Conexió afí

En geometria diferencial, una conexió afí^[3] és un objecte geomètric en una varietat diferenciable que conecta espais tangentes propencs, per lo que permet que camps vectorials tangentes siguen diferenciables com si foren funcions en la varietat en valors en un espai vectorial fix. Les conexions es troben entre els métodos més simples per a definir la diferenciació de seccions de fibrados vectorials.^[4]

La noció de conexió afí té les seues raïls en la geometria de el XIX i en el càlcul tensorial, pero no va ser desenrollada completament fins a principis de la década de 1920 per Élie Cartan (com a part de la seua teoria general de conexions) i per Hermann Weyl (qui va utilisar la noció com a part dels seus fonaments per a la relativitat general). La terminologia es deu a Cartan^[6] i té el seu orige en l'identificació d'espais tangentes en un espai euclídeo $R n$ per translació: l'idea és que una elecció de conexió afí fa que una varietat se semble infinitament a l'espai euclídeo, no exactament infinitament diferenciable, pero com un espai afí.

En qualsevol varietat de dimensió positiva hi ha infinites conexions afins. Si la varietat està ademés dotada d'un tensor mètric, llavors existix una elecció natural de conexió afí, cridada conexió de Levi-Civita. L'elecció d'una conexió afí equival a prescriure una forma de diferenciar camps vectorials que satisfà vàries propietats raonables (linealidad i la regla de Leibniz). Açò produïx una possible definició d'una conexió afí com la derivada covariant o la conexió (llineal) en un fibrado tangente. L'elecció d'una conexió afí també equival a una noció de transport paralel, que és un método per a transportar vectores tangentes en curves. Açò també definix un transport paralel en el fes de sistemes de referència. El transport paralel infinitesimal en el fes de sistemes de referència produïx una atra descripció d'una conexió afí, ya siga com una conexió de Cartan per al grup afí o com conexió principal en el fes de sistemes de referència.

Els principals invariantes d'una conexió afí són la seua torsió i la seua curvatura. La torsió medix lo prop que es pot recuperar el corchete de Lie dels camps vectorials de la conexió afí. També es poden utilisar conexions afins per a definir geodèsiques (afins) en una varietat, generalisant les llínees rectes de l'espai euclídeo, encara que la geometria d'eixes "llínees rectes" pot ser molt diferent de la geometria euclídea habitual. Les principals diferències es resumixen en la curvatura de la conexió.

Motivació i història

Un varietat diferenciable és un objecte matemàtic que localment s'assembla a una deformació suau de l'espai euclídeo $R n$ : per eixemple, una curva o superfície suau s'assembla localment a una deformació suau d'una llínea o un pla. Les funcions suaus i els camps vectorials es poden definir sobre varietats, tal com es pot fer en l'espai euclídeo, i les funcions escalares sobre varietats es poden diferenciar de forma natural. No obstant, la diferenciació de camps vectorials és menys senzilla: es tracta d'una qüestió senzilla en l'espai euclídeo, perque l'espai tangente dels vectores basats en un punt $p$ pot identificar-se naturalment (per translació) en l'espai tangente en un punt propenc $q$ . En una varietat general, no existix tal identificació natural entre espais tangentes propencs, per lo que els vectores tangentes en punts propencs no es poden comparar d'una manera ben definida. La noció de conexió afí es va introduir per a remediar este problema, conectant espais tangentes propencs. Els orígens d'esta idea es remonten a dos fonts principals: la teoria de superfícies i el càlcul tensorial.

Motivació de la teoria de superfícies

Vore també: Conexió de Cartán

Considere's una superfície plana $S$ en un espai euclídeo tridimensional. Prop de qualsevol punt, $S$ pot aproximar-se per la seua tangente en eixe punt, que és un espai afí de l'espai euclídeo. Els geómetras diferencials de el XIX estaven interessats en la noció de desenroll en la que una superfície rodava sobre una atra, sense esgolar ni endoblegar-se. En particular, el pla tangente a un punt de $S$ es pot fer rodar sobre $S$ : açò deuria ser fàcil d'imaginar quan $S$ és una superfície com la 2-esfera, que és el llímit suau d'una regió convexa. A mida que el pla tangente roda sobre $S$ , el punt de contacte traça una curva en $S$ . Pel contrari, donada una curva en $S$ , el pla tangente es pot desplaçar en eixa curva. Açò proporciona una manera d'identificar els plans tangentes en diferents punts en la curva: en particular, un vector tangente en l'espai tangente en un punt de la curva s'identifica en un vector tangente únic en qualsevol atre punt de la curva. Estes identificacions sempre vénen donades per la transformació afí d'un pla tangente en un atre.

Esta noció de transport paralel de vectores tangentes per mig de transformacions afins en una curva té una traça característica: el punt de contacte del pla tangente en la superfície sempre es mou en la curva baixe translació paralela (és dir, quan la tangente al pla roda en la superfície, el punt de contacte es mou). Esta condició genèrica és característica de les conexions de Cartan. En enfocaments més moderns, el punt de contacte es considera el orige en el pla tangente (que llavors és un espai vectorial), i el moviment de l'orige es corrig per mig d'una translació, de modo que el transport paralel és llineal en lloc d'afí.

No obstant, des del punt de vista de les conexions de Cartan, els subespacios afins dels espais euclídeos són superfícies modele: són les superfícies més simples de l'espai tridimensional euclídeo i són homogénees baixe el grup afí del pla. I cada superfície plana té una superfície modele única tangente a ella en cada punt. Estes superfícies modele són geometria Klein en el sentit d'expressat en el programa de Erlangen promogut per Felix Klein. De manera més general, un espai afí de dimensió $n$ és una geometria de Klein per al grup afí $Aff(n)$ , sent l'estabilisador d'un punt el grup llineal general $GL(n)$ . Una varietat $n$ afí és llavors una varietat que s'assembla infinitament a l'espai afí de dimensió $n$ .

Motivació a partir del càlcul tensorial

Vore també: Derivada covariant

La segona motivació per a les conexions afins prové de la noció de derivada covariant de camps vectorials. Abans de l'arribada dels métodos independents del sistema de coordenades, era necessari treballar en camps vectorials per mig d'encaixos i els seus respectius vectorés en un atles. Estos components es poden diferenciar, pero les derivades no es transformen de manera manejable davant canvis de coordenades. Els térmens de correcció varen ser introduïts per Elwin Bruno Christoffel (seguint les idees de Bernhard Riemann) en la década de 1870, de modo que la derivada (corregida) d'un camp vectorial en un atre transformat covariantemente baixe transformacions de coordenades (estos térmens de correcció varen passar a conéixer-se posteriorment com símbols de Christoffel).

