Teoria de la relativitat

Teoria de la relativitat

Impressió d'un artiste sobre la teoria de la relativitat.

La teoria de la relativitat inclou tant a la teoria de la relativitat especial com la de la relativitat general, formulades principalment per Albert Einstein a principis de el XX, que pretenien resoldre l'incompatibilitat existent entre la mecànica newtoniana i l'electromagnetisme.

La teoria de la relativitat especial, publicada en 1905, tracta de la física del moviment dels cossos en absència de forces gravitatorias, en el que es feyen compatibles les equacions de Maxwell de l'electromagnetisme en una reformulación de les lleis del moviment. En la teoria de la relativitat especial, Einstein, Lorentz i Minkowski, entre uns atres, varen unificar els conceptes d'espai i temps, en un tramat tetradimensional al que se li va denominar espai-temps. La relativitat especial va ser una teoria revolucionària per a la seua época, en la que el temps absolut de Newton va quedar relegat i conceptes com la invariabilidad en la velocitat de la llum, la dilatació del temps, la contracció de la llongitut i l'equivalència entre massa i energia varen ser introduïts. Ademés, en les formulació de la relativitat especial, les lleis de la Física són invariantes en tots els sistemes de referència inerciales; com a conseqüència matemàtica, es troba com a llímit superior de velocitat a la de la llum i s'elimina la causalitat determinista que tenia la física fins a llavors. Cal indicar que les lleis del moviment de Newton són un cas particular d'esta teoria a on la massa, en viajar a velocitats molt menudes, no experimenta variació alguna en llongitut ni es transforma en energia i al temps se li pot considerar absolut.

La teoria de la relativitat general, publicada en 1915, és una teoria de la gravetat que reemplaça a la gravetat newtoniana, encara que coincidix numèricament en ella para camps gravitatorios dèbils i velocitats «menudes». La teoria general es reduïx a la teoria especial en absència de camps gravitatorios. La relativitat general estudia l'interacció gravitatoria com una deformació en la geometria del espai-temps. En esta teoria s'introduïxen els conceptes de la curvatura de l'espai-temps com la causa de l'interacció gravitatoria, el principi d'equivalència que diu que para tots els observadors locals inerciales les lleis de la relativitat especial són invariantes i l'introducció del moviment d'una partícula per llínees geodèsicas. La relativitat general no és l'única teoria que descriu l'atracció gravitatoria, pero és la que més senyes rellevants comprobables ha trobat. Anteriorment, a l'interacció gravitatoria li la descrivia matemàticament per mig d'una distribució de massas, pero en esta teoria no solament la massa percep esta interacció, sino també l'energia, per mig de la curvatura de l'espai-temps i per això es necessita un atre llenguage matemàtic per a poder descriure-la, el càlcul tensorial. Molts fenomens, com la curvatura de la llum per acció de la gravetat i la desviació en l'òrbita de Mercurio, són perfectament predits per esta formulació. La relativitat general també va obrir un atre camp d'investigació en la física, conegut com cosmologia i és àmpliament utilisat en l'astrofísica.

El 7 de març de 2010, l'Acadèmia Israelita de Ciències va exhibir públicament els manuscrits originals d'Einstein (redactats en 1905). El document, que conté 46 pàgines de texts i fòrmules matemàtiques escrites a mà, va ser donado per Einstein a l'Universitat Hebrea de Jerusalem en 1925 en motiu de la seua inauguració.

Conceptes principals

Artícul principal → Anex:Glossari de relativitat.

El supòsit bàsic de la teoria de la relativitat és que la localisació dels successos físics, tant en el temps com en l'espai, són relatius a l'estat de moviment del observador: aixina, la llongitut d'un objecte en moviment o l'instant en que alguna cosa succeïx, a diferència de lo que succeïx en mecànica newtoniana, no són invariantes absoluts, i diferents observadors en moviment relatiu entre sí diferiran respecte a ells (les llongituts i els intervals temporals, en relativitat són relatius i no absoluts).

