Marque mòvil

Archiu:Frenet-Serret-frame helix around torus.gif

Triedro de Frenet-Serret. Hèliç al voltant d'un bou.

En matemàtiques, un marc mòvil o base mòvil (també cridat n-edro o bastidor) és un objecte matemàtic definit sobre els punts d'una varietat diferenciable. Concretament un marc mòvil o n-edro és un conjunt de n camps vectorials linealmente independents que en cada punt pertanyen a l'espai tangente a la varietat.

Es diuen marcs mòvils perque intutitivamente poden entendre's com un conjunt de vectores que s'assemblen "moure's" sobre una varietat en considerar punts sobre una curva de dita varietat.

Definició formal

Donada una varietat diferenciable $ℳ$ i un punt P en ella, un marc en P ve dau per una base vectorial del espai tangente a $ℳ$ en el punt P. Normalment es consideren marcs de la mateixa dimensió que la varietat a on es definixen. Aixina, si $ℳ$ té dimensió n, un marc ve dau per n vectores ${𝐭}_1,\dots ,{𝐭}_n$ tangentes a la varietat linealmente independents.

Un marc mòvil (de dimensió n) en algun entorn $U\subset ℳ$ de P requerix per tant especificar n camps vectorials diferenciables definits en O tals que siguen linealmente independents en cada punt $Q\in U$.

Aplicacions

Teoria de la Relativitat general

En la teoria de la relativitat general l'espai-temps es representa per una varietat diferenciable lorentziana de 4 diemnsiones $ℳ$. Sobre ella poden considerar-se diversos observadorés diferents que es mouen a velocitats diferents i tenen orientacions dels eixos de mida diferents. Per a poder formalisar la noció d'observador en eixe context es requerix definir un marc mòvil. De fet baixe certes condicions raonables un observador en mecànica relativista queda adequadament caracterisat o representat per un marc mòvil, tal com hem definit el concepte en la secció anterior.

És important notar que en relativitat general, no hi ha manera privilegiada de continuar l'elecció dels ${𝐭}_i$, coneguda en P, als punts pròxims. En contrast en relativitat especial $ℳ$ es pren com un espai vectorial V (de dimensió quatre). En eixe cas els t_i es poden traslladar de P a qualsevol atre punt Q d'una manera ben definida.

En relativitat i en geometria de Riemann, la classe més important de marcs mòvils són els marcs ortogonals i els ortonormals, és dir, els marcs que comprenien conjunts ordenats de vectores normals (unitaris) en cada punt. En un punt donat P un marc general es pot fer ortonormal per ortogonalización; de fet açò es pot fer diferencialment, de modo que l'existència d'un marc mòvil implique l'existència d'un marc ortonormal mòvil.

L'existència d'un marc mòvil està clara, localment en M; pero l'existència global en M requerix condicions topològiques. Per eixemple quan M és un círcul, o més generalment un bou, tals marcs existixen; pero no quan M és una 2-esfera. Una varietat que té un marc mòvil global es diu paralelisable. Note's, per eixemple, cóm les direccions unitàries de latitut i llongitut en la superfície de la terra colapsen com a marcs mòvils en els pols nort i sur.

Método els marcs mòvils

El método de marcs mòvils d'Élie Cartan es basa en prendre un marc mòvil que s'adapte al problema particular que és estudiat. Per eixemple, donada una curva en l'espai, els primers tres vectores derivats de la curva poden en general donar un marc en un punt d'ella (d'ací la clàssica expressió: método del triedro mòvil. cf. torsió per a la forma quantitativa d'açò - s'assumix que la torsió no és zero). Més generalment, el significat abstracte d'un marc mòvil és una secció del fibrado principal para GL_n que és un fibrado associat al fibrado tangente com fibrado vectorial. El método de Cartan general explota açò, i es discutix en conexió de Cartan.