Esta idea va ser desenrollada en la teoria del càlcul diferencial absolut (ara conegut com càlcul tensorial) per Gregorio Ricci-Curbastro i el seu alumne Tullio Levi-Civita entre 1880 i principis de el XX.

No obstant, el càlcul tensorial realment va cobrar vida en el advenimiento de la teoria d'Albert Einstein de la relativitat general en 1915. Uns anys despuix, Levi-Civita va formalisar la conexió única associada a una mètrica de Riemann, ara coneguda com conexió de Levi-Civita. Al voltant de 1920, Hermann Weyl,^[7] va estudiar conexions afins més generals, desenrollant una base matemàtica detallada per a la relativitat general, i Élie Cartan^[8] va establir el víncul en les idees geomètriques provinents de la teoria de superfícies.

Aproximacions

Esta complexa història ha dut al desenroll d'enfocaments i generalisacions molt diferents del concepte de conexió afí.

L'enfocament més popular és provablement la definició motivada per les derivades covariants. Per un costat, les idees de Weyl varen ser represes pels físics en la forma de la teoria de camp de gauge i de la derivada covariant gauge. Per un atre costat, la noció de diferenciació covariant va ser abstreta per Jean-Louis Koszul, qui va definir les conexions sobre fibrados vectorials (denominades llineals o de Koszul). En esta terminologia, una conexió afí és simplement una derivada covariant o una conexió (llineal) en el fibrado tangente.

No obstant, este enfocament no explica la geometria darrere de les conexions afins ni cóm varen adquirir el seu nom.^[9] El terme realment té el seu orige en l'identificació d'espais tangentes en l'espai euclídeo per mig de translació: esta propietat significa que l'espai euclídeo $n$ és un espai afí (alternativament, l'espai euclídeo és un espai homogéneu principal o torsor baixe el grup de translacions, que és un subgrup del grup afí). Com es va mencionar en l'introducció, hi ha vàries maneres de precisar el concepte: s'usa el fet de que una conexió afí definix una noció de transport paralel de camps vectorials en una curva. Açò també definix un transport paralel en el fes de sistemes de referència. El transport paralel infinitesimal en el fes de sistemes de referència produïx una atra descripció d'una conexió afí, ya siga com una conexió de Cartan per al grup afí $Aff(n)$ o com una conexió principal $GL(n)$ en el fes de sistemes de referència.

Definició formal com a operador diferencial

Vore també: Derivada covariant i Conexió (fes de vectores)

Siga $M$ una varietat suau i siga $Γ(T M)$ l'espai de camps vectorials en $M$ , és dir, l'espai de seccions suaus del fibrado tangente $T M$ . Llavors una conexió afí en $M$ és un operador bilineal

\begin{matrix} Γ (T M) \times Γ (T M) & \to Γ (T M) \\ (X, Y) & \mapsto \nabla_{X} Y, \end{matrix}

de modo que para tots els $f$ en el conjunt de funcions suaus en $M$ , escrit $C \infty (M, R)$ , i tots els camps vectorials $X, I$ en $M$ :

$\nabla fX I = f \nabla X I$ , és dir, $\nabla$ és $C \infty (M, R)$ -llineal en la primera variable;
$\nabla X (fY) = (\partial X f) I + f \nabla X I$ , a on $\partial X$ denota la derivada direccional; és dir, $\nabla$ satisfà la regla de Leibniz en la segona variable.

Propietats elementals

De la propietat 1 anterior es deduïx que el valor de $\nabla X I$ en un punt $x \in M$ depén solament del valor de $X$ en $x$ i no del valor de $X$ en $M - {x}$ . També es deduïx de la propietat 2 anterior que el valor de $\nabla X I$ en un punt $x \in M$ depén solament del valor de $I$ en un veïnat de $x$ .
Si $\nabla 1, \nabla 2$ són conexions afins, llavors el valor en $x$ de $\nabla Plantilla:La seua I - \nabla Plantilla:La seua I$ es pot escriure $Γ x (X x, I x)$ a on

Γ_{x} : T_{x} M \times T_{x} M \to T_{x} M

és bilineal i depén suaument de

x

(és dir, definix un homomorfisme de fes suau). Pel contrari, si

\nabla

és una conexió afí i

Γ

és un homomorfisme de fes bilineal suau (cridat forma de conexió en

M

), llavors

\nabla + Γ

és una conexió afí.

Si $M$ és un subconjunt obert de $R n$ , llavors el fes tangente de $M$ és el fibrado trivial $M \times R n$ . En esta situació hi ha una conexió afí canònica $d$ en $M$ : qualsevol camp vectorial $I$ està donat per una funció suau $V$ de $M$ a $R n$ . Llavors, $d X I$ és el camp vectorial corresponent a la funció suau $d V (X) = \partial X I$ de $M$ a $R n$ . Per lo tant, qualsevol atra conexió afí $\nabla$ en $M$ pot escriure's $\nabla = d + Γ$ , a on $Γ$ és una forma de conexió en $M$ .
De manera més general, un fibrado del paquet tangente és un isomorfisme de fes entre la restricció de $T M$ a un subconjunt obert $O$ de $M$ i $O \times R n$ . La restricció d'una conexió afí $\nabla$ a $O$ es pot escriure en la forma $d + Γ$ , a on $Γ$ és una forma de conexió en $O$ .

Transport paralel per a conexions afins

Vore també: transport paralel

La comparació de vectores tangentes en diferents punts d'una varietat, per lo general no és un procés ben definit. Una conexió afí proporciona una manera de remediar el problema utilisant la noció de transport paralel i, de fet, esta noció pot usar-se per a donar una definició de conexió afí.

Siga $M$ una varietat en una conexió afí $\nabla$ . Llavors, es diu que un camp vectorial $X$ és paralel si $\nabla X = 0$ en el sentit de que para qualsevol camp vectorial $I$ , $\nabla I X = 0$ . Intuitivamente parlant, els vectores paralels tenen totes les seues derivadas iguals a zero i, per lo tant, en cert sentit són constants. En evaluar un camp vectorial paralel en dos punts $x$ i $i$ , s'obté una identificació entre un vector tangente en $x$ i un en $i$ . Es diu que estos vectores tangentes són transports paralels entre sí.

