Conjectura de Poincaré

En matemàtiques, i en més exactitut en topología, la teorema de Poincaré (anteriorment cridat conjectura de Poincaré o hipòtesis de Poincaré) és un resultat sobre l'esfera cuatridimensional (la 3-esfera); la hipòtesis va deixar de ser una conjectura per a convertir-se en un teorema despuix de la seua demostració matemàtica en 2006 pel matemàtic Grigori Perelmán. La teorema sosté que l'esfera cuatridimensional, també cridada 3-esfera o hiperesfera, és l'única varietat compacta cuatridimensional en la que tot llaç o círcul tancat (1-esfera) es pot deformar (transformar) en un punt. Este últim enunciat és equivalent a dir que solament hi ha una varietat tancada i simplement conexa de dimensió 3: l'esfera cuatridimensional.

Concepte i història

Henri Poincaré (1854-1912), destacat matemàtic francés, conegut per les seues contribucions a la teoria del caos i la topología

La superfície d'un baló de fútbol, per eixemple, és casi un eixemple de varietat de dimensió 2, una 2-esfera; ho podem manipular com vullgam, donant-li diferents formes, pero sense trencar-ho, i seguirà sent una 2-esfera. El criteri per a comprovar si una varietat és una 2-esfera és molt senzill: imagine's una banda elàstica tremendament deformable recolzada sobre la superfície del baló; si la goma es pot comprimir (sense eixir-se de la superfície) fins a ocupar un sol punt, i açò en qualsevol part de la superfície, el baló és una 2-esfera i es diu que és simplement conexa.

El problema de classificar les varietats en l'espai usant com a criteri de classificació el concepte d'homeomorfisme va ser resolt en el XIX. Aixina, l'esfera és una varietat de dimensió 2 (cada tros chicotet de l'esfera és un chicotet tros de pla llaugerament deformat), tancada i simplement conexa i es va establir que tota varietat de dimensió 2, tancada i simplement conexa és homeomorfa a l'esfera. Dit d'un atre modo: només hi ha una varietat (homeomórfica) de dimensió n=2, tancada i simplement conexa, i es tracta de l'esfera (i les seues homeomorfos).

Més tècnicament, en 1904, el matemàtic francés Henri Poincaré (1854-1912) conjeturó que el resultat obtingut per a l'esfera n=2 de l'espai de dimensió 3 tenia un anàlec per a l'esfera n=3 de l'espai de dimensió 4. En atres paraules, en l'espai de dimensió 4, tota varietat de dimensió n=3, tancada i simplement conexa, seria homeomorfa a l'esfera de dimensió n=3. Pero Poincaré no va conseguir provar la seua conjectura. Tampoc cap dels seus contemporàneus ni successors. En el temps, la conjectura de Poincaré va cobrar interés fins a convertir-se en el problema obert més notable de la topología geomètrica, en destacables implicacions per a la Física. Més encara, va aplegar a convertir-se en un dels problemes sense resoldre més importants de la matemàtica.

Per a dimensió dos ya va ser demostrada en el XIX. Per a n=5, va haver d'esperar fins a 1961, quan ho va fer Erik Christopher Zeeman. Eixe mateix any, Stephen Smale ho va conseguir per a n igual o major que 7 i, en 1962, John R. Stallings per al cas n=6. Els casos n=3 i n=4 es resistien i va caldre esperar a 1986 quan,el nortamericà Michael Hartley Freedman, va conseguir demostrar el cas n=4. El problema és que, resolt en èxit per a totes les demés dimensions, el cas original n=3, plantejat per Poincaré, es resistia denodadamente a qualsevol demostració matemàtica fins que el matemàtic rus Grigori Perelmán va fer pública el seu ardit publicant la seua demostració.

Henri Poincaré va establir dita conjectura en 1904, indicant que l'esfera tridimensional era única i que cap de les atres varietats tridimensionals compartien les seues propietats.

Resolució de l'hipòtesis

Grigori Perelmán

Grigori Perelmán va resoldre l'hipòtesis de Poincaré. Justament per resoldre este problema, Perelmán havia rebut en 2006 la medalla Fields, considerada el Nobel de la matemàtica, un atre premi que també va rebujar.