Relativitat especial

AP

La teoria de la relativitat especial, també cridada teoria de la relativitat restringida, va ser publicada per Albert Einstein en 1905 i descriu la física del moviment en el marc d'un espai-temps pla. Esta teoria descriu correctament el moviment dels cossos inclús a grans velocitats i les seues interaccions electromagnètiques, s'usa bàsicament per a estudiar sistemes de referència inerciales (no és aplicable per a problemes astrofísics a on el camp gravitatorio eixercita un paper important).

Estos conceptes varen ser presentats anteriorment per Poincaré i Lorentz, que són considerats com a precursors de la teoria. Si be la teoria resolia un bon número de problemes de l'electromagnetisme i donava una explicació del experiment de Michelson i Morley, no proporciona una descripció relativista adequada del camp gravitatorio.

Despuix de la publicació de l'artícul d'Einstein, la nova teoria de la relativitat especial va ser acceptada en uns pocs anys per pràcticament la totalitat dels físics i els matemàtics. De fet, Poincaré o Lorentz havien estat molt prop d'aplegar al mateix resultat que Einstein. La forma geomètrica definitiva de la teoria es deu a Hermann Minkowski, antic professor d'Einstein en la Politècnica de Zuric; va falcar el terme «espai-temps» (Raumzeit) i li va donar la forma matemàtica adequada. l'espai-temps de Minkowski és una varietat tetradimensional en la que s'entrellaçaven d'una manera indisoluble les tres dimensions espacials i el temps. En este espai-temps de Minkowski, el moviment d'una partícula es representa per mig de la seua llínea d'univers (Weltlinie), una curva els punts de la qual vénen determinats per quatre variables distintes: les tres dimensions espacials ($x$, $y$, $z$) i el temps ($t$). El nou esquema de Minkowski va obligar a reinterpretar els conceptes de la mètrica existents fins a llavors. El concepte tridimensional de punt va ser substituït pel de succés. La magnitut de distància es reemplaça per la magnitut de interval.

Formalisme de la teoria de la relativitat

Archiu:Lineamundo. caps block 11

Representació de la llínea d'univers d'una partícula. Com no és possible reproduir un espai-temps de quatre dimensions, en la figura es representa solament la proyecció sobre 2 dimensions espacials i una temporal.

Partícules

En la teoria de la relativitat una partícula puntual queda representada per un parell $(\gamma (\tau ),m)$, a on $\gamma (\tau )$ és una curva diferenciable, cridada llínea d'univers de la partícula, i m és un escalar que representa la massa en repòs. El vector tangente a esta curva és un vector temporal cridat cuadrivelocidad, el producte d'este vector per la massa en repòs de la partícula és precisament el cuadrimomento. Este cuadrimomento és un vector de quatre components, tres d'estes components es denominen espacials i representen l'anàlec relativiste del moment llineal de la mecànica clàssica, l'atra component denominada component temporal representa la generalisació relativista de l'energia cinètica. Ademés, donada una curva arbitrària en l'espai-temps, pot definir-se a lo llarc d'ella el cridat interval relativiste, que s'obté a partir del tensor mètric. L'interval relativiste medit a lo llarc de la trayectòria d'una partícula és proporcional a l'interval de temps propi o interval de temps percebut per dita partícula.

Campos

Quan es consideren camps o distribucions contínues de massa, es necessita algun tipo de generalisació per a la noció de partícula. Un camp físic posseïx momentum i energia distribuïts en l'espai-temps, el concepte de cuadrimomento es generalisa per mig del cridat tensor d'energia-impulse que representa la distribució en l'espai-temps tant d'energia com de moment llineal. A la seua volta un camp depenent de la seua naturalea pot representar-se per un escalar, un vector o un tensor. Per eixemple el camp electromagnètic es representa per un tensor de segon orde totalment antisimètric o 2-forma. Si es coneix la variació d'un camp o una distribució de matèria, en l'espai i en el temps llavors existixen procediments per a construir el seu tensor d'energia-impulse.

Magnituts físiques

En relativitat, estes magnituts físiques són representades per vectores 4-dimensionals o be per objectes matemàtics cridats tensors, que generalisen els vectores, definits sobre un espai de quatre dimensions. Matemàticament estos 4-vectores i 4-tensors són elements definits del espai vectorial tangente al espai-temps (i els tensors es definixen i es construïxen a partir del fibrado tangente o cotangente de la varietat que representa l'espai-temps).

