Tensor d'Einstein

En geometria diferencial, el tensor d'Einstein (cridat aixina per Albert Einstein; també conegut com la traça invertida del Tensor de Ricci) s'utilisa per a expressar la curvatura d'una varietat pseudoriemanniana. En relativitat general, apareix en les equacions de camp d'Einstein per a la gravitació que descriuen la curvatura de l'espai-temps d'una manera que siga consistent en la conservació de l'energia i el moment.

Definició

El tensor d'Einstein $𝐆$ és un tensor d'orde 2, definit sobre una varietat pseudoriemanniana. En notació indicial lliure es definix com

$𝐆=𝐑-\frac{1}{2}𝐠R,$

a on $𝐑$ és el tensor de Ricci, $𝐠$ és el tensor mètric i $R$ és la curvatura escalar, que es calcula com la traça del tensor de Ricci $R_{\mu \nu }$ per $R=g^{\mu \nu }{R}_{\mu \nu }=R_{\mu }^{\mu }$. En forma de components, l'equació anterior s'escriu com:

$G_{\mu \nu }=R_{\mu \nu }-\frac{1}{2}{g}_{\mu \nu }R$

El tensor d'Einstein és simètric:

$G_{\mu \nu }=G_{\nu \mu }$

i, de la mateixa manera que el tensor energia-impulse, i té zero divergència:

${\mathrm{\nabla }}_{\mu }{G}^{\mu \nu }=0$

Forma explícita

El tensor de Ricci depén solament del tensor mètric, per lo que el tensor d'Einstein es pot definir directament en solament el tensor mètric. No obstant, esta expressió és complexa i rara volta se cita en els llibres de text. La complexitat d'esta expressió es pot mostrar usant la fòrmula per al tensor de Ricci en térmens de símbols de Christoffel:

$\begin{array}{cc}{G}_{\alpha \beta }& =R_{\alpha \beta }-\frac{1}{2}{g}_{\alpha \beta }R\\ & =R_{\alpha \beta }-\frac{1}{2}{g}_{\alpha \beta }{g}^{\gamma \zeta }{R}_{\gamma \zeta }\\ & =({\delta }_{\alpha }^{\gamma }{\delta }_{\beta }^{\zeta }-\frac{1}{2}{g}_{\alpha \beta }{g}^{\gamma \zeta })R_{\gamma \zeta }\\ & =({\delta }_{\alpha }^{\gamma }{\delta }_{\beta }^{\zeta }-\frac{1}{2}{g}_{\alpha \beta }{g}^{\gamma \zeta })({\Gamma }^{ϵ}{}_{\gamma \zeta ,ϵ}-{\Gamma }^{ϵ}{}_{\gamma ϵ,\zeta }+{\Gamma }^{ϵ}{}_{ϵ\sigma }{\Gamma }^{\sigma }{}_{\gamma \zeta }-{\Gamma }^{ϵ}{}_{\zeta \sigma }{\Gamma }^{\sigma }{}_{ϵ\gamma }),\\ G^{\alpha \beta }& =(g^{\alpha \gamma }{g}^{\beta \zeta }-\frac{1}{2}{g}^{\alpha \beta }{g}^{\gamma \zeta })({\Gamma }^{ϵ}{}_{\gamma \zeta ,ϵ}-{\Gamma }^{ϵ}{}_{\gamma ϵ,\zeta }+{\Gamma }^{ϵ}{}_{ϵ\sigma }{\Gamma }^{\sigma }{}_{\gamma \zeta }-{\Gamma }^{ϵ}{}_{\zeta \sigma }{\Gamma }^{\sigma }{}_{ϵ\gamma }),\end{array}$

a on ${\delta }_{\beta }^{\alpha }$ és el tensor de Kronecker i el símbol de Christoffel ${\Gamma }^{\alpha }{}_{\beta \gamma }$ es definix com

$${\Gamma }^{\alpha }{}_{\beta \gamma }=\frac{1}{2}{g}^{\alpha ϵ}(g_{\beta ϵ,\gamma }+g_{\gamma ϵ,\beta }-g_{\beta \gamma ,ϵ}).$$

i els térmens de la forma ${\Gamma }_{\beta \gamma ,\mu }^{\alpha }$ representen la seua derivada parcial en la direcció μ, és dir:

$${\Gamma }^{\alpha }{}_{\beta \gamma ,\mu }={\partial }_{\mu }{\Gamma }^{\alpha }{}_{\beta \gamma }=\frac{\partial }{\partial x^{\mu }}{\Gamma }^{\alpha }{}_{\beta \gamma }$$

Abans de les cancelacions, esta fòrmula dona com a resultat $2\times (6+6+9+9)=60$ térmens individuals. Les cancelacions reduïxen una miqueta este número.

En el cas especial d'un sistema de referència inercial localment prop d'un punt, les primeres derivades del tensor mètric desapareixen i la forma component del tensor d'Einstein se simplifica considerablement:

$$\begin{array}{cc}{G}_{\alpha \beta }& =g^{\gamma \mu }[g_{\gamma [\beta ,\mu ]\alpha }+g_{\alpha [\mu ,\beta ]\gamma }-\frac{1}{2}{g}_{\alpha \beta }{g}^{ϵ\sigma }(g_{ϵ[\mu ,\sigma ]\gamma }+g_{\gamma [\sigma ,\mu ]ϵ})]\\ & =g^{\gamma \mu }({\delta }_{\alpha }^{ϵ}{\delta }_{\beta }^{\sigma }-\frac{1}{2}{g}^{ϵ\sigma }{g}_{\alpha \beta })(g_{ϵ[\mu ,\sigma ]\gamma }+g_{\gamma [\sigma ,\mu ]ϵ}),\end{array}$$

a on els corchetes denoten convencionalment antisimetrisació sobre índexs entre corchetes, és dir,

$$g_{\alpha [\beta ,\gamma ]ϵ}=\frac{1}{2}(g_{\alpha \beta ,\gamma ϵ}-g_{\alpha \gamma ,\beta ϵ}).$$