Covariancia de Lorentz

En física relativista, la simetria de Lorentz o invariancia de Lorentz, caracterisa l'equivalència entre observadors o simetria observacional d'acort en la teoria de la relativitat especial, que implica que les lleis de la física permaneixen iguals per a tot observador que s'estiga movent segons un sistema de referència inercial qualsevol. També s'ha descrit com "la característica de la naturalea per la que els resultats experimentals són independents de l'orientació o de la velocitat en la que es desplaça a través de l'espai el laboratori en el que es realisen els ensajos".^[1]

La covarianza de Lorentz, un concepte relacionat, és una propietat de la varietat espai-temps subjacent, que té dos significats distints pero estretament relacionats entre sí:

Es diu que un magnitut física és covariant de Lorentz si es transforma baix una representació donada del grup de Lorentz. Segons la teoria de la representació del grup de Lorentz, estes magnituts es construïxen a partir d'escalares, cuadrivectorés, cuadritensorés i espinorés. En particular, un escalar covariant de Lorentz (com per eixemple, un interval d'espai-temps) seguix sent el mateix baix transformacions de Lorentz i es diu que és un invariante de Lorentz (és dir, es transformen baix una representació trivial).
Es diu que una equació és covariant de Lorentz si es pot escriure en térmens de cantitats covariants de Lorentz (de manera confusa, alguns autors usen ací el terme invariante). La propietat clau de tals equacions és que si es complixen en un sistema inercial, llavors es complixen en qualsevol sistema inercial. Açò es deduïx del resultat de que si tots els components d'un tensor desapareixen en un marc de referència, també desapareixen en tots els marcs de referència. Esta condició és un requisit segons el principi de relativitat, és dir, totes les lleis que no siguen gravitatorias deuen fer les mateixes prediccions per a experiments idèntics que tenen lloc en el mateix event espai-temporal en dos sistemes de referència inerciales diferents.

En les varietats, les paraules covariant i contravariante es referixen a cóm els objectes es transformen baix transformacions de coordenades generals. Tant els cuadrivectores covariants com els contravariantes poden ser cantitats covariants de Lorentz.

La covarianza local de Lorentz, que es deduïx de la relativitat general, es referix a que la covarianza de Lorentz s'aplica solament localment en una regió infinitesimal de l'espai-temps en cada punt. Existix una generalisació d'este concepte per a cobrir la covarianza de Poincaré i la invariancia de Poincaré.

Propietats generals

La covariancia de Lorentz (i análogamente la contravariancia de Lorentz) o principi especial de la relativitat es referix a la propietat de certes equacions físicas de no canviar de forma baix canvis de coordenades d'un tipo particular, concretament és un requisit de la teoria especial de la relativitat que les lleis de la física tenen que prendre la mateixa forma en tots els marcs de referència inerciales.

El requeriment de covariancia de Lorentz afirma concretament que si dos observadorés $𝒪_{1}$ i $𝒪_{2}$ usen sistemes de coordenades $(t_{1}, x_{1}, y_{1}, z_{1})$ i $(t_{2}, x_{2}, y_{2}, z_{2})$ , tals que abdós sistemes són relacionables per una transformació de Lorentz, llavors qualssevol dos equacions que relacionen magnituts que presenten covariancia de Lorentz s'escriuran de la mateixa forma per a abdós observadors. El principi general de relativitat generalisa encara més este principi en estendre el requeriment a sistemes de referència totalment generals.

Covariancia de Lorentz i sistemes inerciales

En principi si un observador és inercial qualsevol un atre que use coordenades relacionades en les del primer per mig d'una transformació de Lorentz serà un observador inercial. Per lo tant, una magnitut, equació o expressió matemàtica que present covariancia de Lorentz respondrà a les mateixes "lleis" o equacions per a tots els sistemes inerciales.

És important notar, que si es comparen les mides d'un observador inercial en les d'un observador no inercial, la forma de les equacions serà diferent. Açò també es dona en la mecànica newtoniana a on l'estudi del moviment d'un cos vist des d'un sistema no-inercial requerix l'inclusió de forces fictícies, i per lo tant, les seues equacions per a explicar el moviment d'un mòvil conten en térmens adicionals sobre les que escriuria un observador inercial, i en conseqüència, les equacions del moviment no tenen la mateixa forma per a un observador inercial que per a un no inercial.

Covariancia generalisada i relativitat general

La covariancia de Lorentz és de fet un tipo d'invariancia de forma restringida o especial, d'ahí que la primera teoria de la relativitat construïda per Albert Einstein s'acabara cridant teoria de la relativitat restringida o especial.

El desig d'Albert Einstein de contar en una teoria les equacions de la qual tingueren la mateixa forma per a qualsevol tipo d'observador (siga este inercial o no inercial), li va dur a buscar equacions que presentaren el principi de covariancia, cosa que va conseguir generalisant la seua teoria en lo que després es va cridar teoria de la relativitat general.

Eixemples de magnituts covariants

En general, la naturalea (transformacional) d'un tensor de Lorentz es pot identificar per l'orde del seu tensor, que és el número d'índexs lliures que posseïx. Quan el tensor no té cap índex, implica que és un escalar; quan té un implica que és un vector; i aixina successivament. A continuació s'enumeren alguns tensors en una interpretació física.