Els camps vectorials paralels distints de zero no existixen, en general, perque l'equació $\nabla X = 0$ és una equació en derivades parcials que és sobredeterminado: la condició de integrabilidad per a esta equació és la desaparició de la curvatura de $\nabla$ (vore més avall). No obstant, si esta equació es restringix a una curva des de $x$ a $i$ , es convertix en una equació diferencial ordinària. Llavors, existix una solució única per a qualsevol valor inicial de $X$ en $x$ .

Més precisament, si $γ : I \to M$ és una curva suau parametrizada per un interval $[a, b]$ i $ξ \in T x M$ , a on $x = γ (a)$ , llavors un camp vectorial $X$ en $γ$ (i en particular, el valor d'este camp vectorial en $i = γ (b)$ ) es denomina transport paralel de $ξ$ a lo llarc de $γ$ si

$\nabla γ' (t) X = 0$ , per a tots els $t \in [a, b]$
$X γ (a) = ξ$ .

Formalment, la primera condició significa que $X$ és paralel sobre la conexió regrediente en un fes regrediente $γ *T M$ . No obstant, en un fibrado és un sistema de primer orde d'equacions diferencials ordinàries llineals, que té una solució única per a qualsevol condició inicial donada per la segona condició (per eixemple, pel teorema de Picard-Lindelöf).

Per lo tant, el transport paralel proporciona una forma de desplaçar vectores tangentes en una curva utilisant la conexió afí per a mantindre'ls apuntant en la mateixa direcció en un sentit intuïtiu, i açò proporciona una aplicació llineal entre els espais tangentes en els dos extrems de la curva. L'isomorfisme obtingut d'esta manera dependrà en general de l'elecció de la curva: si no és aixina, llavors el transport paralel en cada curva es pot utilisar per a definir camps vectorials paralels en $M$ , lo que solament pot succeir si la curvatura de $\nabla$ és zero.

Un isomorfisme llineal està determinat per la seua acció sobre una base ordenada o sistema de referència. Per lo tant, el transport paralel també pot caracterisar-se com una forma de transportar elements del fes de sistemes de referència (tangente) $GL(M)$ en una curva. En atres paraules, la conexió afí proporciona una elevació de qualsevol curva $γ$ en $M$ a una curva $γ̃$ en $GL(M)$ .

Definició formal d'un fes de sistemes de referència

Vore també: Conexió (fes principal)

Una conexió afí també es pot definir com la conexió principal $GL(n)$ $ω$ en un fes de sistemes de referència $F M$ o $GL(M)$ d'una varietat $M$ . Més detalladament, $ω$ és una aplicació suau des del fes tangente $T(F M)$ del fes de sistemes de referència a l'espai de matrius $n \times n$ (que és l'àlgebra de Lie $gl (n)$ del grup de Lie $GL(n)$ de matrius $n \times n$ invertibles) que satisfà dos propietats:

$ω$ és equivariante sobre l'acció de $GL(n)$ sobre $T(F M)$ i $gl (n)$ ;
$ω (X ξ) = ξ$ per a qualsevol $ξ$ en $gl (n)$ , a on $X ξ$ és el camp vectorial en $F M$ corresponent a $ξ$ .

Tal conexió $ω$ definix immediatament una derivada covariant no solament en el fes tangente, sino en el fibrado vectorial associat a qualsevol representació de grup de $GL(n)$ , inclosos els fas tensoriales i les densitat tensoriales. Pel contrari, una conexió afí en el paquet tangente determina una conexió afí en el paquet de marcs, per eixemple, en requerir que $ω$ desaparega en vectores tangentes a les elevació de curves al paquet de marcs definit per transport paralel.

El fes de sistemes de referència també ve equipat en una forma de soldadura $θ : T(F M) \to R n$ que és horisontal en el sentit de que desapareix en els vectores verticals, com els valors puntuals dels camps vectorials $X ξ$ . De fet, $θ$ es definix primer proyectant un vector tangente (a $F M$ en un retícul $f$ ) a $M$ , i a continuació prenent les components d'este vector tangente en $M$ sobre la retícula $f$ . Tinga's en conte que $θ$ també és equivalent a $GL(n)$ (a on $GL(n)$ actua sobre $R n$ per mig de multiplicació de matrius).

El parell $(θ, ω)$ definix un isomorfisme de fes de $T(F M)$ en el fes trivial $F M \times aff (n)$ , a on $aff (n)$ és el producte cartesiano de $R n$ i $gl (n)$ (vist com l'àlgebra de Lie del grup afí, que en realitat és un producte semidirecto; vore més avall).

Conexions afins com a conexions de Cartan

Vore també: Conexió de Cartan

Les conexions afins es poden definir dins del sistema de referència general de Cartan.^[10] En l'enfocament modern, açò està estretament relacionat en la definició de conexions afins en el fes de sistemes de referència. De fet, en una formulació, una conexió de Cartan és un paralelisme absolut d'un paquet principal que satisfà unes determinades propietats. Des d'este punt de vista, el $aff (n)$ d'una forma en valor $(θ, ω) : T(F M) \to aff (n)$ en el fes de sistemes de referència (d'una varietat afí) és una conexió de Cartan.

No obstant, l'enfocament original de Cartan era diferent d'est en varis aspectes:

No existia el concepte de fas sistemes de referència o fas principals
Una conexió era vista en térmens de transport paralel entre punts infinitament propencs^[11]
Este transport paralel era afí, més que llineal
Els objectes transportats no eren vectores tangentes en el sentit modern, sino elements d'un espai afí en un punt marcat, que la conexió de Cartan finalment es identifica en l'espai tangente

Justificació i intuïció històrica

Els punts que s'acaben de plantejar són més fàcils d'explicar a l'inversa, partint de la motivació proporcionada per la teoria de superfícies. En esta situació, encara que els plans que roden sobre la superfície són plans tangentes en un sentit intuïtiu, la noció d'espai tangente és en realitat una noció d'infinitesimal,^[13] mentres que els plans, com [espais afínes de $R 3$ , tenen una extensió infinita. No obstant, tots estos plans afins tenen un punt marcat, el punt de contacte en la superfície, i són tangentes a la superfície en este punt. Per tant, la confusió sorgix perque un espai afí en un punt marcat pot identificar-se en el seu espai tangente en eixe punt. No obstant, el transport paralel definit per rodadura no fixa este orige: és afí en lloc de llineal. El transport llineal paralel es pot recuperar aplicant una translació.