Correspondència entre E3 i M4

Espai tridimensional euclídeo	Espai-temps de Minkowski
Punt	Succés
Llongitut	Interval
Velocitat	Cuadrivelocidad
Momentum	Cuadrimomentum

Igualment ademés de cuadrivectorés, es definixen cuadritensores (tensors ordinaris definits sobre el fibrado tangente de l'espai-temps concebut com varietat lorentziana). La curvatura de l'espai-temps es representa per un 4-tensor (tensor de quart orde), mentres que l'energia i el moment d'un mig continu o el camp electromagnètic es representen per mig de 2-tensors (simètric el tensor d'energia-impulse, antisimètric el de camp electromagnètic). Els cuadrivectores són, de fet, 1-tensors, en esta terminologia. En este context es diu que una magnitut és un invariante relativiste si té el mateix valor per a tots els observadorés, òbviament tots els invariantes relativistes són escalares (0-tensors), freqüentment formats per la contracció de magnituts tensoriales.

L'interval relativiste

L'interval relativiste pot definir-se en qualsevol espai-temps, siga este pla com en la relativitat especial, o curve com en relativitat general. No obstant, per simplicitat, discutirem inicialment el concepte d'interval per al cas d'un espai-temps pla. El tensor mètric del espai-temps pla de Minkowski es designa en la lletra ${\eta }_{ij}$, i en coordenades galileanas o inerciales pren la següent forma:

El interval, la distància tetradimensional, es representa per mig de l'expressió $d{s}^2$, que es calcula del següent modo:

Reproducció d'un con de llum, en el que es representen dos dimensions espacials i una temporal (eix d'ordenades). L'observador se situa en l'orige, mentres que el futur i el passat absoluts vénen representats per les parts inferior i superior de l'eix temporal. El pla corresponent a t = 0 es denomina pla de simultaneidad o hipersuperficie de present (també cridat «diagrama de Minkowski»). Els successos situats dins dels cons estan vinculats a l'observador per intervals temporals. Els que se situen fòra, per intervals espacials.

Els intervals poden ser classificats en tres categories: Intervals espacials (quan $d{s}^2$ és negatiu), temporals (si $d{s}^2$ és positiu) i nuls (quan $d{s}^2=0$). Com el llector haurà pogut comprovar, els intervals nuls són aquells que corresponen a partícules que es mouen a la velocitat de la llum, com els fotons: La distància $d{l}^2$ recorreguda pel fotó és igual a la seua velocitat (c) multiplicada pel temps $dt$ i per lo tant l'interval $d{s}^2=c^{2}d{t}^2-d{l}^2$ es fa nul.

Els intervals nuls poden ser representats en forma de con de llum, popularisats pel celebérrimo llibre de Stephen Hawking, Breu Història del Temps. Siga un observador situat en l'orige, el futur absolut (els successos que seran percebuts per l'individu) es desplega en la part superior de l'eix d'ordenades, el passat absolut (els successos que ya han segut percebuts per l'individu) en la part inferior, i el present percebut per l'observador en el punt 0. Els successos que estan fòra del con de llum no nos afecten, i per lo tant es diu d'ells que estan situats en zones de l'espai-temps que no tenen relació de causalitat en la nostra.

Imaginem, per un moment, que en la galàxia Andrómeda, situada a 2.5 millons d'anys llum de nosatres, va succeir un cataclisme còsmic fa 100 000 anys. Ya que, primer: la llum de Andrómeda tarda 2 millons d'anys en aplegar fins a nosatres i segon: res pot viajar a una velocitat superior a la dels fotons, és evident, que no tenim manera d'enterar-nos de lo que va succeir en dita Galàxia fa tan sol 100 000 anys. Es diu, per lo tant, que l'interval existent entre dita hipotètica catàstrofe còsmica i nosatres, observadors del present, és un interval espacial ($d{s}^2<0$), i per lo tant, no pot afectar als individus que en el present viuen en la Terra: És dir, no existix relació de causalitat entre eixe event i nosatres.

Image de la galàxia Andrómeda, presa pel telescopi Spitzer, tal com era fa 2.5 millons d'anys (per estar situada a 2.5 millons d'anys llum). Els successos ocorreguts 1 000 000 d'anys arrere s'observaran des de la Terra dins d'un milló i mig d'anys. Es diu, per tant, que entre tals events i nosatres existix un interval espacial.

