Transformació de Lorentz

Archiu:Lorentz transforms 3.svg

Transformació de Lorentz

Archiu:Hendrik Antoon Lorentz.jpg

Hendrik Antoon Lorentz en 1921

Archiu:Lorentz transform of world line.gif

Diagrama 1. Apariència del espai-temps a lo llarc d'una llínea d'univers d'un observador accelerat.

La direcció vertical indica el temps, l'horisontal indica la distància espacial, la llínea punteada és la trayectòria de l'observador en l'espai temps. El quarto inferior representa el conjunt de successos passats visibles a l'observador. Els punts poden representar qualsevol tipo de successos en l'espai temps.

La pendent de la llínea d'univers o trayectòria de la vertical dona la velocitat relativa de l'observador.

Les transformacions de Lorentz, dins de la teoria de la relativitat especial, són un conjunt de relacions que donen conte de cóm es relacionen les mides d'una magnitut física obtingudes per dos observadorés diferents. Estes relacions varen establir la base matemàtica de la teoria de la relativitat especial d'Einstein, ya que les transformacions de Lorentz precisen el tipo de geometria del espai-temps requerides per la teoria d'Einstein.

Matemàticament el conjunt de totes les transformacions de Lorentz formen el grup de Lorentz.

Història

Vore també: Història de la Relativitat Especial

Històricament les transformacions de Lorentz varen ser introduïdes per Hendrik Antoon Lorentz (1853 - 1928), que les havia introduït fenoménicamente per a resoldre certes inconsistencias entre l'electromagnetisme i la mecànica clàssica. Lorentz havia descobert en l'any 1900 que les equacions de Maxwell resultaven invariantes baix este conjunt de transformacions, ara denominades transformacions de Lorentz. De la mateixa manera que els demés físics, abans del desenroll de la teoria de la relativitat, assumia que la velocitat invariante per a la transmissió de les ones electromagnètiques es referia a la transmissió a través d'un sistema de referència privilegiat, fet que es coneix en el nom d'hipòtesis de l'éter. No obstant, despuix de l'interpretació per part d'Albert Einstein de dites relacions com a transformacions de coordenades genuïnes en un espai-temps tetradimensional l'hipòtesis de l'éter va ser posada en dubte.

Les transformacions de Lorentz varen ser publicades en 1904 pero el seu formalisme matemàtic inicial era incorrecte. El matemàtic francés Poincaré va desenrollar el conjunt d'equacions en la forma consistent en la que es coneixen hui en dia. Els treballs de Minkowski i Poincaré varen mostrar que les relacions de Lorentz podien interpretar-se com les fòrmules de transformació per a rotació en l'espai-temps cuatridimensional, que havia segut introduït per Minkowski.

Forma de les transformacions de Lorentz

Les transformacions de Lorentz relacionen les mides d'una magnitut física realisades per dos observadorés inerciales diferents, sent l'equivalent relativiste de la transformació de Galileo utilisada en física fins a aquell llavors.

La transformació de Lorentz permet preservar el valor de la velocitat de la llum constant per a tots els observadors inerciales.

De les coordenades

Una de les conseqüències de que —a diferència de lo que succeïx en la mecànica clàssica— en mecànica relativista no existixca un temps absolut, és que tant l'interval de temps entre dos successos, com les distàncies efectives mides per diferents observadors en diferents estats de moviment són diferents. Això implica que les coordenades de temps i espai medides per dos observadors inerciales diferixquen entre sí. No obstant, per l'objectivitat de la realitat física les mides d'uns i uns atres observadors són relacionables per regles fixes: les transformacions de Lorentz per a les coordenades.

Per a examinar la forma concreta que prenen estes transformacions de les coordenades es consideren dos sistemes de referència inerciales o observadors inerciales: $O$ i $\overline{O}$ i se supon que cada u d'ells representa un mateix succés S o punt de l'espai-temps (representable per un instant de temps i tres coordenades espacials) per dos sistemes de coordenades diferents:

$S_O=(t,x,y,z)S_{\overline{O}}=(\overline{t},\overline{x},\overline{y},\overline{z})$

ya que els dos conjunts de quatre coordenades representen el mateix punt de l'espai-temps, estes deuen ser relacionables d'algun modo. Les transformacions de Lorentz diuen que si el sistema $\overline{O}$ està en moviment uniforme a velocitat $V$ a lo llarc de l'eix X del sistema $O$ i en l'instant inicial ($t=\overline{t}=0$) l'orige de coordenades d'abdós sistemes coincidixen, llavors les coordenades atribuïdes pels dos observadors estan relacionades per les següents expressions:

O equivalentemente per les relacions inverses de les anteriors:

A on $c$ és la velocitat de la llum en el buit. Les relacions anteriors es poden escriure també en forma matricial:

A on s'ha introduït per a abreviar les expressions el factor de Lorentz i la velocitat relativa respecte de la llum:

$\gamma =\frac{1}{\sqrt{1-\frac{V^2}{c^2}}}\beta =\frac{V}{c}$

La transformació de Lorentz anterior pren eixa forma suponent que l'orige de coordenades d'abdós sistemes de referència siga el mateix per a t = 0; si s'elimina esta restricció la forma concreta de les equacions es complica. Si, ademés, s'elimina la restricció de que la velocitat relativa entre els dos sistemes es done segons l'eix X i que els eixos d'abdós sistemes de coordenades siguen paralels, les expressions de la transformació de Lorentz es compliquen més encara, denominant-se l'expressió general transformació de Poincaré.