L'hipòtesis de Poincaré, abans de ser provada, va ser una de les qüestions obertes més importants en topología. En 2000, es va nomenar com un dels sèt Problemes del Mileni, pels que l'Institut Clay de Matemàtiques va oferir un premi d'1 milló de dólars a la primera solució correcta. El treball de Perelman va sobreviure a la revisió i va ser confirmat en 2006, per lo que se li va oferir una Medalla Fields, que va rebujar. Perelman va rebre el Premi Millennium el 18 de març de 2010. L'1 de juliol de 2010, va rebujar el premi, dient que creïa que la seua contribució per a demostrar que la conjectura de Poincaré no era major que la d'Hamilton. La conjectura de Poincaré és l'únic problema del Mileni resolt.

Perelman va demostrar la conjectura deformant la varietat per mig del fluix de Ricci (que es comporta de forma similar a l'equació de la calor que descriu la difusió de la calor a través d'un objecte). El fluix de Ricci sol deformar la varietat cap a una forma més redonejada, llevat en alguns casos en els que estira la varietat separant-la de sí mateixa cap a lo que es coneix com singularitats. Perelman i Hamilton tallen llavors la varietat en les singularitats (un procés cridat "cirugia"), fent que les peces separades adquirixquen formes esfèriques. Els principals passos de la demostració consistixen en mostrar cóm es comporten les varietats quan són deformades pel fluix de Ricci, examinar qué tipo de singularitats es desenrollen, determinar si este procés de cirugia pot completar-se i establir que la cirugia no necessita repetir-se infinites voltes.

El primer pas consistix en deformar la varietat per mig del fluix de Ricci. El fluix de Ricci va ser definit per Richard S. Hamilton com una forma de deformar varietats. La fòrmula del fluix de Ricci és una imitació de l'equació de la calor, que descriu la forma en que fluïx la calor en un sòlit. De la mateixa manera que el fluix de calor, el fluix de Ricci tendix cap a un comportament uniforme. A diferència del fluix de calor, el fluix de Ricci podria trobar-se en singularitats i deixar de funcionar. Una singularitat en una varietat és un lloc a on no és diferenciable: com un cantó o un cim o un pessic. El fluix de Ricci només es va definir per a varietats suaus i diferenciables. Hamilton va utilisar el fluix de Ricci per a demostrar que algunes varietats compactes eren difeomorfas a esferes, i esperava aplicar-ho per a demostrar la conjectura de Poincaré. Necessitava comprendre les singularitats.

Hamilton va crear una llista de les possibles singularitats que podrien formar-se, pero li preocupava que algunes singularitats pogueren plantejar dificultats. Volia tallar el colector en les singularitats i pegar tapes i després eixecutar el fluix de Ricci de nou, per lo que necessitava entendre les singularitats i demostrar que certs tipos de singularitats no es produïxen. Perelman va descobrir que les singularitats eren totes molt simples: essencialment cilindres tridimensionals formats per esferes estirades a lo llarc d'una llínea. Un cilindre ordinari es fa prenent círculs estirats a lo llarc d'una llínea. Perelman ho va demostrar utilisant alguna cosa cridat "volum reduït", que està estretament relacionat en un valor propi d'una certa equació elíptica.

A voltes, una operació complicada es reduïx a la multiplicació per un escalar (un número). Tals números es diuen valors propis d'eixa operació. Els valors propis estan estretament relacionats en les freqüències de vibració i s'utilisen en l'anàlisis d'un famós problema: ¿pots sentir la forma d'un tambor? Essencialment, un valor propi és com una nota que toca la varietat. Perelman va demostrar que esta nota puja a mida que la varietat és deformada pel fluix de Ricci. Açò li va ajudar a eliminar algunes de les singularitats més problemàtiques que havien preocupat a Hamilton, en particular la solució del solitón cigarro, que semblava un bri que descollava d'una varietat sense res a l'atre costat. En essència, Perelman va demostrar que tots els bri que es formen poden tallar-se i tapar-se i que cap descolla per un sol costat.