Anàlisis

L'únic problema en esta hipòtesis, és que en entrar en un forat negre, s'anula l'espai-temps, i com ya sabem, alguna cosa que continga algun volum o massa, deu tindre com a mínim un espai a on ubicar-se, el temps en eixe cas, no té major importància, pero l'espai juga un rol molt important en l'ubicació de volums, per lo que açò resulta molt improvable, pero no impossible per a la tecnologia.

Podem triar un atre episodi històric encara més ilustrativo: El de l'estrela de Belén, tal i com va ser interpretada per Johannes Kepler. Este astrònom alemà considerava que dita estrela s'identificava en una supernova que va tindre lloc l'any 5 a. C., la llum del qual va ser observada pels astrònoms chinencs contemporàneus, i que va vindre precedida en els anys anteriors per vàries conjuncions planetàries en la constelació de Piscis. Eixa supernova provablement va esclatar mils d'anys arrere, pero la seua llum no va aplegar a la Terra sino fins a l'any 5 a. C. D'ahí que l'interval existent entre dit event i les observacions dels astrònoms egipcíacs i megalítics (que varen tindre lloc varis sigles abans de Crist) siga un interval espacial, puix la radiació de la supernova mai va poder aplegar-los. Pel contrari, l'explosió de la supernova per un costat, i les observacions realisades pels tres macs en Babilonia i pels astrònoms chinencs en l'any 5 a. C. per l'atre, estan unides entre sí per un interval temporal, ya que la llum sí va poder alcançar a dits observadors.

El temps propi i l'interval es relacionen per mig de la següent equivalència:$cd\tau =ds$, és dir, l'interval és igual al temps local multiplicat per la velocitat de la llum. Una de les característiques tant del temps local com de l'interval és el seu invarianza davant les transformacions de coordenades. Siga com siga el nostre punt de referència, siga com siga nostra velocitat, l'interval entre un determinat event i nosatres permaneix invariante.

Esta invarianza s'expressa a través de l'anomenada geometria hiperbòlica: L'equació de l'interval $ds$ té l'estructura d'una hipérbola sobre quatre dimensions, el terme independent de les quals coincidix en el valor del quadrat de l'interval ($d{s}^2=d{t}^2-d{l}^2$), que com s'acaba de dir en el paràgraf anterior, és constant. Les asíntotes de l'hipérbola vindrien a coincidir en el con de llum.

Cuadrivelocidad, acceleració i cuadrimomentum

Artícul principal → cuadrivelocidad.

En l'espai-temps de Minkowski, les propietats cinemàtiques de les partícules es representen fonamentalment per tres magnituts: La cuadrivelocidad (o tetravelocidad), la cuadriaceleración i el cuadrimomentum (o tetramomentum).

La cuadrivelocidad és un cuadrivector tangente a la llínea d'univers de la partícula, relacionada en la velocitat coordenada d'un cos medida per un observador en repòs qualsevol, esta velocitat coordenada es definix en l'expressió newtoniana $d{x}^i/dt$, a on $(t,x^1,x^2,x^3)$ són el temps coordenado i les coordenades espacials mides pel observador, per al qual la velocitat newtoniana ampliada vindria donada per $(1,v^1,v^2,v^3)$. No obstant, esta mida newtoniana de la velocitat no resulta útil en teoria de la relativitat, perque les velocitats newtonianas mides per diferents observadors no són fàcilment relacionables per no ser magnituts covariants. Aixina en relativitat s'introduïx una modificació en les expressions que donen conte de la velocitat, introduint un invariante relativiste. Este invariante és precisament el temps propi de la partícula que és fàcilment relacionable en el temps coordenado de diferents observadors. Usant la relació entre temps propi i temps coordenado: $dt=\gamma d\tau$ es definix la cuadrivelocidad [pròpia] multiplicant per $\gamma$ les de la velocitat coordenada: $u^{\alpha }=v^{\alpha }\gamma =d{x}^i/d\tau$.