Per al moment i l'energia

El requeriment de covariancia de la teoria de la relativitat requerix que qualsevol magnitut vectorial de la mecànica newtoniana venja representada en mecànica relativista per un cuadrivector o cuadritensor en teoria de la relativitat. Aixina, el moment llineal requerix ser ampliat a un cuadrivector cridat cuadrivector energia-moment o cuadrimomento, que ve dau per quatre components, una component temporal (energia) i tres components espacials (moments llineals en cada direcció coordenada):

$𝐏=(P^0,P^1,P^2,P^3)=(\frac{E}{c},p_x,p_y,p_z)$

Quan s'examina els cuadrimomentos medits per dos observadors inerciales, es troba que abdós medixen components diferents del moment segons la seua velocitat relativa a la partícula observada (alguna cosa que també succeïx en mecànica newtoniana). Si es denota al cuadrimomento medit per dos observadors inerciales $O$ i $\overline{O}$ en sistemes de coordenades cartesianes d'eixos paralels i en moviment relatiu segons l'eix X, com els que es varen considerar en l'apartat anterior, els cuadrimomentos medits per abdós observadors estan relacionats per una transformació de Lorentz donada per:

${\overline{p}}_x=\frac{p_x-E\frac{V}{c^2}}{\sqrt{1-\frac{V^2}{c^2}}}\overline{E}=\frac{E-V{p}_x}{\sqrt{1-\frac{V^2}{c^2}}}{\overline{p}}_y=p_y{\overline{p}}_z=p_z$

I la transformació inversa ve donada similarment per:

$p_x=\frac{{\overline{p}}_x+\overline{E}\frac{V}{c^2}}{\sqrt{1-\frac{V^2}{c^2}}}E=\frac{\overline{E}+V{\overline{p}}_x}{\sqrt{1-\frac{V^2}{c^2}}}{p}_y={\overline{p}}_y{p}_z={\overline{p}}_z$

O equivalentemente en forma matricial els dos conjunts anteriors d'equacions es representen com:

$\left[\begin{array}{c}\overline{E}/c\\ {\overline{p}}_x\\ {\overline{p}}_y\\ {\overline{p}}_z\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc}\gamma & -\beta \gamma & 0& 0\\ -\beta \gamma & \gamma & 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}E/c\\ p_x\\ p_y\\ p_z\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}E/c\\ p_x\\ p_y\\ p_z\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc}\gamma & \beta \gamma & 0& 0\\ \beta \gamma & \gamma & 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\overline{E}/c\\ {\overline{p}}_x\\ {\overline{p}}_y\\ {\overline{p}}_z\end{array}\right]$

A on s'ha introduït de nou per a abreviar les expressions el factor de Lorentz i la velocitat relativa respecte de la llum.

Per a cuadrivectores

Fins ara s'ha considerat només sistemes inerciales en moviment relatiu respecte a l'eix X, pero igualment es podria haver considerat sistemes d'eixos paralels respecte als eixos I i Z i, en eixe cas, les matrius de transformació de coordenades vindrien donades per matrius similars a les considerades en els apartats anteriors de la forma:

${\Lambda }_{(X)}=\left[\begin{array}{cccc}{\gamma }_x& -{\beta }_x{\gamma }_x& 0& 0\\ -{\beta }_x{\gamma }_x& {\gamma }_x& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]{\Lambda }_{(Y)}=\left[\begin{array}{cccc}{\gamma }_y& 0& -{\beta }_y{\gamma }_y& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ -{\beta }_y{\gamma }_y& 0& {\gamma }_y& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]{\Lambda }_{(Z)}=\left[\begin{array}{cccc}{\gamma }_z& 0& 0& -{\beta }_z{\gamma }_z\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ -{\beta }_z{\gamma }_z& 0& 0& {\gamma }_z\end{array}\right][*]$

Les transformacions anteriors es diuen a voltes boosts, rotacions espai-temporals o a voltes transformacions de Lorentz pròpiament dites. El producte de qualsevol número de transformacions del tipo anterior constituïx també una transformació de Lorentz. Tots eixos productes conformen un subgrup del grup de Lorentz propi. En general el grup de Lorentz propi està format per:

• Rotacions espai-temporals o boosts, que poden escriure's com el producte d'un número finito de boosts del tipo $[*]$.
• Rotacions espacials, consistents en un gir d'eixos. Este tipo de transformació també forma part del grup de Galileo.

