Fluix de Ricci

Vàries etapes del fluix de Ricci en una varietat 2D.

En geometria diferencial, el fluix de Ricci és un fluix geomètric i intrínsec — un procés que deforma la mètrica d'una varietat de Riemann — en forma anàloga a la difusió de la calor, pero suavisant les irregularitats de la mètrica de Riemann. Eixercita un paper important en la demostració de la conjectura de Poincare (realisada en 2002 pel matemàtic rus Grigori Perelmán basant-se en este propi principi), un dels sèt Problemes del Mileni pel qual el Clay Mathematics Institute oferia un premi d'1 milló de dólars per la solució correcta, i en eixe context també li'l crida el fluix de Ricci–Hamilton.

Definició matemàtica

Donada una varietat de Riemann en un tensor mètric $g_{ij}$, podem calcular el tensor de Ricci $R_{ij}$ que conté els promijos de les curvatura seccionales en una espècie de "traça" del tensor de curvatura. Si considerem al tensor mètric (i a l'associat tensor de Ricci) com a funcions d'una variable anomenada "temps" (pero que pot no estar relacionada en la noció física de temps), llavors el fluix de Ricci es pot definir com la equació d'evolució geomètrica

${\partial }_t{g}_{ij}=-2{\text{Ric}}_{ij}$

a on g és la mètrica i Ric és la curvatura de Ricci.

Richard Hamilton va ser el primer en utilisar este fluix en 1981, demostrant que qualsevol 3-varietat que admeta una mètrica de curvatura positiva, admet una mètrica de curvatura constant també. Pot ser utilisat per a provar varis resultats importants, com el teorema de uniformisació o possiblement la conjectura de Thurston, que inclou la famosa conjectura de Poincaré.

Vore també

• Curvatura de Ricci