Varietat (matemàtiques)

En matemàtica, una varietat és l'objecte geomètric estàndart que generalisa la noció intuïtiva de «curva» (1-varietat) i de «superfície» (2-varietat) a qualsevol dimensió i sobre cossos diversos (no solament el dels reals, sino també complexos i matriciales).

Erro al crear miniatura:

En una esfera, la suma dels ànguls d'un triàngul no és igual a 180°, puix la superfície d'una esfera no és un espai euclídeo. No obstant, localment, les lleis de la geometria euclídea són bones aproximacions. Este eixemple ilustra cóm l'esfera pot ser representada per una colecció de mapes bidimensionales. L'esfera és, per tant, una varietat, en concret, una varietat riemanniana.

Una miqueta més formalment, una varietat de dimensió $n$ és un espai que s'assembla localment a ${ℝ}^n$. Una varietat pot ser vista com un objecte compost de pegats $n$-dimensionals pegats topológicamente (vore varietat diferenciable).

Una varietat es diu tancada si no té vora i és compacta.

Un camp d'investigació molt actiu és l'estudi de les 3-varietats, que pertany a l'àrea de la topología de dimensions baixes.

Introducció

Els mapes (o cartes)

Quan nos desplacem per l'esfera terrestre nos orientem utilisant mapas plans reunits en un atles. En el llímit de cada mapa figura l'informació necessària per a «pegar» mentalment el mapa següent. Per a poder fer-ho, és necessària una certa redundància en l'informació: aixina, tant el mapa d'Europa com el d'Àsia poden contindre Moscou. D'un modo similar, en matemàtica és possible descriure una varietat utilisant una colecció de «mapes» o «cartes» reunits en un «atles» i indicant cóm passar d'un mapa a un atre. El globo terrestre és un eixemple típic de varietat, puix pot ser representat per una colecció de mapes geogràfics.

Un mapa és una porció de la varietat anàloga a un espai vectorial; els canvis de mapa indiquen cóm estes porcions de varietats s'acoplen entre sí. Aixina, per a descriure un círcul és possible prendre com a mapes dos arcs superposts.

En general no és possible descriure una varietat a partir d'un sol mapa, puix l'estructura global de la varietat és diferent de l'estructura simple de l'espai modele. Per eixemple, cap mapa pla pot descriure convenientment tota la Terra. Les varietats apareixen com a espais topològics i les seues topología només estan determinades per la situació dels seus respectius mapes.

Definició

Una varietat n-dimensional M és un conjunt dotat d'una colecció P de «cartes abstractes» (funcions un a un x de D en M, a on D és un conjunt obert d'un espai euclídeo de n dimensions, I(n)) tal que

1) M està coberta per les imàgens de les cartes de la colecció P.

2) Per a dos cartes qualssevol x, i de la colecció P, les funcions i^-1x i x^-1i són euclídeamente diferenciables (i estan definides en conjunts oberts d'I(n) ).

Per lo tant una superfície és lo mateix que una varietat bidimensional. L'espai euclídeo I(n) és una varietat n-dimensional molt especial ya que la seua colecció de cartes consistix solament en la funció identitat.

Dimensió i topología de les varietats

Figura 2. Eixemples de curves : ■ círculs, ■ paràboles, ■ hipérboles, ■ cúbiques.

La primera noció relacionada en la varietat és la seua dimensió. La dimensió designa el número de paràmetros independents que és necessari fixar per a situar localment a un punt sobre la varietat.

• Les curvas són varietats de dimensió un.
• En una superfície, són necessàries dos coordenades. Sobre l'esfera terrestre, per eixemple, serà necessari precisar la latitut i la llongitut.

• Existixen numeroses varietats de dimensió superior a dos. Estes varietats són representables gràficament de manera complexa, per a això, per eixemple s'usen diagrames de Heegaard o diagrames Freedman-Kirby.

Totes les varietats en una mateixa dimensió n — o n-varietats — tenen la mateixa topología local. Aixina, una chicoteta porció de la curva és anàloga a una recta i una chicoteta porció de superfície és anàloga a un pla. No obstant, les varietats es distinguixen pel seu aspecte global. Per eixemple, en la figura 2 la varietat roja està formada per dos círculs, i resulta visiblement impossible deformar-la de manera contínua per a obtindre una de les atres tres curves. De la mateixa manera, una esfera i un bou no s'assemblen topológicament. En general, la topología global pot complicar-se per la presència de forats, torres, etc.

Varietat abstracta i subvariedad

Figura 4. Botella de Klein.

Existixen numerosos subconjunts de l'espai tridimensional que poden tindre una estructura de varietats: el círcul, el cilindre, l'esfera, la cinta de Möbius etc. Estos subconjunts es denominen subvariedades.

