estes matrius són espinores. No obstant, la representació matricial particular de l'àlgebra de Clifford, per lo que precisament constituïx un vector columna (o espinor), implica l'elecció de les matrius base i gamma d'una manera essencial. Com una representació del grup de espin, esta realisació dels espinores com vectores columna (complexos) serà irreducible si la dimensió és impar, o es descompondrà en un parell dels cridats semi-espin o representacions de Weyl si la dimensió és parell.