Abstraent esta idea, una varietat afí deuria ser, per lo tant, una varietat $n$ $M$ en un espai afí $A x$ , de dimensió $n$ , unit a cada $x \in M$ en un punt marcat $a x \in A x$ , junt en un método per a transportar elements d'estos espais afins en qualsevol curva $C$ en $M$ . Este método deu satisfer vàries propietats:

Per a dos punts qualssevol $x, i$ en $C$ , el transport paralel és una transformació afí de $A x$ a $A i$
El transport paralel es definix infinitament en el sentit de que és diferenciable en qualsevol punt de $C$ i depén solament del vector tangente a $C$ en eixe punt
La derivada del transport paralel en $x$ determina una aplicació llineal de $T x M$ a $T a x A x$

Estos dos últims punts són prou difícils de precisar,^[14] per lo que les conexions afins es definixen més a sovint de forma infinitesimal. Per a motivar açò, basta considerar el grau d'afinitat en el que el sistema de referència es transforma infinitesimalment sobre el transport paralel. (est és l'orige del sistema de referència mòvil de Cartan). Un sistema de referència afí en un punt consta d'una llista $(p, i 1,\dots i n)$ , a on $p \in A x$ ^[15] i $i i$ formen una base de $T p (A x)$ . La conexió afí ve donada simbòlicament per un sistema diferencial de primer orde.

(*) {\begin{matrix} d p & = θ^{1} 𝐞_{1} + \dots + θ^{n} 𝐞_{n} \\ d 𝐞_{i} & = ω_{i}^{1} 𝐞_{1} + \dots + ω_{i}^{n} 𝐞_{n} \end{matrix} i = 1, 2, \dots, n

definit per una colecció de 1-formes $(θ j, ω Plantilla:La seua)$ . Geomètricament, un marc afí sofrix un desplaçament que es desplaça en una curva $γ$ de $γ (t)$ a $γ (t + δt)$ donada (aproximadament o infinitesimalmente) per

\begin{matrix} p (γ (t + δ t)) - p (γ (t)) & = (θ^{1} (γ^{'} (t)) 𝐞_{1} + \dots + θ^{n} (γ^{'} (t)) 𝐞_{n}) δ t \\ 𝐞_{i} (γ (t + δ t)) - 𝐞_{i} (γ (t)) & = (ω_{i}^{1} (γ^{'} (t)) 𝐞_{1} + \dots + ω_{i}^{n} (γ^{'} (t)) 𝐞_{n}) δ t . \end{matrix}

Ademés, es requerix que els espais afins $A x$ siguen tangentes a $M$ en el sentit informal de que el desplaçament de $a x$ en $γ$ pot identificar-se (aproximadament o infinitesimalmente) en el vector tangente $γ'(t)$ a $γ$ en $x = γ (t)$ (que és el desplaçament infinitesimal de $x$ ) . Des de

a_{x} (γ (t + δ t)) - a_{x} (γ (t)) = θ (γ^{'} (t)) δ t,

a on $θ$ està definit per $θ (X) = θ 1 (X) i 1 + \dots + θ n (X) i n$ , esta identificació ve donada per $θ$ , per lo que el requisit és que $θ$ siga un isomorfisme llineal en cada punt.

L'espai afí tangencial $A x$ s'identifica aixina intuitivamente en una "veïnat afí infinitesimal" de $x$ .

El punt de vista modern fa que tota esta intuïció siga més precisa utilisant fas principals (l'idea essencial és reemplaçar un sistema de referència o un sistema de referència variable per l'espai de tots els sistemes de referències i funcions en este espai). També s'inspira en el programa de Erlangen promogut per Felix Klein^[16] en el que una geometria es definix com un espai homogéneu. L'espai afí és una geometria en este sentit i està equipat en una conexió de Cartan plana. Per lo tant, una varietat afí general es considera una deformació curva de la geometria del model pla de l'espai afí.

Espai afí com a geometria del model pla

Definició d'un espai afí

Informalment, un espai afí és un espai vectorial sense una elecció fixa d'orige. Descriu la geometria de punts i vectores lliures en l'espai. Com a conseqüència de la falta d'orige, els punts en l'espai afí no es poden sumar, ya que açò requerix una elecció d'orige en el qual formar la llei del paralelogramo per a la suma de vectores. No obstant, es pot agregar un vector $v$ a un punt $p$ colocant el punt inicial del vector en $p$ i després transportant $p$ al punt terminal. L'operació $p \to p + v$ aixina descrita és la translació de $p$ en $v$ . En térmens tècnics, l'espai $n$ afí és un conjunt $A n$ equipat en un acció transitiva lliure del grup de vectores $R n$ per mig d'esta operació de translació de punts: $A n$ és, per lo tant, un espai homogéneu principal per al grup de vectores $R n$ .

El grup llineal general $GL(n)$ és el grup de transformacions de $R n$ que preserva la estructura llineal de $R n$ en el sentit de $T (av + bw) = aT (v) + bT (w)$ . Per analogia, el grup afí $Aff(n)$ és el grup de transformacions de $A n$ que preserven la estructura afí. Per lo tant, $φ \in Aff(n)$ deu preservar les translacions en el sentit de que

φ (p + v) = φ (p) + T (v)

a on $T$ és una transformació llineal general. L'aplicació que envia $φ \in Aff(n)$ a $T \in GL(n)$ és un homomorfisme de grups. El seu núcleu és el grup de translacions $R n$ . l'estabilisador de qualsevol punt $p$ en $A$ es pot identificar en $GL(n)$ usant esta proyecció, lo que realisa el grup afí com un producte semidirecto de $GL(n)$ i $R n$ , i l'espai afí com l'espai homogéneu $Aff(n)/GL(n)$ .

Sistemes de referència afins i la conexió afí plana

Un sistema de referència afí per a $A$ consta d'un punt $p \in A$ i una base $(i 1,\dots i n)$ de l'espai vectorial $T p A = R n$ . El grup llineal general $GL(n)$ actua lliurement sobre el conjunt $F A$ de tots els marcs afins fixant $p$ i transformant la base $(i 1,\dots i n)$ de la forma habitual, i el mapa $π$ que envia un sistema de referència afí $(p; i 1,\dots i n)$ a $p$ és la classe d'equivalència. Per lo tant, $F A$ és un $fes GL(n)$ ]] principal sobre $A$ . L'acció de $GL(n)$ s'estén naturalment a una acció transitiva lliure del grup afí $Aff(n)$ sobre $F A$ , de modo que $F A$ és un $Aff(n)$ -torsor, i l'elecció d'un sistema de referència identifica a $F A \to A$ en el fes principal $Aff(n) \to Aff(n)/GL(n)$ .

