Espai-temps de Minkowski

Representació esquemàtica de l'espai de Minkowski, mostrant només dos de les tres dimensions espacials.

En física matemàtica, el espai de Minkowski (o espai-temps de Minkowski) és una varietat lorentziana de quatre dimensions i curvatura nula, usada per a descriure els fenomens físics en el marc de la teoria especial de la relativitat d'Einstein. El model va ser desenrollat pel matemàtic alemà Hermann Minkowski.

En l'espai de Minkowski poden distinguir-se tres dimensions espacials ordinàries i una dimensió temporal adicional, de tal manera que todos juntos formen una 4-varietat i aixina representar al espai-temps.

Definició

L'espai-temps de Minkowski és una varietat lorentziana de curvatura nula i isomorfa a ${ℳ}_0=({ℝ}^4,𝜼)$ a on el tensor mètric pot aplegar a escriure's en un sistema de coordenades cartesianes com:

O en forma matricial explícita, respecte a la mateixa base:

De totes maneres, és comuna renombrar les coordenades en térmens de les coordenades espacials i el temps usats en la mecànica newtoniana, és dir: $(x^0,x^1,x^2,x^3)\mapsto (ct,x,y,z)$, en la qual cosa el tensor mètric s'escriu simplement com:

Propietats

Contingut material

El tensor de curvatura de Riemann de l'espai-temps de Minkowski és idénticamente nul, raó per la qual es diu que l'espai-temps és pla. Aixina el restant de tensors i escalares de curvatura resulten nuls, sent també nul el tensor d'Einstein, que és igual al contingut material. Per tant, l'espai-temps de Minkowski representa un univers buit.

Físicament, l'espai-temps de Minkowski pot amprar-se com una aproximació local de l'espai-temps en regions raonablement chicotetes i en presència de matèria, sempre que esta no aplegue a gravitar per sí mateixa. Este fet queda recollit en el principi d'equivalència.

Geodèsiques

Qualsevol llínea recta constituïx una geodèsica, ya que el tensor de curvatura s'anula. Prenent coordenades cartesianes, les geodèsiques vénen donades simplement per:

Que corresponen a llínees rectes:

A on:

$(v_x,v_y,v_z)$ són les components de la velocitat d'una partícula.

$\tau$, és el temps propi de la partícula que viaja segons la geodèsica.

Grup d'isometría

El grup d'isometría de l'espai-temps de Minkowski és precisament el grup de Poincaré, que admet diversos subgrups, entre ells:

• El grup de Lorentz
• El grup de rotacions
• El grup de translacions que és isomorfo a ${ℝ}^4$, en particular qualsevol camp vectorial constant és un vector de Killing, que genera un grup uniparamétrico d'isometrías.