La velocitat coordenada d'un cos en massa depén caprichosamente del sistema de referència que triem, mentres que la cuadrivelocidad pròpia és una magnitut que es transforma d'acort en el principi de covariancia i té un valor sempre constant equivalent a l'interval dividit entre el temps propi ($ds/d\tau$), o lo que és lo mateix, a la velocitat de la llum c. Per a partícules sense massa, com els fotons, el procediment anterior no es pot aplicar, i la cuadrivelocidad pot definir-se simplement com a vector tangente a la trayectòria seguida pels mateixos.

La cuadriaceleración pot ser definida com la derivada temporal de la cuadrivelocidad ($a^i=d{u}^i/d\tau$). La seua magnitut és igual a zero en els sistemes inerciales, les llínees dels quals del món són geodèsiques, rectes en l'espai-temps pla de Minkowski. Pel contrari, les llínees del món curvades corresponen a partícules en acceleració diferent de zero, a sistemes no inerciales.

Junt en els principis de invarianza de l'interval i la cuadrivelocidad, juga un paper fonamental la llei de conservació del cuadrimomentum. És aplicable ací la definició newtoniana del momentum $(\overrightarrow{p}=\mu \overrightarrow{u})$ com la massa (en este cas conservada, $\mu$) multiplicada per la velocitat (en este cas, la cuadrivelocidad), i per lo tant els seus components són els següents: $(m,p^1,p^2,p^3)$, tenint en conte que $m=\mu \gamma$. La cantitat de momentum conservat és definida com la raïl quadrada de la norma del vector de cuadrimomentum. El momentum conservat, de la mateixa manera que l'interval i la cuadrivelocidad pròpia, permaneix invariante davant les transformacions de coordenades, encara que també ací cal distinguir entre els cossos en massa i els fotons. En els primers, la magnitut del cuadriomentum és igual a la massa multiplicada per la velocitat de la llum $(|p|=\mu c)$. Pel contrari, el cuadrimomentum conservat dels fotons és igual a la magnitut de la seua momentum tridimensional $(|p|=p)$.

Com tant la velocitat de la llum com el cuadrimomentum són magnituts conservades, també ho és el seu producte, al que se li dona el nom de energia conservada $(E_{con}=|p|c)$, que en els cossos en massa equival a la massa multiplicada per la velocitat de la llum al quadrat ($E_{con}=\mu c^2$, la famosa fòrmula d'Einstein) i en els fotons al momentum multiplicat per la velocitat de la llum $(E_{con}=pc)$:

Components $\to (p^0,p^1,p^2,p^3)\to (\mu \gamma ,\mu v^1\gamma ,\mu v^2\gamma ,\mu v^3\gamma )\to (m,p^1,p^2,p^3)$
Magnitut del cuadrimomentum $\to |p|=\sqrt{\overrightarrow{p}\cdot \overrightarrow{p}}=\sqrt{m^2{c}^2-p^2}=\sqrt{\frac{E^2}{c^2}-p^2}$

Magnitut en cossos en massa $\to |p|=\sqrt{\overrightarrow{p}\cdot \overrightarrow{p}}=m\sqrt{\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{u}}=\mu c$
Magnitut en fotons (massa = 0) $\to |p|=\sqrt{\overrightarrow{p}\cdot \overrightarrow{p}}=\sqrt{m^2{c}^2-p^2}=\sqrt{p^2}=p$

Energia $\to E_{con}=c|p|=c\sqrt{\overrightarrow{p}\cdot \overrightarrow{p}}=\sqrt{E^2-p^2{c}^2}$

Energia en cossos en massa (cossos en repòs, p=0) $\to E_{con}=\sqrt{m^2{c}^4-p^2{c}^2}\to E_{con}=m{c}^2$
Energia en fotons (massa en repòs = 0) $\to E_{con}=\sqrt{m^2{c}^4-p^2{c}^2}=\sqrt{p^2{c}^2}=pc$

L'aparició de la Relativitat Especial va posar fi a la secular disputa que mantenien en el sí de la mecànica clàssica les escoles dels mecanicistas i els energetistas. Els primers sostenien, seguint a Descartes i Huygens, que la magnitut conservada en tot moviment venia constituïda pel momentum total del sistema, mentres que els energetistas —que prenien per base els estudis de Leibniz— consideraven que la magnitut conservada venia conformada per la suma de dos cantitats: La força viva, equivalent a la mitat de la massa multiplicada per la velocitat al quadrat ($\frac{1}{2}m{v}^2$) a la que hui denominaríem «energia cinètica», i la força morta, equivalent a l'altura per la constant g ($hg$), que correspondria a la «energia potencial». Va ser el físic alemà Hermann von Helmholtz el que primer va donar a la forces leibnizianas la denominació genèrica de energia i el que va formular la Llei de conservació de l'energia, que no es restringix a la mecànica, que s'estén també a atres disciplines físiques com la termodinàmica.