Existixen també les denominades varietats abstractes, com la botella de Klein representada en la figura 4. La botella de Klein pot ser descrita per un sistema de mapes i coordenades representat per la ret de meridianos i paralels de la figura.

El teorema d'immersió de Whitney mostra que tota varietat abstracta de dimensió n pot realisar-se com subvariedad d'un espai de dimensió suficientment gran (2n). Aixina, la botella de Klein no pot representar-se en l'espai de tres dimensions, pero forma una subvariedad de l'espai de quatre dimensions.

En 1851 Bernhard Riemann va oferir la primera definició de varietat, a la que va denominar Mannigfaltigkeit'

Vore també: Història de la Geometria

Les varietats de Riemann

Bernhard Riemann va ser el primer matemàtic que va estendre sistemàticament la noció de superfície als objectes de majors dimensions, als que va cridar Mannigfaltigkeit. D'este vocable procedix l'anglés manifold. Riemann oferix una descripció intuïtiva de varietat, considerant una varietat de dimensió n com un «apilamiento» continu de varietats de dimensió n-1. En l'accepció moderna de varietat, esta descripció intuïtiva només és vàlida localment, és dir, en l'entorn de cada punt de la varietat. Riemann utilisa este concepte per a descriure el conjunt de valors d'una variable somesa a certes restriccions, com el conjunt dels paràmetros que descriuen la posició d'una figura en l'espai.

A partir de llavors, les varietats escomencen a aplicar-se en numerosos dominis. En matemàtica, s'apliquen a l'estudi de la prolongació analítica i de les varietats abelianas en anàlisis complex i a l'estudi dels flots diferenciables en l'aplicació de premier retour de Poincaré. En física, les varietats s'apliquen a la definició de les mecàniques hamiltoniana i lagrangiana. En 1904, en estudiar les varietats de dimensió 3, Henri Poincaré descobrix un dels problemes més célebres de la teoria de les varietats, la conjectura de Poincaré, demostrada per Grigori Perelmán i validada en juny de 2006.

A pesar de la seua popularitat, la noció de varietat va seguir sent borrosa. En 1912 Hermann Weyl va oferir una descripció intrínseca de les varietats diferenciables. Les publicacions dels anys 30, en ocasió de la prova de la teorema d'immersió per Hassler Whitney, varen deixar ben establit el concepte.

Eixemple: el círcul

Erro al crear miniatura:

Figura 1.

Despuix de la recta real, l'eixemple més simple de varietat és la circumferència. Existixen dos maneres d'introduir-ho: ací anem a pensar en una circumferència traçada en el pla euclídeo ${ℝ}^2$, tenint com a coordenades x i i. Supondrem que es tracta d'una circumferència de centre (0,0) i de radi 1. Tal circumferència està definida implícitament per l'equació $x^2+y^2=1$.

Primer atles

Localment, la circumferència sembla una llínea, que té una sola dimensió. En atres térmens, una sola coordenada és suficient per a descriure un chicotet arc de circumferència. Considerem, per eixemple, la part superior de la circumferència, per a la que la coordenada i és positiva (la part groga en la figura 1). Qualsevol punt d'esta part pot ser descrit per la coordenada x. Existix, per lo tant, un homeomorfisme χ_daltentre la part groga de la circumferència i l'interval obert [−1, 1] que representa cada punt de la circumferència per la seua primera coordenada:

${\chi }_{\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{r}\mathrm{i}\mathrm{b}\mathrm{a}}(x,y)=x.$

A tal funció se li denomina un mapa o carta. De la mateixa manera, existixen mapes per a les parts inferiors (roig), esquerra (blava) i dreta (verda) de la circumferència. Juntes, totes elles recobrixen la totalitat de la circumferència i, es diu, que els quatre mapes conformen un atles d'eixa circumferència.

Els dos mapes superior i esquerre se superponen. La seua intersecció se situa en el quarto de circumferència a on les coordenades x i i són, respectivament, negativa i positiva. El mapa χ_dalt realisa una biyección que en (x,i) associa x, partint de la zona de superposició cap a l'interval [-1,0]. El mapa χ_esquerra pel que (x,i) dona i associa a esta mateixa zona de superposició l'interval [0,1]. D'esta manera, és possible crear una funció T de l'interval [-1,0] cap a [0,1]:

$T_{\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{r}\mathrm{i}\mathrm{b}\mathrm{a}\to \mathrm{i}\mathrm{z}\mathrm{q}\mathrm{u}\mathrm{i}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{d}\mathrm{a}}(x)={\chi }_{\mathrm{i}\mathrm{z}\mathrm{q}\mathrm{u}\mathrm{i}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{d}\mathrm{a}}({\chi }_{\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{r}\mathrm{i}\mathrm{b}\mathrm{a}}^{-1}(x))={\chi }_{\mathrm{i}\mathrm{z}\mathrm{q}\mathrm{u}\mathrm{i}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{d}\mathrm{a}}(x,\sqrt{1-x^2})=\sqrt{1-x^2}.$

Tal funció es diu aplicació de canvi de mapa, de canvi de cartes o simplement de transició. Permet passar del sistema de coordenades x elegit per al primer mapa al sistema de coordenades i elegit per al segon.