Per a completar la prova, Perelman pren qualsevol varietat tridimensional compacta, simplement conexa i sense llímits, i comença a eixecutar el fluix de Ricci. Açò deforma la varietat en trossos redons en fils que corren entre ells. Talla els filaments i seguix deformant la varietat fins que, finalment, es queda en una colecció d'esferes redones tridimensionals. A continuació, reconstruïx la varietat original conectant les esferes entre sí per mig de cilindres tridimensionals, els transforma en una forma redona i comprova que, a pesar de tota la confusió inicial, la varietat era, de fet, homeomorfa a una esfera.

Una pregunta immediata que es va plantejar va ser cóm es podia estar segur de que no són necessaris infinits corts. Açò es va plantejar degut a que el tall podria progressar eternament. Perelman va demostrar que açò no pot ocórrer utilisant superfícies mínimes en la varietat. Una superfície mínima és essencialment una película de sabó. Hamilton havia demostrat que l'àrea d'una superfície mínima disminuïx a mida que la varietat experimenta el fluix de Ricci. Perelman va verificar lo que ocorria en l'àrea de la superfície mínima quan la varietat es rebanaba. Va demostrar que, finalment, l'àrea és tan chicoteta que qualsevol cort en acabant de que l'àrea siga tan chicoteta només pot estar tallant esferes tridimensionals i no peces més complicades. Açò és descrit com una batalla en una Hidra per Christina Sormani en el llibre de Szpiro citat més avall. Esta última part de la prova va aparéixer en el tercer i últim artícul de Perelman sobre el tema.

Demostració de la conjectura

Archiu:Caps block 6 2all.jpg

En un esfera-2 ordinària, qualsevol llaç es pot apretar contínuament fins a convertir-se en un punt en la superfície. ¿Esta condició caracterisa l'esfera-2? La resposta és sí, i es coneix des de molt temps arrere. La conjectura de Poincaré fa la mateixa pregunta per a l'esfera-3, no visualisable. Grigori Perelmán va provar la veracitat d'eixa conjectura.

L'enunciat no va poder ser resolt durant un sigle i la seua demostració va ser considerada un d'els sèt problemes del mileni proposts pel Clay Mathematics Institute.

El matemàtic rus Grigori Perelmán va anunciar haver-ho fet en 2002 a través de dos publicacions en internet.

El 5 de juny de 2006 els matemàtics chinencs Zhu Xiping i Cao Huaidong varen anunciar la demostració completa, basant-se en els treballs preliminars de Perelmán (estos sí publicats en revistes especialisades), lo que, una volta realisada la seua validació per la comunitat matemàtica, donaria fi a la classificació completa de les estructures topològiques de dimensió tres o tridimensionals. No obstant, una gran part de la comunitat matemàtica pensa que la demostració correspon a Perelmán i considera el treball dels matemàtics chinencs com un plagi. L'Acadèmia Chinenca de Ciències, en defensa de Zhu Xiping i Cao Huaidong, va afirmar que el rus «va establir les llínees generals per a provar la conjectura, pero no va dir específicament cóm resoldre l'enigma».

Finalment, es va reconéixer el treball de Perelmán quan se li va otorgar la Medalla Fields en el marc de el XXV Congrés Internacional de Matemàtics (ICM2006 [1] archivat en Wayback Machine.), en sèu en Madrit, en agost de 2006. Perelmán no es va presentar al Congrés de Madrit i va rebujar la medalla. No concedix entrevistes, llevat excepcions, com en un semanari nortamericà (The New Yorker), a on va assegurar no voler ser una «mascota» en el món de la matemàtica, estimant que no necessita un atre reconeiximent a banda de la validea del seu treball.