En $F A$ hi ha una colecció de funcions $n + 1$ definides per

π (p; 𝐞_{1}, \dots, 𝐞_{n}) = p

(com abans) i

ε_{i} (p; 𝐞_{1}, \dots, 𝐞_{n}) = 𝐞_{i} .

Despuix d'elegir un punt base per a $A$ , totes estes són funcions en valors en $R n$ , per lo que és possible prendre els seus derivades exteriors per a obtindre formes diferencials en valors en $R n$ . Ya que les funcions $ε i$ produïxen una base per a $R n$ en cada punt de $F A$ , estes 1-formes deuen poder expressar-se com sumixques de la forma

\begin{matrix} d π & = θ^{1} ε_{1} + \dots + θ^{n} ε_{n} \\ d ε_{i} & = ω_{i}^{1} ε_{1} + \dots + ω_{i}^{n} ε_{n} \end{matrix}

per a alguna colecció $(θ i, ω Plantilla:La seua) 1 \leq i, j, k \leq n$ de formes úniques de valor real en $Aff(n)$ . Este sistema de formes úniques en el fes principal $F A \to A$ definix la conexió afí en $A$ .

Prenent la derivada exterior per segona volta, i utilisant tant el $d 2 = 0$ com l'independència llineal dels $ε i$ , s'obtenen les següents relacions:

\begin{matrix} d θ^{j} - \sum_{i} ω_{i}^{j} \land θ^{i} & = 0 \\ d ω_{i}^{j} - \sum_{k} ω_{k}^{j} \land ω_{i}^{k} & = 0 . \end{matrix}

Estes són les equacions de Maurer-Cartan per al grup de Lie $Aff(n)$ (identificat en $F A$ per l'elecció d'un sistema de referència). Ademés:

El sistema pfaffiano $θ j = 0$ (para tots els $j$ ) és integrable, i les seues varietats integrals són les fibres del fes principal $Aff(n) \to A$ .
El sistema pfaffiano $ω Plantilla:La seua = 0$ (para tots els $i, j$ ) també és integrable, i les seues varietats integrals definixen el transport paralel en $F A$ .

Aixina, les formes $(ω Plantilla:La seua)$ definixen una conexió principal plana en $F A \to A$ .

Per a una comparació estricta en la motivació, en realitat es deuria definir el transport paralel en un fes $Aff(n)$ principal sobre $A$ . Açò es pot fer per mig del reculada $F A$ especificat per l'aplicació suau $φ : R n \times A \to A$ definit per translació. Llavors, l'aplicació composta $φ' * F A \to F A \to A$ és un fes principal $Aff(n)$ sobre $A$ , i les formes $(θ i, ω Plantilla:La seua)$ regredientes donen una conexió principal plana $Aff(n)$ en est fes.

Geometria afins generals: definicions formals

Un espai afí, com ocorre essencialment en qualsevol geometria de Klein suau, és una varietat equipada en una conexió de Cartan plana. S'obtenen fàcilment varietats afins o geometria afins més generals eliminant la condició de planitud expressada per les equacions de Maurer-Cartan. Hi ha vàries formes d'abordar la definició i es donaran dos. Abdós definicions es veuen facilitades per la comprensió de que les 1-formes $(θ i, ω Plantilla:La seua)$ en el model pla encaixen per a donar una 1-forma en valors en l'àlgebra de Lie $aff (n)$ del grup afí $Aff(n)$ .

En estes definicions, $M$ és una varietat $n$ suau i $A = Aff(n)/GL(n)$ és un espai afí de la mateixa dimensió.

Definició per mig de paralelisme absolut

Siga $M$ una varietat i $P$ un fes principal $GL(n)$ sobre $M$ . Llavors, una conexió afí és una 1-forma $η$ en $P$ en valors en $aff (n)$ que satisfan les següents propietats

$η$ és equivariante sobre l'acció de $GL(n)$ sobre $P$ i $aff (n)$
$η (X ξ) = ξ$ para tots els $ξ$ en l'àlgebra de Lie $gl (n)$ de totes les matrius $n \times n$
$η$ és un isomorfisme llineal de cada espai tangente de $P$ en $aff (n)$

L'última condició significa que $η$ és un paralelisme absolut en $P$ , és dir, identifica el fes tangente de $P$ en un fes trivial (en este cas $P \times aff (n)$ ). El parell $(P, η)$ definix l'estructura d'una geometria afí en $M$ , convertint-la en una varietat afí.

L'àlgebra de Lie afí $aff (n)$ es dividix com un producte semidirecto de $R n$ i $gl (n)$ , per lo que $η$ pot escriure's com un parell $(θ, ω)$ a on $θ$ pren valors en $R n$ i $ω$ pren valors en $gl (n)$ . Les condicions 1 i 2 són equivalents a que $ω$ siga una conexió principal $GL(n)$ i $θ$ siga una 1-forma equivariante horisontal, lo que induïx un homorfismo de fes de $T M$ al fibrado associat $P \times GL(n) R n$ . La condició 3 és equivalent al fet de que este homomorfisme de fes és un isomorfisme (encara que esta descomposició és una conseqüència de l'estructura prou especial del grup afí). Ya que $P$ és el fes de sistemes de referència de $P \times GL(n) R n$ , es deduïx que $θ$ proporciona un isomorfisme de fes entre $P$ i el paquet de sistemes de referència $F M$ de $M$ ; açò recupera la definició d'una conexió afí com la conexió principal $GL(n)$ en $F M$ .

Les 1-formes que sorgixen en el model pla són solament les components de $θ$ i $ω$ .

Definició com a conexió afí principal

Una conexió afí sobre $M$ és un fes principal $Aff(n)$ $Q$ sobre $M$ , junt en un subhaz principal $GL(n)$ $P$ de $Q$ i una conexió principal $Aff(n)$ $α$ (una 1-forma en $Q$ en valors en $aff (n)$ ) que satisfà la següent condició de Cartan (genèrica). El component $R n$ de la reculada de $α$ a $P$ és una 1-forma equivariante horisontal i, per lo tant, definix un homomorfisme de fes de $T M$ a $P \times GL(n) R n$ , que es requerix que siga un isomorfisme.

Relació en la motivació

Ya que $Aff(n)$ actua sobre $A$ , hi ha associat al fes principal $Q$ , un fes $A = Q \times Aff(n) A$ , que és un fes de fibres sobre $M$ la fibra de les quals en $x$ en $M$ és un espai afí $A x$ . Una secció $a$ de $A$ (que definix un punt marcat $a x$ en $A x$ per a cada $x \in M$ ) determina un subpaquete principal $GL(n)$ $P$ de $Q$ (com el conjunt d'estabilisadors d'estos punts marcats) i viceversa. La conexió principal $α$ definix una conexió de Ehresmann en est fes, d'ahí la noció de transport paralel. La condició de Cartan assegura que la secció distinguida $a$ sempre es moga baix transport paralel.