La mecànica newtoniana va donar la raó a abdós postulats, afirmant que tant el momentum com l'energia són magnituts conservades en tot moviment somés a forces conservativas. No obstant, la Relativitat Especial va donar un pas més allà, por cuanto a partir dels treballs d'Einstein i Minkowski el momentum i l'energia varen deixar de ser considerats com a entitats independents i se'ls va passar a considerar com dos aspectes, dos facetes d'una única magnitut conservada: el cuadrimomentum.

Components i magnitut dels diferents conceptes cinemàtics

Concepte	Components	Expressió algebraica	Partícules en massa	Fotons
Interval	$d{x}^a=\left[\begin{array}{c}dt\\ d{x}^1\\ d{x}^2\\ d{x}^3\end{array}\right]$	$d{s}^2=\overrightarrow{d}x\cdot \overrightarrow{d}x$	$d{s}^2=0$	$d{s}^2=0$
Cuadrivelocidad	$u^{\alpha }=\frac{d{x}^{\alpha }}{d\tau }=\left[\begin{array}{c}\gamma \\ v^1\gamma \\ v^2\gamma \\ v^3\gamma \end{array}\right]$	$|u|=\sqrt{\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{u}}=\sqrt{\frac{d{s}^2}{d{\tau }^2}}$	$|u|=c$	Cuadrivelocidad no definida
Acceleració	$a^{\alpha }=\frac{d^2{x}^{\alpha }}{d{\tau }^2}$	${\displaystyle }$	$a^{\alpha }=0$ (sistemes inerciales) $a^{\alpha }=0$ (sistemes no inerciales)	Acceleració no definida
Cuadrimomentum	$p^{\alpha }=\mu u^{\alpha }=\left[\begin{array}{c}m\\ -p^1\\ -p^2\\ -p^3\end{array}\right]$	$|p|=\sqrt{\overrightarrow{p}\cdot \overrightarrow{p}}=\sqrt{\frac{E^2}{c^2}-p^2}$	$|p|=\mu c$	$|p|=p$

El tensor d'energia-impulse (T_ab)

Artícul principal → Tensor d'energia-impulse.

Tensor de tensió-energia

Tres són les equacions fonamentals que en física newtoniana descriuen el fenomen de la gravitació universal: la primera, afirma que la força gravitatoria entre dos cossos és proporcional al producte de les seues masses i inversamente proporcional al quadrat de la seua distància (1); la segona, que el potencial gravitatorio ($\Phi$) en un determinat punt és igual a la massa multiplicada per la constant G i dividida per la distancia r (2); i la tercera, finalment, és la cridada equació de Poisson (3), que indica que el laplaciano del potencial gravitatorio és igual a $4\pi G\rho$, a on $\rho$ és la densitat de massa en una determinada regió esfèrica.

No obstant, estes equacions no són compatibles en la Relativitat Especial per dos raons:

• En primer lloc la massa no és una magnitut absoluta, sino que la seua medició deriva en resultats diferents depenent de la velocitat relativa de l'observador. D'ahí que la densitat de massa $\rho$ no pot servir de paràmetro d'interacció gravitatoria entre dos cossos.
• En segon lloc, si el concepte d'espai és relatiu, també ho és la noció de densitat. És evident que la contracció de l'espai produïda per l'increment de la velocitat d'un observador, impedix l'existència de densitat que permaneixquen invariables davant les transformacions de Lorentz.

