Varietat de Riemann

Eixemple de varietat de Riemann bidimensional en un sistema de coordenades ortogonals definit sobre ella, i vàries subvariedades curves de la mateixa.

En la geometria de Riemann, una varietat de Riemann és una varietat diferenciable real en la que cada espai tangente s'equipa en un producte intern de manera que varie suaument punt a punt. Açò permet que es definixquen vàries nocions mètriques com a llongitut de curvas, ànguls, àreas (o volums), curvatura, gradient de funcions i divergència de camps vectorials.

Introducció

Una varietat de Riemann és una generalisació del concepte mètric, diferencial i topològic del espai euclidiano a objectes geomètrics que localment tenen la mateixa estructura que l'espai euclidiano pero globalment poden representar forma "curva". De fet, els eixemples més senzills de varietats de Riemann són precisament superfícies curves de ${ℝ}^3$ i subconjunts oberts de ${ℝ}^n$.

L'estructura matemàtica de la geometria riemanniana permet estendre a subconjunts curvos o hipersuperficies de l'espai euclidiano, les nocions mètriques de llongitut d'una curva, àrea d'una superfície, (hiper)volum o àngul entre dos curves. Açò es realisa definint en cada punt un objecte matemàtic cridat tensor mètric que permet especificar un procediment per a medir distàncies, i per tant definir qualsevol atre concepte mètric basat en distàncies i les seues variacions.

Des del punt de vista matemàtic una varietat de Riemann és una tripleta del tipo:

A on:

$(ℳ,\{{\varphi }_{\alpha }\})$ és una varietat diferenciable en la que s'ha especificat el conjunt de cartes locals.

$g$ és una aplicació bilineal definida positiva des de l'espai tangente a la varietat: $g:TM\times TM\to ℝ.$

En particular, la mètrica g permet definir en cada espai tangente una norma ||.|| per mig de

$||X||=\sqrt{g(X,X)}.$

Varietats riemannianas com subvariedades

Una forma senzilla de construir varietats riemannianas és buscar subconjunts "suaus" de l'espai euclidiano. De fet, cada subvariedad diferenciable de Rⁿ té una mètrica de Riemann induïda: el producte intern en cada fibra tangente és la restricció del producte intern en Rⁿ.

De fet, com se seguix del teorema d'immersió de Nash, totes les varietats de Riemann es poden considerar subvariedades diferenciables de ${ℝ}^D$, per a algun D. En particular es pot definir una varietat de Riemann com un espai mètric que és isomètric a una subvariedad diferenciable de R^D en la mètrica intrínseca induïda. Esta definició pot no ser teòricament suficientment flexible, pero és molt útil en construir les primeres intuïcions geomètriques en la geometria de Riemann.

En general una subvariedad de ${ℝ}^n$, dimensió m, vindrà definida localment per un conjunt d'aplicacions diferenciables del tipo:

Per lo que matricialmente es tindrà en cada punt de coordenades associades o_i que el tensor mètric pot expressar-se en coordenades locals en térmens de la matriu jacobiana de f:

En este cas les $(u^1,\dots ,u^m)$ farien el paper de coordenades locals sobre la subvariedad.

Varietats riemannianas com a seccions diferenciables

Una varietat de Riemann es definix generalment com a varietat diferenciable en una secció diferenciable de formes quadràtiques positiu-definides en el fibrado tangente. Llavors es té treball en demostrar que pot ser convertit en un espai mètric:

Si γ: [a, b] → M és una curva contínuament diferenciable en la varietat de Riemann M, llavors es definix la seua llongitut L(γ) com

(note's que el γ'(t) és un element de l'espai tangente a M en el punt γ(t); ||.||denota la norma resultant del producte intern dau en eixe espai tangente.)

En esta definició de llongitut, cada varietat de Riemann conexa M es convertix en un espai mètric (i inclús un espai mètric en llongitut) d'un modo natural: la distancia d(x, i) entre els punts x i i en M es definix com

d (x, i) = inf { L(γ): γ és una curva contínuament diferenciable que conecta a x i i }.

Conceptes mètrics

Llínees geodèsiques

Artícul principal → geodèsica.

Encara que les varietats de Riemann són generalment "curves", no obstant, podem trobar que daus dos punts diferents i suficientment propencs existix una curva de llongitut mínima (encara que esta no té per qué ser única). Estes llínees de mínima llongitut es diuen llínees geodèsicas i són una generalisació del concepte "llínea recta" o "llínea de mínima llongitut". Estes són les curves que localment conecten els seus punts a lo llarc de les trayectòries més curtes.