En tot l'artícul s'utilisa el conveni de signes del espai-temps de Minkowski, que té la forma η= diag (1, −1, −1, −1).

Escalares

Espai-temps: $Δ s^{2} = Δ x^{a} Δ x^{b} η_{a b} = c^{2} Δ t^{2} - Δ x^{2} - Δ y^{2} - Δ z^{2}$
Temps propi (per a intervals d'espai-temps): $Δ τ = \sqrt{\frac{Δ s^{2}}{c^{2}}}, Δ s^{2} > 0$
Distància pròpia (per a intervals espai-temps): $L = \sqrt{- Δ s^{2}}, Δ s^{2} < 0$
Massa: $m_{0}^{2} c^{2} = P^{a} P^{b} η_{a b} = \frac{E^{2}}{c^{2}} - p_{x}^{2} - p_{y}^{2} - p_{z}^{2}$
Invariantes en electromagnetisme: $\begin{matrix} F_{a b} F^{a b} & = 2 (B^{2} - \frac{E^{2}}{c^{2}}) \\ G_{c d} F^{c d} & = \frac{1}{2} ϵ_{a b c d} F^{a b} F^{c d} = - \frac{4}{c} (\vec{B} \cdot \vec{E}) \end{matrix}$
D'Alembertiano/operador d'ona: $◻ = η^{μ ν} \partial_{μ} \partial_{ν} = \frac{1}{c^{2}} \frac{\partial^{2}}{\partial t^{2}} - \frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}} - \frac{\partial^{2}}{\partial y^{2}} - \frac{\partial^{2}}{\partial z^{2}}$

Cuadrivectores

Cuadridesplazamiento: $Δ X^{a} = (c Δ t, Δ \vec{x}) = (c Δ t, Δ x, Δ y, Δ z)$
Cuadriposición: $X^{a} = (c t, \vec{x}) = (c t, x, y, z)$
Cuadrigradiente: és la derivada parcial de les 4 dimensions:
$\partial^{a} = (\frac{\partial_{t}}{c}, - \vec{\nabla}) = (\frac{1}{c} \frac{\partial}{\partial t}, - \frac{\partial}{\partial x}, - \frac{\partial}{\partial y}, - \frac{\partial}{\partial z})$
Cuadrivelocidad: $U^{a} = γ (c, \vec{u}) = γ (c, \frac{d x}{d t}, \frac{d y}{d t}, \frac{d z}{d t})$
a on $U^{a} = \frac{d X^{a}}{d τ}$
Cuadrimomento: $P^{a} = (γ m c, γ m \vec{v}) = (\frac{E}{c}, \vec{p}) = (\frac{E}{c}, p_{x}, p_{y}, p_{z})$
a on $P^{a} = m U^{a}$ i $m$ és rest mass.
Cuadricorriente: $J^{a} = (c ρ, \vec{j}) = (c ρ, j_{x}, j_{y}, j_{z})$
a on $J^{a} = ρ_{o} U^{a}$
Cuadripotencial: $A^{a} = (\frac{ϕ}{c}, \vec{A}) = (\frac{ϕ}{c}, A_{x}, A_{y}, A_{z})$

Cuadritensores

Delta de Kronecker: $δ_{b}^{a} = {\begin{matrix} 1 & si a = b, \\ 0 & si a \neq b . \end{matrix}$
Espai-temps de Minkowski (la mètrica de l'espai pla segons la relativitat general): $η_{a b} = η^{a b} = {\begin{matrix} 1 & si a = b = 0, \\ - 1 & si a = b = 1, 2, 3, \\ 0 & si a \neq b . \end{matrix}$
Tensor de camp electromagnètic (usant el conveni de signes mètric + − − −): $F_{a b} = [\begin{matrix} 0 & \frac{1}{c} E_{x} & \frac{1}{c} E_{y} & \frac{1}{c} E_{z} \\ - \frac{1}{c} E_{x} & 0 & - B_{z} & B_{y} \\ - \frac{1}{c} E_{y} & B_{z} & 0 & - B_{x} \\ - \frac{1}{c} E_{z} & - B_{y} & B_{x} & 0 \end{matrix}]$
Dual del tensor del camp electromagnètic: $G_{c d} = \frac{1}{2} ϵ_{a b c d} F^{a b} = [\begin{matrix} 0 & B_{x} & B_{y} & B_{z} \\ - B_{x} & 0 & \frac{1}{c} E_{z} & - \frac{1}{c} E_{y} \\ - B_{y} & - \frac{1}{c} E_{z} & 0 & \frac{1}{c} E_{x} \\ - B_{z} & \frac{1}{c} E_{y} & - \frac{1}{c} E_{x} & 0 \end{matrix}]$

Referències

↑ Russell, Neil. «Framing Lorentz symmetry». CERN Courier.

Este artícul conté una traducció derivada de «Covariancia de Lorentz» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.

[1] Russell, Neil. «Framing Lorentz symmetry». CERN Courier.

[1]