Camp tensorial

En matemàtiques i física, un camp tensorial assigna un tensor a cada punt d'un espai matemàtic (normalment un espai euclídeo o una varietat). Els camps tensoriales s'utilisen en geometria diferencial, geometria algebraica, relativitat general, en l'anàlisis de tensions i deformacions en materials i en numeroses aplicacions en ciències físiques i ingenieria. Com un tensor és una generalisació d'un escalar (un número pur que representa un valor, per eixemple la celeritat) i un vector (un número pur més una direcció, com la velocitat), un camp tensorial és una generalisació d'un camp escalar o camp vectorial que assigna, respectivament, un escalar o un vector per a cada punt de l'espai. Si un tensor A es definix en un conjunt de camps vectorials X(M) sobre un mòdul M, es denomina camp tensorial A definit en M.

Moltes estructures matemàtiques cridades tensors també són camps tensoriales. Per eixemple, el tensor de curvatura és un camp tensorial, ya que associa un tensor a cada punt d'una varietat de Riemann, que és un espai topològic.

Definició

Siga M una varietat, com per eixemple un pla Rⁿ.

De manera equivalent, és una colecció d'elements T_x ∈ V_x^⊗p ⊗ (V_x^*)^⊗q per a tots els punts x ∈ M, organisant-los per mig d'una aplicació suau T : M → V^⊗p ⊗ (V^*)^⊗q. Els elements T_x es denominen tensorés.

A sovint es pren V = TM com el fibrado tangente de M.

Introducció

Un camp tensorial és aquell en que cada punt de l'espai du associat un tensor. És una assignació d'una aplicació multilineal a cada punt d'un domini de l'espai. En física, també es diu camp tensorial a qualsevol magnitut física que pot ser representada per una assignació del tipo anterior definida sobre una regió de l'espai físic.

Campos tensoriales en matemàtica

Donat una regió oberta i conexa Ω en ${ℝ}^n$ es definix formalment un camp tensorial a una aplicació (secció) els valors de la qual són tensors:

A on T_r^s és el conjunt de tensors r voltes covariants i s voltes contravariantes. Diem que T és un camp vectorial C^k si T és k voltes contínuament diferenciable en Ω. Observe's que:

1. Si (r, s) = (0,0) el camp tensorial és un camp escalar convencional.
2. Si (r, s) = (1,0) o (0,1) el camp tensorial és un camp vectorial convencional.
3. Si r+s = 2 el camp tensorial es pot visualisar com un espai n-dimensional en una matriu de n×n unida a cada punt de Ω.

Campos tensoriales en física

Diverses magntiudes físiques vénen representades per un camp tensorial, alguns eixemples són:

• Camp electromagnètic, en electrodinàmica clàssica.
• Camp gravitatorio, en teoria de la relativitat general.
• Camp de tensions d'un sòlit, en mecànica de sòlits.

Interpretació geomètrica

Intuitivament, un camp vectorial es visualisa millor com una flecha adjunta a cada punt d'una regió, en llongitut i direcció variables. Un eixemple d'un camp vectorial en un espai curvat és un mapa meteorològic que mostra la velocitat horisontal del vent en cada punt de la superfície de la Terra.

Consideren-se ara camps més complicats. Per eixemple, si la varietat és riemanniana, llavors té un camp mètric $g$, de modo que donats dos vectores qualssevol $v,w$ en el punt $x$, el seu producte intern és $g_x(v,w)$. El camp $g$ podria donar-se en forma matricial, pero depén d'una elecció de coordenades. En canvi, podria expressar-se com un elipsoide de radi 1 en cada punt, que no té coordenades. Aplicat a la superfície de la Terra, açò és l'indicatriz de Tissot.

En general, es desija especificar camps tensoriales de forma independent de les coordenades: deuen existir independentment de la latitut i de la llongitut, o de qualsevol proyecció cartogràfica particular que s'estiga usant per a introduir coordenades numèriques.