Grup de Poincaré

Henri Poincaré.

En física i matemàtica, el grup de Poincaré és el grup de Lie format pel conjunt de transformacions d'isometrías del espai-temps de Minkowski.

D'acort en el principi de covariancia tota equació de la teoria de la relativitat especial deu ser invariante baix transformacions que pertanyguen al grup de Poincaré. És dir, el grup de Poincaré es pot concebre com el grup maximal tal que deixa invariante totes les equacions de la relativitat especial. No obstant, en general el grup de Poincaré no eixercita cap paper important en teoria de la relativitat general, ya que el grup de transformacions que deixen invariante eixa teoria en general no inclou un subgrup homeomorfo al grup de Poincaré. El grup de Poincaré no obstant sí és important en la teoria quàntica de camps ordinària que no inclou els efectes de la gravitació, ya que eixa teoria es formula sobre l'espai-temps pla de Minkowski.

Representació matricial

El grup de Poincaré $𝒫$ és una extensió del grup de Lorentz $O(1,3)$, més concretament és el producte semidirecto en el grup de translacions de l'espai de Minkowski:

Per lo que qualsevol moment del grup de Poincaré pot representar-se com:

A on:

$({\Lambda }_{ij})$ són un conjunt de components matriciales que definixen un element del grup de Lorentz.

$(s_x,s_y,s_z)$ poden interpretar-se com un vector espacial, que permet incloure a les translacions espacials dins del grup.

$s_0$ pot interpretar-se com una "translació" temporal.

Propietats

• El grup de Poincaré és un grup de Lie no compacte 10-dimensional.
• D'acort en el programa de Erlangen la geometria de l'espai de Minkowski està definida pel grup de Poincaré.
• El grup de Poincaré conté al subgrup abeliano format per les translacions que ademés constituïxen un subgrup normal mentres que el grup de Lorentz és un subgrup, l'estabilisador d'un punt.
• De la propietat anterior se seguix que el grup de Poincaré és un producte semidirecto de les translacions i les transformacions de Lorentz.
• Els seus representacions irreducibles unitàries d'energia positiva s'indexen per dos paràmetros escalares, que en física es poden interpretar com la massa (número no negatiu) i l'espin (número entero o semientero), i s'associa a les partícules en mecànica quàntica.
• L'espai de Minkowski es considera com un espai homogéneu per al grup.

Vore també

• Classificació de Wigner
• Henri Poincaré
• Àlgebra de Lie Ortogonal Generalisada
• Més ràpit que la llum
• Anex:Glossari de relativitat