Segon atles

Erro al crear miniatura:

L'aplicació pendent forma un mapa que descriu tots els punts de la circumferència llevat un.

Els mapes superior, inferior, dret i esquerre mostren que la circumferència és una varietat, pero no conformen l'únic atles possible. Els mapes no tenen per qué ser proyeccions geomètriques i el seu número és pràcticament arbitrari.

He ací un atre eixemple de descripció d'una circumferència. Si prenem com a punt de base el punt de coordenades (-1, 0) i tracem diferents rectes des d'eixe punt; la recta dreta de pendent s curta a la circumferència en un punt únic. La correspondència entre la pendent de la dreta i les coordenades d'un punt d'intersecció és en un sentit:

${\chi }_{\mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{o}\mathrm{s}}(x,y)=s=\frac{y}{1+x}$ ;

i en l'atre:

$x=\frac{1-s^2}{1+s^2},y=\frac{2s}{1+s^2};$.

Este primer mapa descriu tots els punts de la circumferència llevat el punt de base.

Per a construir el segon mapa fem una simetria prenent com a punt de base (+1, 0) i com a pendent t en:

${\chi }_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{s}}(x,y)=t=\frac{y}{1-x}$.

Estos dos mapes proporcionen un segon atles de la circumferència, tenint per aplicació de canvi de mapa

$t=\frac{-1}{s}=\phi (s)$.

Cada mapa omet un sol punt, siga (−1,0) per a s o (+1,0) per a t, de modo que cap mapa solament pot descriure completament la circumferència.

Conclusió

Hem vist que els dos atles presentats són compatibles, és dir, que agrupant els quatre mapes del primer i els dos del segon, obtenim un nou atles, encara més redundante. Cada u d'ells, aixina com l'atles global, definixen la mateixa noció d'orientació (repérage) per mapa i coordenades locals, és dir, la mateixa estructura de varietat. Més alvance, es mostrarà cóm el resultat de l'equació $x^2+y^2=1$ permet també crear sistemes de mapes locals adaptats.

A partir d'estos eixemples, podem comprovar la flexibilitat que nos permet l'utilisació de mapes: disponem d'una varietat infinita d'atles compatibles sobre la circumferència. La nostra elecció dependrà de la geometria del problema estudiat. No obstant, podem demostrar topológicamente que un sol mapa no podrà jamai cobrir la totalitat de la circumferència.

Referències

• Freedman, Michael H and Quinn, Frank, Topology of 4-Manifolds, Princeton University Press (1990).
• Guillemin, Victor and Pollack, Alan, Differential Topology, Prentice-Hall (1974), ISBN 0-13-212605-2.
• Hempel, John, 3-Manifolds, Princeton University Press (1976).
• Hirsch, Morris, Differential Topology, Springer (1997), ISBN 0-387-90148-5.
• Kirby, Robion C. and Siebenmann, Laurence C., Foundational Essays on Topological Manifolds. Smoothings, and Triangulations. Princeton, New Jersey: Princeton University Press (1977), ISBN 0-691-08190-5.
• Lee, John M., Introduction to Topological Manifolds, Springer-Verlag, New York (2000), ISBN 0-387-98759-2. Introduction to Smooth Manifolds, Springer-Verlag, New York (2003) ISBN 0-387-95495-3.
• Massey, William S., Algebraic Topology: An Introduction, Harcourt, Brace & World, 1967.
• Milnor, John, Topology from the Differentiable Viewpoint, Princeton University Press, (revised, 1997), ISBN 0-691-04833-9.
• Munkres, James R., Topology, Prentice Hall, (2000) ISBN 0-13-181629-2.
• Neuwirth, L. P., editor, Knots, Groups, and 3-Manifolds. Papers Dedicated to the Memory of R. H. Fox, Princeton University Press, (1975).
• Spivak, Michael, Calculus on Manifolds: A Modern Approach to Classical Theorems of Advanced Calculus. HarperCollins Publishers (1965), ISBN 0-8053-9021-9.
• Munkres, James R., "Topología" PEARSON EDUCACIÓN S.A.,(2.ª edició) ISBN 84-205-3180-4 (en espanyol),

Vore també

• Conjectura de Poincaré.

Matemàtics

Geómetras que varen estudiar la topología de varietats:

• Riemann
• Hermann Weyl
• Shiing-Shen Chern