El grup de Lorentz propi aixina definit és un grup de Lie conexo. Si a estes transformacions pròpies se li afigen transformacions impròpies com les inversions temporals i les reflexions espacials resulta el grup de Lorentz complet, format per quatre components conexas cada una d'elles homeomorfa al grup de Lorentz propi. Una volta definit el grup de Lorentz podem escriure les transformacions llineals més generals possibles entre mides preses per observadors inerciales els eixos dels quals de coordenades coincidixen en l'instant inicial:

$\left[\begin{array}{c}{\overline{V}}^0\\ {\overline{V}}^1\\ {\overline{V}}^2\\ {\overline{V}}^3\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc}& & & \\ & & R({\theta }_1,{\theta }_2,{\theta }_3)& \\ & & & \\ & & & \end{array}\right]\left[\begin{array}{cccc}\gamma & -\gamma \beta & 0& 0\\ -\gamma \beta & \gamma & 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{cccc}& & & \\ & & R({\phi }_1,{\phi }_2,{\phi }_3)& \\ & & & \\ & & & \end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{V}^0\\ V^1\\ V^2\\ V^3\end{array}\right]$

A on ademés del boost que dona la transformació de coordenades segons la velocitat de separació relativa s'han inclós les dos rotacions en térmens dels ànguls de Euler:

• La matriu $R({\phi }_1,{\phi }_2,{\phi }_3)$ alinea el primer sistema de coordenades de tal manera que l'eix X transformat passe a ser paralel a la velocitat de separació dels dos sistemes.
• La matriu $R({\theta }_1,{\theta }_2,{\theta }_3)$ és la rotació inversa de la que alinearia l'eix X del segon observador en la velocitat de separació.

En forma més compacta podem escriure l'última transformació en forma tensorial usant el conveni de sumación d'Einstein com:

${\overline{V}}^{\alpha }={\Lambda }_{\beta }^{\alpha }{V}^{\beta }{\Lambda }_{\beta }^{\alpha }:={[R(\theta )]}_{\rho }^{\alpha }[{\Lambda }_{(X)}{]}_{\sigma }^{\rho }{[R(\phi )]}_{\beta }^{\sigma }$

Forma tensorial general

Supongam ara que en lloc de medir magnituts vectorials dos observadors es posen a medir les components d'alguna atra magnitut tensorial, supongam que els observadors $O$ i $\overline{O}$ medixen en els seus sistemes de coordenades la mateixa magnitut tensorial pero cada u des del seu propi sistema de coordenades aplegant a:

${𝐓}_O=T_{{\beta }_1\mathrm{...}{\beta }_n}^{{\alpha }_1,\mathrm{...}{\alpha }_m}\frac{\partial }{\partial x^{{\alpha }_1}}\otimes \mathrm{...}\frac{\partial }{\partial x^{{\alpha }_m}}\otimes d{x}^{{\beta }_1}\otimes \mathrm{...}\otimes d{x}^{{\beta }_n}$

${𝐓}_{\overline{O}}={\overline{T}}_{{\beta }_1\mathrm{...}{\beta }_n}^{{\alpha }_1,\mathrm{...}{\alpha }_m}\frac{\partial }{\partial {\overline{x}}^{{\alpha }_1}}\otimes \mathrm{...}\frac{\partial }{\partial {\overline{x}}^{{\alpha }_m}}\otimes d{\overline{x}}^{{\beta }_1}\otimes \mathrm{...}\otimes d{\overline{x}}^{{\beta }_n}$

El postulat de que existix una realitat objectiva independent dels observadors i que les mides d'estos poden ser comparades per mig de les transformacions de covariancia adequades conduïx a que si estos observadors són inerciales les seues mides estaran relacionades per les següents relacions:

${\overline{T}}_{{\beta }_1\mathrm{...}{\beta }_n}^{{\alpha }_1,\mathrm{...}{\alpha }_m}={[{\Lambda }^T]}_{{\beta }_1}^{\beta {\text{'}}_1}\mathrm{...}{[{\Lambda }^T]}_{{\beta }_n}^{\beta {\text{'}}_n}[\Lambda {]}_{\alpha {\text{'}}_1}^{{\alpha }_1}\mathrm{...}[\Lambda {]}_{\alpha {\text{'}}_m}^{{\alpha }_m}{T}_{\beta {\text{'}}_1\mathrm{...}\beta {\text{'}}_n}^{\alpha {\text{'}}_1,\mathrm{...}\alpha {\text{'}}_m}$

A on les matrius Λ es definixen, de la mateixa manera que l'apartat anterior per mig del producte de dos rotacions espacials i una rotació temporal (boost) simple.