Aixina donada una curva $\gamma :[a,b]\to M$ continguda en una varietat riemanniana M, definim la llongitut de dita curva L(γ) per mig del vector tangente a la mateixa i les components g_ij del tensor mètric g del següent modo:

$L(\gamma )=\underset{a}{\overset{b}{\int }}\sqrt{\sum _{i,j}{g}_{ij}x{\text{'}}_i(t)x{\text{'}}_j(t)}dt$

A on x_i(t) és l'expressió paramètrica dels punts de la curva parametrizada per mig del paràmetro t. Usant els símbols de Christoffel associades a la conexió sense torsió, la curva geodèsica de mínima llongitut que passen per un punt x₀ i té el vector tangente v satisfà la següent equació:

$\frac{d^2{x}^{\mu }}{d{t}^2}+\sum _{\sigma ,\nu }{\Gamma }_{\sigma \nu }^{\mu }\frac{d{x}^{\sigma }}{dt}\frac{d{x}^{\nu }}{dt}=0$

Pot provar-se que l'equació anterior pot obtindre's per métodos variacionales, concretament podem de les equacions de Euler-Lagrange per a un lagrangiano construït a partir de la forma quadràtica associada al tensor mètric.

Llongitut, àngul i volum

En una varietat riemanniana l'existència d'un tensor mètric permet estendre les nocions euclideas de llongitut, àngul entre dos curves en un punt (o dos vectores del espai tangente d'un punt) o el volum d'una regió de dita varietat.

• La llongitut d'un segment d'una curva donada parametrizada per $t$, des de $a$ fins a $b$, es definix com:

• El àngul entre dos vectores O i V (o entre dos curves que els seus vectores tangentes siguen O i V ) es definix com:

• El n-volum d'una regió R d'una varietat de dimensió n ve dau per l'integral estesa a dita regió de la n-forma de volum:

Ademés d'açò es poden definir mides de dimensionalidad 1< d < n per a regions de subvariedades contingudes en la varietat original, la qual cosa permet definir d-àrees certs subconjunts de la varietat.

Producte intern

El producte intern en Rⁿ (el producte escalar euclidiano familiar) permet que es definixca llongituts de vectorés i ànguls entre vectores. Per eixemple, si a i b són vectores en Rⁿ, llavors a² és la llongitut al quadrat del vector, i a * b determina el coseno de l'àngul entre ells (a * b = ||a|| ||b|| cos θ). El producte intern és un concepte del àlgebra llineal que es pot definir per a qualsevol espai vectorial. Des del fibrado tangente d'una varietat diferenciable (o de fet, qualsevol fibrado vectorial sobre una varietat) és, considerat punt a punt, un espai vectorial, pot dur també un producte intern. Si el producte intern en l'espai tangente d'una varietat es definix suaument, llavors els conceptes que eren solament punt a punt definit en cada espai tangente es poden integrar, per a rendir nocions anàlogues en regions finitas de la varietat. En este context, l'espai tangente es pot pensar com a translació infinitesimal en la varietat. Aixina, el producte intern en l'espai tangente dona la llongitut d'una translació infinitesimal. l'integral d'esta llongitut dona la llongitut d'una curva en la varietat. Per a passar d'un concepte algebraic llineal a un geomètric diferencial, el requisit de suavitat és important, en molts casos.

Curvatura

Artícul principal → Tensor de curvatura.

En una varietat riemanniana les geodèsiques al voltant d'un punt exhibixen comportaments atípics respecte a la geometria euclidiana. Per eixemple en un espai euclidiano poden donar-se llínees rectes paraleles la distància de les quals es manté constant, no obstant, en una varietat riemanniana els fas de geodèsiques tendixen a divergir (curvatura negativa) o a convergir (curvatura positiva), segons siga la curvatura seccional de dita varietat. Totes les curvatura poden ser representades adequadament pel tensor de curvatura Riemann que és definible a partir de derivades de primer i segundor orde del tensor mètric. El tensor de curvatura en térmens dels símbols de Christoffel i usant el conveni de sumación d'Einstein ve dau per:

Una relació interessant que aclarix el significat del tensor de curvatura és que si es consideren coordenades normals $\{x^1,\dots ,x^n\}$centrades en un punt p en un entorn de dit punt la mètrica de tota varietat riemannina pot escriure's com:

Pot vore's que si el tensor de Riemann s'anula idénticamente llavors localment la mètrica s'aproxima la mètrica euclidiana i la geometria localment és euclidiana. En cas del que el tensor no siga nula, els seus components donen una idea de quant s'allunten la geometria de la varietat riemanniana de la geometria d'un espai euclidiano de la mateixa dimensió.

Vore també

• Geometria de Riemann
• Varietat de Finsler
• Isomorfisme musical

Referències

Bibliografia

• Robert M. Wald, General Relativity, Chicago University Press, ISBN 0-226-87033-2.
• Lee, J.M. Riemannian manifolds: an introduction to curvature. GTM 176. ISBN 0-387-98271-X