Atres propietats

Curvatura i torsió

La curvatura i la torsió són les principals invariantes d'una conexió afí. Aixina com hi ha moltes formes equivalents de definir la noció de conexió afí, també hi ha moltes formes diferents de definir curvatura i torsió.

Des del punt de vista de la conexió de Cartan, la curvatura és el fallo de la conexió afí $η$ per a satisfer l'equació de Maurer-Cartan

d η + \frac{1}{2} [η \land η] = 0,

a on el segon terme en el costat esquerre de l'equació és el producte exterior usant el corchete de Lie en $aff (n)$ per a contraure els valors. En expandir $η$ en el parell $(θ, ω)$ i usar l'estructura de l'àlgebra de Lie $aff (n)$ , este costat esquerre es pot expandir en les dos fòrmules

d θ + ω \land θ and d ω + ω \land ω,

a on els productes de la falca s'evaluen per mig de la multiplicació de matrius. La primera expressió es diu torsió de la conexió i la segona també es diu curvatura.

Estes expressions són 2-formes diferencials en l'espai total d'un fes de sistemes de referència. No obstant, són horisontals i equivariantes i, per lo tant, definixen objectes tensoriales. Estos es poden definir directament a partir de la derivada covariant induïda $\nabla$ en $T M$ de la següent manera.

La torsió ve donada per la fòrmula

T^{\nabla} (X, Y) = \nabla_{X} Y - \nabla_{Y} X - [X, Y] .

Si la torsió desapareix, es diu que la conexió està lliure de torsió o que és simètrica.

La curvatura ve donada per la fòrmula:

R_{X, Y}^{\nabla} Z = \nabla_{X} \nabla_{Y} Z - \nabla_{Y} \nabla_{X} Z - \nabla_{[X, Y]} Z .

Tinga's en conte que $[X, I]$ és el corchete de Lie

[X, Y] = (X^{j} \partial_{j} Y^{i} - Y^{j} \partial_{j} X^{i}) \partial_{i}

segons el conveni de suma d'Einstein. Açò és independent de l'elecció del sistema de coordenades i

\partial_{i} = {(\frac{\partial}{\partial ξ^{i}})}_{p},

és el vector tangente en el punt $p$ de el $i$ º sistema de coordenades. Els $\partial i$ són una base natural per a l'espai tangente en el punt $p$ , i els $X i$ són les coordenades corresponents per al camp vectorial $X = X i \partial i$ .

Quan tant la curvatura com la torsió desapareixen, la conexió definix una estructura d'àlgebra pre de Lie en l'espai de les seccions globals del fes tangente.

Conexió de Levi-Civita

Si $(M, g)$ és una varietat de Riemann, llavors existix una conexió afí única $\nabla$ en $M$ en les dos propietats següents:

La conexió està lliure de torsió, és dir, $T \nabla$ és zero, per lo que $\nabla X I - \nabla I X = [X, I]$

El transport paralel és una isometría, és dir, es conserven els productes interns (definits usant $g$ ) entre vectores tangentes.

Esta conexió es diu conexió de Levi-Civita.

A sovint s'utilisa el terme simètric en lloc de lliure de torsió per a la primera propietat. La segona condició significa que la conexió és una conexió mètrica en el sentit de que la mètrica de Riemann $g$ és paralela: $\nabla g = 0$ . Per a una conexió lliure de torsió, la condició és equivalent a l'identitat $X g (I, Z)$ = $g (\nabla X I, Z)$ + $g (I, \nabla X Z)$ , condició de compatibilitat en la mètrica.^[17] En coordenades locals, les components de la forma es denominen símbols de Christoffel: per la singularitat de la conexió de Levi-Civita, existix una fòrmula per a estes components en térmens de les components de $g$ .

Geodèsiques

Ya que les llínees rectes són un concepte en geometria afí, les conexions afins definixen una noció generalisada de llínees rectes (parametrizadas) en qualsevol varietat afí, cridades geodèsiques afins. En resum, una curva paramètrica $γ : I \to M$ és una llínea recta si el seu vector tangente permaneix paralel i equipolente en si mateixa quan es transporta en $γ$ . Des del punt de vista llineal, una conexió afí $M$ distinguix les geodèsiques afins de la següent manera: una curva suau $γ : I \to M$ és una geodèsica afí si $\dot{γ}$ es transporta paralelament en $γ$ , és dir

τ_{t}^{s} \dot{γ} (s) = \dot{γ} (t)

a on $τ Plantilla:La seua : T γ s M \to T γ t M$ és l'aplicació de transport paralel que definix la conexió.

En térmens de la conexió infinitesimal $\nabla$ , la derivada d'esta equació implica que

\nabla_{\dot{γ} (t)} \dot{γ} (t) = 0

per a tots els $t \in I$ .

Pel contrari, qualsevol solució d'esta equació diferencial produïx una curva el vector de la qual tangente es transporta paralel en la curva. Per a cada $x \in M$ i cada $X \in T x M$ , existix una $γ : I \to M$ geodèsica afí única en $γ (0) = x$ i $γ̇ (0) = X$ i a on $I$ és l'interval obert màxim en $R$ , que conté 0, en el que es definix la geodèsica. Açò es deduïx del teorema de Picard-Lindelöf i permet la definició d'una aplicació exponencial associada a la conexió afí.

En particular, quan $M$ és una (pseudo-)varietat de Riemann i $\nabla$ és la conexió de Levi-Civita, llavors les geodèsiques afins són les llínees geodèsiques habituals de la geometria de Riemann i són les curves que minimisen la distància localment.

Les geodèsiques definides ací a voltes es denominen parametrizadas afins, ya que una llínea recta donada en $M$ determina una curva paramètrica $γ$ a través de la llínea fins a una elecció de reparametrización afí $γ (t) \to γ (at + b)$ , a on $a$ i $b$ són constants. El vector tangente a una geodèsica afí és paralel i equipolente en si mateixa. Una geodèsica no parametrizada, o una que és simplement paralela a sí mateixa sense ser necessàriament equipolente, solament necessita satisfer que

\nabla_{\dot{γ}} \dot{γ} = k \dot{γ}

per a alguna funció $k$ definida en $γ$ . Les geodèsiques no parametrizadas a sovint s'estudien des del punt de vista de la conexió proyectiva.