Fluix de Ricci en operació

El programa d'Hamilton per a demostrar la conjectura de Poincaré consistix en posar primer una mètrica riemanniana en el tercer manifold tancat simplement conectat desconegut. L'idea bàsica és intentar "millorar" esta mètrica; per eixemple, si la mètrica pot millorar-se lo suficient com per a que tinga curvatura positiva constant, llavors, segons els resultats clàssics de la geometria de Riemann, deu ser la 3-esfera. Hamilton va prescriure les "equacions del fluix de Ricci" per a millorar la mètrica;

${\partial }_t{g}_{ij}=-2R_{ij}$

a on g és la mètrica i R la seua curvatura de Ricci, i s'espera que, a mida que aumente el temps t, la varietat siga més fàcil d'entendre. El fluix de Ricci expandix la part de curvatura negativa de la varietat i contrau la part de curvatura positiva.

En alguns casos, Hamilton va ser capaç de demostrar que açò funciona; per eixemple, el seu alvanç original va consistir en demostrar que si la varietat riemanniana té curvatura de Ricci positiva en tots els llocs, llavors el procediment anterior només pot seguir-se per a un interval acotat de valors dels paràmetros, $t\in [0,T)$ en $T<\mathrm{\infty }$, i més significativament, que existixen números $c_t$ tals que a mida que $t\nearrow T$, la mètrica riemanniana $c_{t}g(t)$ convergix suaument a una de curvatura positiva constant. Segons la geometria riemanniana clàssica, l'única varietat compacta simplement conectada que pot soportar una mètrica riemanniana de curvatura positiva constant és l'esfera. Aixina que, en efecte, Hamilton va demostrar un cas especial de la conjectura de Poincaré: si una 3-múltiple compactar simplement conectada admet una mètrica riemanniana de curvatura de Ricci positiva, llavors deu ser difeomorfa a la 3-esfera.

Si, pel contrari, només es té una mètrica riemanniana arbitrària, les equacions del fluix de Ricci deuen conduir a singularitats més complicades. El major guany de Perelman va ser demostrar que, si s'adopta certa perspectiva, si apareixen en un temps finito, estes singularitats només poden semblar esferes o cilindres que s'encullen. En una comprensió quantitativa d'este fenomen, va tallar la múltiple a lo llarc de les singularitats, dividint la múltiple en varis trossos i després va continuar en el fluix de Ricci en cada u d'estos trossos. Este procediment es coneix com a fluix de Ricci en cirugia.

Perelman va proporcionar un argument independent basat en el fluix d'acurtada de curves per a demostrar que, en una 3-manifold compactar simplement conectada, qualsevol solució del fluix de Ricci en cirugia s'extinguix en un temps finito. Un argument alternatiu, basat en la teoria min-max de superfícies mínimes i en la teoria geomètrica de mides, va ser proporcionat per Tobias Colding i William Minicozzi. Per lo tant, en el context simplement conectat, el fenomen de temps finito anterior del fluix de Ricci en la cirugia és tot lo que és rellevant. De fet, açò és cert inclús si el grup fonamental és un producte lliure de grups finitos i grups cíclicos.

Esta condició sobre el grup fonamental resulta ser necessària i suficient per a l'extinció en temps finito. Equival a dir que la descomposició primera del colector no té components acíclics i resulta ser equivalent a la condició de que totes les peces geomètriques del colector tenen geometria basades en les dos geometria de Thurston S²×R i S³. En el context en el que no es fa cap suposició sobre el grup fonamental, Perelman va fer un estudi tècnic adicional del llímit de la varietat per a temps infinitament grans i, en fer-ho, va demostrar la conjectura de geometrización de Thurston: a temps grans, la varietat té una «descomposició grossa-prima», la part grossa de la qual té una estructura hiperbòlica i la part prima de la qual és una varietat gràfica. No obstant, pels resultats de Perelman i Colding i Minicozzi, estos resultats adicionals són innecessaris per a demostrar la conjectura de Poincaré.

Vore també

• Els sèt problemes del mileni

Enllaços externs

• Maticias(2003). ¿Demostrada la Conjectura de Poincaré?
• Gaussianos(2006). la-teorema-de-poincare-perelman/ Explicació de la Teorema de Poincaré-Perelman
• El País.com [Vicente Miquel Molina](2006). La conjectura de Poincaré en el Congrés de Madrit
• El Temps.com/Ciència(2006). Un matemàtic rus va rebujar la medalla Fields, el màxim guardó en matemàtica
• Notícia sobre la publicació de la demostració