Tensor de Ricci

Archiu:Penrose ricci tensor.svg

Tensor de Ricci

En geometria diferencial, el tensor de curvatura de Ricci o simplement, tensor de Ricci, que sol notar-se pels símbols $R_{ab}$ o $\text{Ric}$, és un tensor simètric bivalente obtingut com una traça del tensor de curvatura, que, com aquell, pot definir-se en qualsevol varietat dotada d'una conexió afí. Va ser introduït en 1903 pel matemàtic italià G. Ricci.

En cas d'estar definit en una varietat de Riemann, pot interpretar-se com un Laplaciano del tensor mètric. De la mateixa manera que la mètrica, el tensor de Ricci serà una forma bilineal simètrica. En cas en que abdós siguen proporcionals, $\text{Ric}=\lambda g$, direm que la varietat és una varietat d'Einstein.

El tensor de Ricci determina totalment al tensor de curvatura, si la varietat de Riemann corresponent té dimensió $n<4$. En relativitat general, ya que l'espai-temps té quatre dimensions, el tensor de Ricci no determina per complet la curvatura.

Definició

La curvatura de Ricci pot expressar-se en térmens de la curvatura seccional de la manera següent: per a un vector unitari $v$, $⟨R(v),v⟩$ és suma de les curvatura seccionales de tots els plans travessats pel vector $v$ i un vector d'un marc ortonormal que conté a $v$ (hi ha $n-1$ tals plans). Ací $R(v)$ és la curvatura de Ricci com un operador llineal en el pla tangente, i $⟨.,.⟩$ és el producte escalar mètric. La curvatura de Ricci conté la mateixa informació que totes les tals sumes sobre tots els vectores unitaris. En les dimensions 2 i 3 este és igual que especificar totes les curvaturas seccionales o el tensor de curvatura, pero en dimensions més altes la curvatura de Ricci conté menys informació. Per eixemple, les varietats d'Einstein no tenen que tindre curvatura constant en les dimensions 4 i més.

Expressió en coordenades

Usant un sistema de coordenades natural, el tensor de curvatura de Ricci és igual a:

$R_{\sigma \nu }={R^{\rho }}_{\sigma \rho \nu }={\partial }_{\rho }{\Gamma }_{\nu \sigma }^{\rho }-{\partial }_{\nu }{\Gamma }_{\rho \sigma }^{\rho }+{\Gamma }_{\rho \lambda }^{\rho }{\Gamma }_{\nu \sigma }^{\lambda }-{\Gamma }_{\nu \lambda }^{\rho }{\Gamma }_{\rho \sigma }^{\lambda }$

Aplicacions del tensor de curvatura de Ricci

Invariantes topològics

La curvatura de Ricci es pot utilisar per a definir les classes de Chern d'una varietat, que són invariantes topològics (per tant independents de l'elecció de mètrica). La curvatura de Ricci també s'utilisa en el fluix de Ricci, a on una mètrica és deformada en la direcció de la curvatura de Ricci. En superfícies, el fluix produïx una mètrica de curvatura de Gauss constant i se seguix el teorema de uniformización per a les superfícies.

Relativitat general

La curvatura de Ricci eixercita un paper important en relativitat general, de fet, l'equació del camp d'Einstein s'escriuen en térmens del tensor de Ricci com:

a on: $G_{\mu \nu }$ és el tensor de la curvatura d'Einstein, $T_{\mu \nu }$ és el tensor d'energia-moment, $c$ és la velocitat de la llum i $G$ és la constant gravitacional. El tensor de la curvatura d'Einstein es pot escriure com:

a on: $R_{\mu \nu }$ és el tensor de Ricci, $g_{\mu \nu }$ és la mètrica i $R$ és l'Escalar de Curvatura de Ricci