Desenroll

Una conexió afí definix una noció de desenroll de curves. Intuitivament, el desenroll capta la noció de que si $x t$ és una curva en $M$ , llavors l'espai tangente afí en $x 0$ pot fer-se rodar en la curva. En fer-ho, el punt de contacte marcat entre l'espai tangente i la varietat traça una curva $C t$ en este espai afí: el desenroll de $x t$ .

En térmens formals, siga $τ Plantilla:La seua : T x t M \to T x 0 M$ l'aplicació de transport llineal paralel associat a la conexió afí. Llavors, el desenroll $C t$ és la curva en $T x 0 M$ que comença en 0 i és paralela a la tangente de $x t$ durant tot el temps $t$ :

{\dot{C}}_{t} = τ_{t}^{0} {\dot{x}}_{t}, C_{0} = 0.

En particular, $x t$ és una geodèsica si i solament si el seu desenroll és una llínea recta afínmente parametrizada en $T x 0 M$ .^[18]

Teoria de superfícies revisada

Si $M$ és una superfície en $R 3$ , és fàcil vore que $M$ té una conexió afí natural. Des del punt de vista de la conexió llineal, la derivada covariant d'un camp vectorial es definix diferenciant el camp vectorial, vist com una aplicació de $M$ a $R 3$ , i després proyectant el resultat ortogonalment novament sobre els espais tangentes de $M$ . És fàcil vore que esta conexió afí no té torsió. Ademés, és una conexió mètrica sobre la mètrica de Riemann en $M$ induïda pel producte intern en $R 3$ , per lo que és la conexió de Levi-Civita d'esta mètrica.

Eixemple: l'esfera unitària en l'espai euclídeo

Siga $⟨ , ⟩$ el producte escalar habitual en $R 3$ i siga $S 2$ l'esfera unitària. L'espai tangente a $S 2$ en un punt $x$ s'identifica naturalment en el subespacio vectorial de $R 3$ que consta de tots els vectores ortogonals a $x$ . D'això es deduïx que un camp vectorial $I$ en $S 2$ pot vore's com una aplicació $I : S 2 \to R 3$ que satisfà

⟨ Y_{x}, x ⟩ = 0, \forall x \in 𝐒^{2} .

Denote's com $d I$ el diferencial (matriu jacobiana) de dita aplicació. Llavors, es té que

''Lema. La fòrmula

(\nabla_{Z} Y)_{x} = d Y_{x} (Z_{x}) + ⟨ Z_{x}, Y_{x} ⟩ x

definix una conexió afí en

S 2

en torsió tendent a zero.

Demostració. És senzill demostrar que

\nabla

satisfà l'identitat de Leibniz i és

C \infty (S 2)

llineal en la primera variable. Llavors, tot lo que cal demostrar ací és que l'aplicació anterior efectivament definix un camp vectorial tangente. És dir, es necessita demostrar que para tot

x

en

S 2

⟨ (\nabla_{Z} Y)_{x}, x ⟩ = 0 . (Eq.1)

Considere's l'aplicació

\begin{matrix} f : 𝐒^{2} & \to 𝐑 \\ x & \mapsto ⟨ Y_{x}, x ⟩ . \end{matrix}

L'aplicació f és constant, per lo tant el seu diferencial desapareix. En particular

d f_{x} (Z_{x}) = ⟨ (d Y)_{x} (Z_{x}), x (γ^{'} (t)) ⟩ + ⟨ Y_{x}, Z_{x} ⟩ = 0 .

A continuació es presenta l'equació 1 anterior. Quod erat demonstrandum

Llectures recomanades

Principals referències històriques

(1869).«Über die Transformation der homogenen Differentialausdrücke zweiten Grades».Journal für die regne und angewandte Mathematik.1869(70)

46–70.doi:10.1515/crll.1869.70.46.

(1917).«Nozione vaig donar parallelismo in una varietà qualunque i conseguente specificazione geometrica della curvatura Riemanniana».Rend. Circ. Mat. Palermo.42

173–205.doi:10.1007/bf03014898.

(1923).«Sur els variétés à connexion affine, et la théorie de la relativité généralisée (première partie)».Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure.40

325–412.doi:10.24033/asens.751.

(1924).«Sur els variétés à connexion affine, et la théorie de la relativité généralisée (première partie) (Suite)».Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure.41

1–25.doi:10.24033/asens.753.

(1986).«On Manifolds with Affine Connection and the Theory of General Relativity».Humanities Press.

El tractament de Cartan de les conexions afins motivat per l'estudi de la teoria de la relativitat. Inclou una discussió detallada de la física dels marcs de referència i cóm la conexió reflectix la noció física de transport en un llínea d'univers.

(1926).«Espaces à connexion affine, projective et conforme».Acta Math..48

1–42.doi:10.1007/BF02629755.

Una explicació més motivada matemàticament de les conexions afins.

(1951).«Geometry of Riemannian Spaces».Math Sci Press, Massachusetts..

Conexions afins des del punt de vista de Geometria de Riemann. Els apèndixs de Robert Hermann discutixen la motivació de la teoria de superfícies, aixina com la noció de conexions afins en el sentit modern de Koszul. Desenrolla les propietats bàsiques del operador diferencial ∇ i les relaciona en les conexions afins clàssiques en el sentit de Cartan.

(1918).«Raum, Zeit, Materie».Springer, Berlin.

Referències secundàries

(1996).«Foundations of Differential Geometry, Vols. 1 & 2».Wiley-Interscience..

Esta és la referència principal per als detalls tècnics de l'artícul. El volum 1, capítul III oferix una descripció detallada de les conexions afins des de la perspectiva dels paquets principals en una varietat, transport paralel, desenroll, geodèsiques i operadors diferencials associats. El volum 1, capítul VI, dona conte de les transformacions afins, la torsió i la teoria general de la geodèsia afí. El volum 2 oferix una série d'aplicacions de conexions afins a espai homogéneu i varietat complexa, aixina com a atres temes variats.

Dos artículs de Lumiste, que donen condicions precises sobre aplicacions de transport paralel per a que definixquen conexions afins. També tracten la curvatura, la torsió i atres temes estàndar des d'una perspectiva clàssica (paquet no principal).

(1997).«Differential Geometry: Cartan's Generalization of Klein's Erlangen Program».Springer-Verlag, New York..

Açò completa alguns dels detalls històrics i proporciona un relat elemental més fàcil de llegir sobre les conexions de Cartan en general. L'Apèndix A aclarix la relació entre els punts de vista de la conexió principal i el paralelisme absolut. L'Apèndix B tanca la brecha entre el model clàssic "rodante" de conexions afins i el modern basat en paquets principals i operadors diferencials.

