Camp vectorial

Archiu:Electric potential 3D vector field.svg

Camp vectorial

Archiu:Vector field.svg

Eixemple de camp vectorial no conservativo que el seu rotacional no s'anula.

En matemàtica i física, un camp vectorial representa la distribució espacial d'una magnitut vectorial. És una expressió de càlcul vectorial que associa un vector a cada punt en l'espai euclidiano, de la forma $\phi :{ℝ}^n\to {ℝ}^m$.

Els camps vectorials s'utilisen en física, per a representar la velocitat i la direcció d'un decorregut en l'espai, o l'intensitat i la direcció de forças com la gravitatoria o la força electromagnètica.

Com a expressió matemàtica rigorosa, els camps vectorials es definixen en varietats diferenciables com seccions del fibrado tangente de la varietat. Est és el tipo de tractament necessari per a modelizar l'espai-temps curve de la teoria general de la relativitat per eixemple.

Definició

Un camp vectorial sobre un subconjunt del espai euclidiano $X\subseteq {ℝ}^n$ és una funció en valors vectorials:

Es diu que $𝐅$ és un camp vectorial C^k si com a funció és k voltes diferenciable en continuïtat en X. Un camp vectorial es pot visualisar com un espai X en un vector n- dimensional unit a cada punt en X.

Operacions en camps vectorials

Daus dos camps vectorials $C^k$, $F$ i $G$, definits sobre X i una funció C^k a valors reals f definida sobre X, es definixen les operacions producte per escalar i adició:

Per la linealidad de la funció (F+G):

definix el mòdul dels camps vectorials C^k sobre l'anell de les funcions C^k. Alternativament el conjunt de tots els camps vectorials sobre un determinat subconjunt X és en sí mateixa un espai vectorial.

Derivació i potencials escalares i vectores

Els camps vectorials es deuen comparar als camps escalares, que associen un número o escalar a cada punt en l'espai (o a cada punt d'alguna varietat).

Les derivadas d'un camp vectorial, que donen per resultat un camp escalar o un atre camp vectorial, es diuen divergència i rotor respectivament. Recíprocamente:

• Donat un camp vectorial que el seu rotacional s'anula en un punt , existix un camp potencial escalar el gradient del qual coincidix en el camp escalar en un entorn d'eixe punt.
• Donat un camp vectorial solenoidal la divergència del qual s'anula en un punt, existix un camp vectorial cridat potencial vector que el seu rotacional coincidix en el camp escalar en un entorn d'eixe punt.

Estes propietats deriven del teorema de Poincaré.

Punts estacionarios

Un punt $x\in X$ és estacionario si:

El conjunt de tots els espais vectorials definits sobre un subconjunt X, que són estacionarios en un determinat punt formen un subespacio vectorial del conjunt de l'espai vectorial definit en la secció anterior.

Eixemples

• Un camp vectorial per al moviment de l'aire en la terra associarà a cada punt en la superfície de la terra un vector en la velocitat i la direcció del vent en eixe punt. Açò es pot dibuixar usant fleches per a representar el vent; la llongitut (magnitut) de la flecha serà una indicació de la velocitat del vent. Un "Alta" en la funció usual de la pressió baromètrica actuaria aixina com una font (fleches eixint), i un "Baixa" serà un sumidero (fleches que entren), ya que l'aire tendix a moure's des de les àrees d'alta pressió a les àrees de pressió baixa.

Vore també: Teorema de la bola peludaMeteorologia

• Un camp de velocitat d'un líquit mòvil. En este cas, un vector de velocitat s'associa a cada punt en el líquit. En un túnel de vent, les llínees de camp es poden revelar usant fum.

• Campos magnètics. Les llínees de camp es poden revelar usant chicotetes limaduras de ferro.

• Les equacions de Maxwell permeten que utilisem un conjunt donat de condicions inicials per a deduir, per a cada punt en l'espai euclidiano, una magnitut i una direcció per a la força experimentada per una partícula de prova carregada en eixe punt; el camp vectorial que resulta és el camp electromagnètic.

Camp gradient

Els camps vectorials es poden construir a partir de camps escalares usant l'operador diferencial vectorial gradient que dona lloc a la definició següent.

Un camp vectorial C^k F sobre X es diu un camp gradient o camp conservativo si existix una funció C^k+1 a valors reals f: X → R (un camp escalar) de modo que

$𝐅(𝐱)=\mathrm{\nabla }f(𝐱)(𝐱\in X)$

L'integral curvilínea sobre qualsevol curva tancada (i.g. $\gamma (a)=\gamma (b)$) en un camp gradient és sempre zero.

${\oint }_{\gamma }⟨𝐅(𝐱),d𝐱⟩=\underset{a}{\overset{b}{\int }}⟨\mathrm{\nabla }f(𝜸(t)),{𝜸}^{\prime }(t)⟩dt=\underset{a}{\overset{b}{\int }}\frac{d}{dt}f\circ 𝜸(t)dt=f(𝜸(b))-f(𝜸(a))=0$

Camp central

Artícul principal → Camp central.

Un camp vectorial C^∞ sobre $R^n\setminus \{0\}$ es diu camp central si pot trobar-se un punt ${𝐱}_S$ tal que:

A on $O(n,R)$ és el grup ortogonal. Es diu que els camps centrals són invariantes baix transformacions ortogonals al voltant d'un punt S el vector de la qual posició és ${𝐱}_S$. El punt S es diu el centre del camp.

Un camp central és sempre un camp gradient, pels camps centrals poden ser caracterisats més fàcilment per mig de:

A on $U=f(\Vert 𝐱-{𝐱}_S\Vert )$ és una funció potencial que depén només de la distància entre el punt a on es medix el camp i el "centre del camp".

Camp solenoidal

Atres camps vectorials es poden construir a partir d'un camp vectorial usant l'operador diferencial vectorial rotacional que dona lloc a la definició següent.

Un camp vectorial C^k F sobre X es diu un camp solenoidal si existix una funció vectorial C^k+1 A: X → Rⁿ (un camp vectorial) de modo que:

$𝐅(𝐱)=\mathrm{\nabla }\times 𝐀(𝐱)(𝐱\in X)$

l'integral de superfície o fluix qualsevol superfície tancada d'un camp solenoidal és sempre zero.

Vore també

• Camp escalar
• Camp tensorial
• Càlcul vectorial
• Geometria diferencial de curves
• Camp vectorial en coordenades cilíndriques i esfèriques
• Seccions de fibrados vectorials