Aproximació per a camps gravitatorios dèbils

La aproximació per a camps gravitatorios dèbils comprén la busca de solucions aproximades de les equacions del camp d'Einstein de la teoria general de la relativitat.

Mètrica aproximada per a camp dèbil i chicotetes velocitats

L'aproximació per a camps gravitatorios dèbils, en el cas de chicotetes velocitats és senzilla d'obtindre en el cas de chicotetes velocitats sense més que comparar la lagrangiana relativista en el llímit de chicotetes velocitats i igualant térmens en la lagrangiana clàssica.

D'acort en els postulats de la relativitat general una partícula es mou a lo llarc d'una geodèsica de la mètrica. Això implica que l'integral d'acció escrita en térmens i la llongitut d'arc s, o del temps propi τ, ve donada per:

A fi de poder comparar eixa expressió en el lagrangiano d'una partícula clàssica, devem examinar primerament el llímit de l'expressió anterior en absència de camp. Per a això usarem la relació entre temps propi i temps coordenado en absència de camp, i el llímit clàssic corresponent:

A on v és el mòdul de la velocitat de la partícula i c la velocitat de la llum. En el cas d'existència de camp gravitatorio podem fer que en el mateix llímit anterior el lagrangiano relativiste coincidixca en el lagrangiano clàssic d'una partícula en un camp gravitatorio:

A on ${\varphi }_g$ representa el potencial gravitatorio clàssic de la partícula. Identificant terme a terme, elevant al quadrat i despreciant els térmens que s'anulen en el llímit de chicotetes velocitats tenim:

Les equacions del moviment d'una partícula en un camp gravitatorio dèbil dau per les equacions anteriors són:

La primera de les anteriors implica que les coordenades espacials varien similarment al cas clàssic, encara que afectats per un factor de ralentisació temporal $({\dot{t}}^2)$, mentres que la relació entre el temps propi i la coordenada temporal s'obté integrant la segona equació:

Mètrica aproximada per a camp en simetria esfèrica

L'anàlec relativiste del camp gravitatorio creat per una massa esfèrica ve descrit per una solució exacta de les equacions d'Einstein coneguda com mètrica de Schwarzschild. Dita solució descriu ademés de trayectòries similars a les de la teoria newtoniana efectes nous com el alvanç del perihelio dels planetes més propencs al sol, la curvatura dels rajos de llum i el desplaçament cap al roig de la llongitut d'ona. La següent taula comparativament les prediccions d'abdós teories, etc. La forma exacta de la mètrica de Schwarzschild postula que la geometria del espai-temps ve donada per la mètrica:

$d{s}^2=-c^2(1-\frac{2GM}{c^{2}r})d{t}^2+{(1-\frac{2GM}{c^{2}r})}^{-1}\mathrm{d}{r}^2+r^2\mathrm{d}{\theta }^2+r^2{\sin }^2\theta \mathrm{d}{\varphi }^2$

L'aproximació per a camps gravitatorios dèbils és postular una mètrica en una part espacial euclídea del tipo, en coordenades esfèriques:

$d{s}^2=-c^2(1-\frac{2GM}{c^{2}r})d{t}^2+\mathrm{d}{r}^2+r^2\mathrm{d}{\theta }^2+r^2{\sin }^2\theta \mathrm{d}{\varphi }^2$

Esta mètrica no satisfà exactament les equacions d'Einstein, ya que la seua tensor d'Einstein no s'anula, pero constituïx una aproximació raonablement bona, de la mètrica de Schwarzschild. Esta forma de la mètrica permet interpretar les components del tensor mètric, o més concretament, la component $g_{00}$ com una magnitut directament proporcional al potencial gravitatorio clàssic:

$g_{00}=-c^2(1+\frac{2{\varphi }_g}{c^2})$

Geodèsiques

Per a estudiar el moviment dels planetes al voltant del sol, podem usar l'aproximació euclidea de camp dèbil anterior. Que també pot escriure's en coordenades cartesianas en térmens del potencial gravitatorio ${\varphi }_g(x,y,z)$ com:

Força aparent

Considerem un cos de chicoteta massa inicialment en repòs respecte a la font del camp gravitatorio en r = r₀. Este cos caurà acceleradament cap al cos. La trayectòria seguida pot obtindre's de les geodèsiques sense més que considerar $\dot{\theta }=\dot{\varphi }=0$ la qual cosa nos du a una variació de la coordenada radial donada per:

A grans distàncies de la font que crea el camp esta força és precisament la llei de Newton de la gravitació.

Bibliografia

• Annalen der Physik.

769-822. (Text en espanyol)

• Landau & Lifshitz, Teoria clàssica dels camps, Ed. Reverté, ISBN 84-291-4082-4.
• Robert M. Wald, General Relativity, Chicago University Press, ISBN 0-226-87033-2.
• Misner, Thorne and Wheeler, Gravitation, Freeman, (1973), ISBN 0-7167-0344-0.