Vore també

Referències

↑ Lee, 1997, p. 51.
↑ Lee, 2018, p. 91.
↑ Una conexió llineal també es denomina freqüentment conexió afí o simplement conexió,^[1] de modo que no hi ha acort sobre les definicions precises d'estos térmens (John M. Llig simplement la crida 'conexió).^[2]
↑ Lee, 2018, Connections.
↑ Akivis y Rosenfeld, 1993, p. 213.
↑ Cartan explica que va prendre prestat este terme (és dir, "conexió afí") del llibre de H. Weyl i es va referir a ell (Espai-Temps-Matèria), encara que ho va usar en un context més general.^[5]
↑ Weyl 1918, 5 editions to 1922.
↑ Cartan 1923.
↑ Com a resultat, molts matemàtics utilisen el terme conexió llineal (en lloc de conexió afí) per a una conexió en el fes tangente, basant-se que el transport paralel és llineal i no afí. No obstant, la mateixa propietat és vàlida per a qualsevol conexió en un fes vectorial (de Koszul o de Ehresmann llineal). Originalment, el terme conexió afí és l'abreviatura de conexió afí en el sentit de Cartan, i açò implica que la conexió es definix en el fes tangente, en lloc d'en un fes vectorial arbitrari. La noció d'una conexió llineal de Cartan en realitat no té molt sentit, perque les representacions llineals no són transitivas.
↑ Cartan 1926.
↑ És difícil fer que l'intuïció de Cartan siga precisa sense invocar l'anàlisis infinitament diferenciable, pero una forma és considerar que els seus punts són variables, és dir, aplicacions d'algun espai de paràmetros invisible a la varietat, que després pot diferenciar-se.
↑ Kobayashi & Nomizu 1996, Volume 1, sections 1.1–1.2
↑ Clásicament, l'espai tangente es vea com una aproximació infinitesimal, mentres que en la geometria diferencial moderna, els espais tangentes a sovint es definixen en térmens d'objectes diferencials com les derivades.^[12]
↑ For details, see Lumiste (2001b). The following intuitive treatment is that of Cartan (1923) and Cartan (1926).
↑ Açò pot considerar-se com una elecció de l'orige: en realitat basta considerar solament el cas $p = a x$ . Cartan implícitament identifica açò en $x$ en $M$ .
↑ Cf. R. Hermann (1983), Apèndix 1–3 a Cartan (1951), i també Sharpe (1997).
↑ Kobayashi & Nomizu 1996, Vol. I
↑ Este tractament del desenroll és de Kobayashi y Nomizu (1996, Volume 1, Proposition III.3.1); vore la secció III.3 per a un tractament més geomètric. Vore també Sharpe (1997) per a una discussió exhaustiva del desenroll en atres situacions geomètriques.

Bibliografia

(1993) Élie Cartan (1869–1951), AMS. ISBN 978-0-8218-5355-9.
Llig, John M. (1997). Riemannian Manifolds: An Introduction to Curvature (vol. 176), New York: Springer-Verlag. OCLC 54850593. ISBN 978-0-387-98322-6.
Lee, John M. (2018). Introduction to Riemannian Manifolds, 2nd edició (vol. 176), Springer Science+Business Mija. doi:10.1007/978-3-319-91755-9. ISBN 978-3-319-91755-9.

Referències

Este artícul conté una traducció derivada de «Conexión afín» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.

[FOOTNOTELee1997{{{c}}}51-1] Lee, 1997, p. 51.

[FOOTNOTELee2018{{{c}}}91-2] Lee, 2018, p. 91.

[3] Una conexió llineal també es denomina freqüentment conexió afí o simplement conexió,^[1] de modo que no hi ha acort sobre les definicions precises d'estos térmens (John M. Llig simplement la crida 'conexió).^[2]

[FOOTNOTELee2018{{{c}}}88Connections-4] Lee, 2018, Connections.

[FOOTNOTEAkivisRosenfeld1993{{{c}}}213-5] Akivis y Rosenfeld, 1993, p. 213.

[6] Cartan explica que va prendre prestat este terme (és dir, "conexió afí") del llibre de H. Weyl i es va referir a ell (Espai-Temps-Matèria), encara que ho va usar en un context més general.^[5]

[7] Weyl 1918, 5 editions to 1922.

[Cartan-affine-8] Cartan 1923.

[9] Com a resultat, molts matemàtics utilisen el terme conexió llineal (en lloc de conexió afí) per a una conexió en el fes tangente, basant-se que el transport paralel és llineal i no afí. No obstant, la mateixa propietat és vàlida per a qualsevol conexió en un fes vectorial (de Koszul o de Ehresmann llineal). Originalment, el terme conexió afí és l'abreviatura de conexió afí en el sentit de Cartan, i açò implica que la conexió es definix en el fes tangente, en lloc d'en un fes vectorial arbitrari. La noció d'una conexió llineal de Cartan en realitat no té molt sentit, perque les representacions llineals no són transitivas.

[10] Cartan 1926.

[11] És difícil fer que l'intuïció de Cartan siga precisa sense invocar l'anàlisis infinitament diferenciable, pero una forma és considerar que els seus punts són variables, és dir, aplicacions d'algun espai de paràmetros invisible a la varietat, que després pot diferenciar-se.

[12] Kobayashi & Nomizu 1996, Volume 1, sections 1.1–1.2

[13] Clásicament, l'espai tangente es vea com una aproximació infinitesimal, mentres que en la geometria diferencial moderna, els espais tangentes a sovint es definixen en térmens d'objectes diferencials com les derivades.^[12]

[14] For details, see Lumiste (2001b). The following intuitive treatment is that of Cartan (1923) and Cartan (1926).

[15] Açò pot considerar-se com una elecció de l'orige: en realitat basta considerar solament el cas $p = a x$ . Cartan implícitament identifica açò en $x$ en $M$ .

[16] Cf. R. Hermann (1983), Apèndix 1–3 a Cartan (1951), i també Sharpe (1997).

[17] Kobayashi & Nomizu 1996, Vol. I

[18] Este tractament del desenroll és de Kobayashi y Nomizu (1996, Volume 1, Proposition III.3.1); vore la secció III.3 per a un tractament més geomètric. Vore també Sharpe (1997) per a una discussió exhaustiva del desenroll en atres situacions geomètriques.

[3]

[4]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[1]

[2]

[5]

[12]