Conexió de Cartan

En matemàtica, la construcció de la conexió de Cartan en geometria diferencial és una generalisació àmplia del concepte de la conexió, basat en una comprensió del paper del grup afí en l'acostament usual. Va ser desenrollat per Élie Cartan, com a part (i com a manera de formular) la seua método de triedro mòvil. Vore també formalisme de Cartan

Definicions casi formals per a fibrados vectorials

Una conexió en un fibrado vectorial és una manera de "distinguir" seccions del fibrado a lo llarc de vectores tangente. Siga ζ: I →→ B un fibrado vectorial sobre una varietat diferenciable B en un espai vectorial F de dimensió n com a fibra. Denotem per ∇_ov una secció d'un fibrado vectorial, el resultat de la diferenciació de la secció del fibrado vectorial v a lo llarc del camp vectorial tangente o. Per a ser una conexió ∇ deu satisfer les identitats següents:

(i) Linealidad ${\mathrm{\nabla }}_u(v_1+v_2)={\mathrm{\nabla }}_u{v}_1+{\mathrm{\nabla }}_u{v}_2$ i ${\mathrm{\nabla }}_{u_1+u_2}v={\mathrm{\nabla }}_{u_1}v+{\mathrm{\nabla }}_{u_2}v$

(ii) Regla de Leibniz ${\mathrm{\nabla }}_u(fv)=df(u)v+f{\mathrm{\nabla }}_{u}v$ i ${\mathrm{\nabla }}_{fu}v=f{\mathrm{\nabla }}_{u}v$ per a qualsevol funció diferenciable $f$

l'eixemple més simple: si el ζ: I = F &claves; B → B és la proyecció, és dir ζ és un fibrado vectorial trivial, llavors qualsevol secció es pot descriure per una funció diferenciable v: B → F. Per lo tant un pot considerar la conexió trivial ∇_ov = ∂v/∂o. Si un té dos conexions ∇ i ∇' en el mateix fibrado vectorial llavors la diferència ω(o, v) = ∇_ov-∇'_ov depén solament dels valors de o i v en un punt, una 1-forma en B a valors en el Hom(F, F); és dir el ω(o, -) ∈ Hom(F, F) i ω es pot descriure com una matriu n &claves; n d'un-formes. En particular un pot elegir una trivialización local del fibrado vectorial i prendre ∇' com a conexió trivial corresponent, llavors ω dona una descripció local completa de ∇.

Si G ∈ GL(F) és el grup estructural del fibrado vectorial llavors la forma ω és una 1-forma en valors en $𝔤$, l'àlgebra de Lie de G. En particular per al fibrado tangente d'una varietat de Riemann tenim O(n) com a grup estructural i per a la forma ω per a la conexió de Levi-Civita és una forma en valors en $𝔰𝔬$(n), l'àlgebra de Lie de O(n) (que es puga pensar com matrius antisimètriques en una base ortonormal, o 2-vectores del fibrado tangente). Esta forma, ω, descriu ∇ d'una manera no invariante; depén de l'elecció de la trivialización local. La construcció següent extrau l'informació invariante de ω.

La 2-forma següent en valors en Hom(F, F) es diu forma de curvatura Ω = dω + ω ∧ ω,

a on d és la derivada exterior i ∧ és producte exterior (falca) (pot semblar una miqueta estranye aplicar el producte exterior a les formes en valors en Hom(F, F), pero treballa de la mateixa manera). La forma de curvatura proporciona la descripció local completa de la conexió fins a una transformació de gauge.

Una volta més, si el G ∈ GL(F) és el grup d'estructura d'un fibrado vectorial llavors la forma Ω és una 2-forma en valors en $𝔤$, l'àlgebra de Lie de G. Per al fibrado tangente d'una varietat diferenciable de Riemann tenim O(n) com el grup d'estructura i Ω és una 2-forma en valors en $𝔰𝔬$(n) (que es pot pensar en com a matrius antisimètriques en una base ortonormal). Esta forma Ω és una descripció equivalent del tensor de curvatura.

Aspectes de la teoria

Va ser desenrollada per Élie Cartan, com a part (i una manera de formular) la seua método del triedro mòvil. Treballa en formes diferencials i aixina que són de caràcter computacional, pero tenen atres dos aspectes importants, abdós més geomètrics.

Una teoria general dels marcs

El primer d'estos mira primer a la teoria de fibrados principals (a la qual un pot cridar la teoria general de marcs).

L'ideal d'una conexió en un fibrado principal per a un grup de Lie G és relativament fàcil de formular, perque en la direcció vertical es pot vore que la senya requerida ve dau traslladant tots els vectores tangente de nou a l'element identitat (en l'àlgebra de Lie), i la definició de la conexió deu agregar simplement un component horisontal, compatible en això. Si G és un tipo de grup afí sobre un atre grup de Lie H - significant que G és un producte semidirecto de H en un grup de la translació vectorial T en el qual H actua, un H-fibrado es pot fer un G-fibrado per la construcció d'un fibrado associat. Hi ha T-fibrado associat, també: un fibrado vectorial, en el qual H actua per automorfismes que devenen automorfismes interiors en G.

El primer tipo de definició en esta disposició és que una conexió de Cartan per a H és un tipo específic de G-conexió principal.

Identificant el fibrado tangente

El segon tipo de definició apunta directament al fibrado tangente T(M) de la varietat diferenciable M assumida com la base. Ací la senya és certa tipo d'identificació del T(M), com fibrado, com els vectores 'verticals ' tangentes en el T-fibrado mencionat abans (a on M està naturalment identificat com la secció nula). Es diu açò el soldaje (la soldadura): ara tenim T(M) dins d'un panorama més ric, expressat per les senyes de transició H-valorats. Un punt important ací, com en la discussió anterior, és que no s'assumix que H actua fidelment en T. Això permet immediatament que els fibrados espinoriales prenguen el seu lloc en la teoria, en H un grup d'espin més be que simplement un grup ortogonal.

Vore també

• Geometria de Riemann
• Relativitat general
• Teleparalelismo