Per tot això, resulta necessari prescindir del terme $\rho$, situat en el costat dret de la fòrmula de Poisson i substituir-ho per un objecte geomètric-matemàtic que permaneixca invariante davant les transformacions de Lorentz: Dit objecte va ser definit per Einstein en les seues equacions d'univers i rep el nom de tensor d'energia-momentum ($T^{\alpha \beta }$). Els seus coeficients descriuen la cantitat de tetramomentum $p^{\alpha }$ que travessa una hipersuperficie ${\Pi }_{\beta }$, normal al vector unitari ${\overrightarrow{u}}^{\beta }$. D'esta manera, el tensor d'energia momentum pot expressar-se per mig de la següent equació:

O lo que és lo mateix: El component $p^{\alpha }$ del tetramomentum és igual a l'integral de hipersuperficie $d{\Pi }_{\beta }$ del tensor de tensió-energia. En un decorregut ideal, del que estan absents tant la viscosidad com la conducció de calor, els components del tetramomentum es calculen de la següent forma:

a on $\rho$ és la densitat de massa-energia (massa per unitat de volum tridimensional), $P$ és la pressió hidrostàtica, $u^{\alpha }$ és la cuadrivelocidad del decorregut, i $g^{\alpha \beta }$ és la matriu inversa del tensor mètric de la varietat.

Ademés, si els components del tensor es medixen per un observador en repòs relatiu respecte al decorregut, llavors, el tensor mètric ve constituït simplement per la mètrica de Minkowski:

ya que ademés la tetravelocidad del decorregut respecte a l'observador en repòs és:

com a conseqüència d'això, els coeficients del tensor de tensió-energia són els següents:

Archiu:Microquasar caps block 20 caps block 21 .jpg

Partix de la matèria que cau en el disc d'acreció d'un forat negre és expulsada a gran velocitat en forma de chorrada. En supòsits com a est, els efectes gravitomagnéticos poden aplegar a alcançar certa importància.

A on $\rho$ és la densitat de massa, i $P_i$ són els components tridimensionals de la pressió hidrostàtica. Com veem, el camp gravitatorio té dos fonts diferents: La massa i el momentum del decorregut en qüestió. Els efectes gravitatorios originats per la massa es denominen efectes gravitoeléctricos, mentres que aquells que es deuen al momentum reben el nom de efectes gravitomagnéticos. Els primers tenen una intensitat $c^2$ superior als segons, que solament es manifesten en aquells casos en els que les partícules del decorregut es mouen en una velocitat propenca a la de la llum (es parla llavors de decorreguts relativistes): És el cas de les chorrada (jets) que emanen del centre de la galàxia i que es propulsan en les dos direccions marcades per l'eix de rotació d'este cos còsmic; de la matèria que es precipita cap a un forat negre; i del decorregut estelar que es dirigix cap al centre de l'estrela quan esta entra en colapse. En este últim cas, durant les fases finals del procés de contracció de l'estrela, la pressió hidrostàtica pot aplegar a ser tan forta com per a aplegar a accelerar el colapse, en lloc de ralentisar-ho.

Podem, a partir del tensor de tensió-energia, calcular quànta massa conté un determinat volum del decorregut: Reprenent la definició d'este tensor exposta unes llínees més dalt, es pot definir al coeficient $T{}^{00}$ com la cantitat de momentum $p^0$ (açò és, la massa) que travessa la hipersuperficie $d{\Pi }_0$. En l'espai-temps de Minkowski, la hipersuperficie $d{\Pi }_0$ és aquella regió que es definix per les tres bases vectorials normals al vector $d{x}^0$: ${\Pi }_0$ és, per tant, un volum tridimensional, definit pels vectores base ${\overrightarrow{e}}_1$ (eix $x$), ${\overrightarrow{e}}_2$ (eix $y$), i ${\overrightarrow{e}}_3$ (eix $z$). Podem per tant escriure:

$p^0=\int T{}^{00}d{\Pi }_0$

$m=\int \rho dV$

De la mateixa manera, és possible deduir matemàticament a partir del tensor de tensió-energia la definició newtoniana de pressió, introduint en la mentada equació qualsevol parell d'índexs que siguen diferents de zero:

$p^1=\underset{\Pi }{\int }{T}^{11}d{\Pi }_1$

La hipersuperficie $d{\Pi }_1$ és aquella regió de l'espai-temps definida pels tres vectores unitaris normals a $d{x}_1$ (es tracta dels dos vectores espacials, ${\overrightarrow{e}}_2$ i ${\overrightarrow{e}}_3$, corresponents als eixos $y$ i $z$; i del vector temporal ${\overrightarrow{e}}_0$ —o $dt$, com es preferixca—). Esta definició nos permet descompondre l'integral de hipersuperficie en una integral temporal (que el seu integrant ve definit per $dt$) i una atra de superfície (esta volta bidimensional, $dS$):

$p^1=\int \underset{S}{\int }-P_{1}d{S}_{1}dt$

Finalment, derivem parcialment abdós membres de l'equació respecte al temps, i tenint en conte que la força no és més que la taxa d'increment temporal del momentum obtenim el resultat següent:

$F^1=\int -P_{1}d{S}_1$

Que conté la definició newtoniana de la pressió com a força eixercida per unitat de superfície.

El tensor electromagnètic (F_ab)

Artícul principal → Tensor de camp electromagnètic.

Les equacions deduïdes pel físic escocés James Clerk Maxwell varen demostrar que electricitat i magnetisme no són més que dos manifestacions d'un mateix fenomen físic: el camp electromagnètic. Ara be, per a descriure les propietats d'este camp els físics de finals de el XIX devien utilisar dos vectores diferents, els corresponents els camps elèctric i magnètic.

Va ser l'arribada de la relativitat especial la que va permetre descriure les propietats de l'electromagnetisme en un sol objecte geomètric, el vector cuadripotencial, el component temporal del qual es corresponia en el potencial elèctric, mentres que els seus components espacials eren els mateixos que els de el potencial magnètic.

$A^{\alpha }=(V,A_x,A_y,A_y)$

D'esta manera, el camp elèctric pot ser entés com la suma del gradient del potencial elèctric més la derivada temporal del potencial magnètic:

$E=-\mathrm{\nabla }V-\frac{\partial A}{\partial t}$

i el camp magnètic, com el rotacional del potencial magnètic:

$B=\mathrm{\nabla }\times A$

Les propietats del camp electromagnètic poden també expressar-se utilisant un tensor de segon orde denominat tensor de Faraday i que s'obté diferenciant exteriorment al vector cuadripotencial $A^{\alpha }$

$F_{\alpha \beta }={\partial }_{\alpha }{A}_{\beta }-{\partial }_{\beta }{A}_{\alpha }$

$F{}^{\alpha \beta }=\left(\begin{array}{cccc}0& E_x/c& E_y/c& E_z/c\\ -E_x/c& 0& B_z& -B_y\\ -E_y/c& -B_z& 0& B_x\\ -E_z/c& B_y& -B_x& 0\end{array}\right);F{}_{\beta }^{\alpha }=\left(\begin{array}{cccc}0& E_x& E_y& E_z\\ -E_x& 0& B_z& -B_y\\ -E_y& -B_z& 0& B_x\\ -E_z& B_y& -B_x& 0\end{array}\right)$

La força de Lorentz pot deduir-se a partir de la següent expressió:

$f^{\alpha }=qF{}_{\beta }^{\alpha }{u}^{\beta }$

$F=q(E+u\times v)$

A on $q$ és la càrrega i $u^{\alpha }$ la cuadrivelocidad de la partícula.

Vore també: Espai-temps, Cuadrivector, i Tensor

Vore també

• [[Archiu:{{#switch:Física|20px|Vore el portal sobre Física]] Portal:Física. Contingut relacionat en Física.
• Teoria de la relativitat especial
• Relativitat general
• Anex:Glossari de relativitat

Bibliografia

• Annalen der Physik.17

891–921. (en espanyol)

• Annalen der Physik.

769-822. (en espanyol)

• Editat per David Hilbert, Leipzig per BG Teubner.2

431–444. (en espanyol)

• arXiv:gr-qc/9712019.

234. (en espanyol)

• Girbau, J.: Geometria diferencial i relativitat, Ed. Universitat Autònoma de Barcelona, 1993. ISBN 84-7929-776-X.
• Glick, T. F. (1987). The Comparative Reception of Relativity (en en), Springer Science & Business Mija. ISBN 9789027724984.
• Bedacarratz R.: Introducció a la geometria i relativitat. Ed. Universitat nacional de Còrdova, 1986.