Coordenades ortogonals

Una transformació conforme que actua sobre una cuadrícula rectangular. Tinga's en conte que es conserva la ortogonalidad de la cuadrícula curva

Un sistema de coordenades ortogonals és un sistema de coordenades tal que en cada punt els vectores tangentes a les curves coordenades són ortogonalés entre sí. Este tipo de coordenades poden definir-se sobre un espai euclídeo o més generalment sobre una varietat riemanniana o pseudoriemanniana.

Motivació

Si be les operacions vectorials i les lleis físiques són normalment més fàcils d'interpretar en coordenades cartesianas, les coordenades ortogonals no cartesianas s'utilisen a sovint en el seu lloc per a la solució de varis problemes, especialment en el cas de condiciones de contorn específiques, com els que sorgixen en mecànica quàntica, fluidodinámica, electromagnetisme, l'estudi del comportament del plasma, la difusió de substàncies químiques o el calor.

La principal ventaja de les coordenades no cartesianas és que es poden elegir per a que coincidixquen en la simetria del problema. Per eixemple, l'ona de pressió per una explosió llunt del sol (o atres barreres) depén de l'espai 3D en coordenades cartesianas, no obstant, la pressió s'allunta predominantment del centre, de modo que en coordenades esfèriques el problema es torna casi unidimensional (ya que l'ona de pressió depén predominantment solament del temps i de la distància des del centre). Un atre eixemple és el fluix (no turbulento) d'un líquit en una canonada circular recta: en coordenades cartesianas es té que resoldre un difícil problema de valor llímit bidimensional que involucra una equació diferencial parcial, pero en coordenades cilíndriques el problema es torna unidimensional i es pot resoldre per mig d'una equació diferencial ordinària en lloc d'una equació en derivades parcials.

La raó per a preferir coordenades ortogonals en lloc de coordenades curvilíneas en general és la seua simplicitat: sorgixen moltes complicacions quan les coordenades no són ortogonals. Per eixemple, en coordenades ortogonals molts problemes poden resoldre's utilisant separació de variables. La separació de variables és una tècnica matemàtica que convertix un problema complex de d dimensions en d problemes unidimensionals que poden resoldre's en térmens de funcions conegudes. Moltes equacions poden reduir-se a l'equació de Laplace o a l'equació de Helmholtz. l'equació de Laplace és separable en 13 dels 14 sistemes de coordenades ortogonals mencionats més alvance (en l'única excepció de les coordenades toroidales), i l'equació de Helmholtz és separable en 11 dels mencionats sistemes de coordenades ortogonals.

Les coordenades ortogonals mai tenen térmens fòra de la diagonal en les seues tensors mètrics. En atres paraules, la distància infinitesimal al quadrat ds² sempre es pot escriure com una suma escalada dels desplaçaments infinitesimals al quadrat de les coordenades

$d{s}^2=\sum _{k=1}^d{\left(h_{k}d{q}^k\right)}^2$

a on d és la dimensió i les funcions d'escala (o factors d'escala)

$h_k(𝐪)\stackrel{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{f}}{=}\sqrt{g_{kk}(𝐪)}=|{𝐞}_k|$

són iguals a les raïls quadrades de les components diagonals del tensor mètric, o les llongituts dels vectores base locals ${𝐞}_k$ descrits a continuació. Estes funcions d'escala h_i s'utilisen per a calcular operadors diferencials en les noves coordenades, com per eixemple el gradient, el laplaciano, la divergència i el rotacional.

Un método simple per a generar sistemes de coordenades ortogonals en dos dimensions és per mig d'una transformació conforme d'una cuadrícula bidimensional estàndar de coordenades cartesianas (x, i). Es pot formar un número complejo z = x + iy a partir de les coordenades reals x i i, a on i representa l'unitat imaginària. Qualsevol funció holomorfa w = f(z) en derivada complexa distinta de zero produirà una transformació conforme. Si l'número complejo resultant s'escriu w= o + iv, llavors les curves de o i v constants es intersecan en ànguls rectes, tal com ho fan les llínees originals de x i i constants.

Es poden generar coordenades ortogonals en tres o més dimensions a partir d'un sistema de coordenades ortogonal bidimensional, ya siga proyectant-ho a una nova dimensió (coordenades cilíndriques) o rotando el sistema bidimensional sobre un dels seus eixos de simetria. No obstant, existixen atres sistemes de coordenades ortogonals en tres dimensions que no es poden obtindre proyectant o rotando un sistema bidimensional, com les coordenades elipsoidales. Es poden obtindre coordenades ortogonals més generals començant en algunes superfícies de coordenades necessàries i considerant les seues trayectòries ortogonals.

Definició

Donada una varietat de (pseudo)riemanniana $ℳ$, un conjunt obert $O$ del mateix i un punt dins de dit conjunt obert $m\in O\subset ℳ$, una carta local o "sistema de coordenades" local pot representar-se per una funció:

$\varphi :O\subset ℳ\to {ℝ}^{d}p\in O\wedge \varphi (p)=(x^1,x^2,\mathrm{...},x^d)\in {ℝ}^d$

A on d és la dimensió de l'espai a on es definix el sistema de coordenades local. Les d curvas coordenades C_i(t) i les seues vectores tangentes vénen definides per les equacions:

$\varphi (C_i(t))=(x_{(0)}^1,\mathrm{...},x^i(t),\mathrm{...},x_{(0)}^n){𝐯}_i={C_i}^{\prime }(t)=\frac{\partial }{\partial x^i}$

El sistema de coordenades serà ortogonal si els vectores tangentes a les curves coordenades x_i són ortogonals, és dir, si:

A on g(, ) és el tensor mètric de l'espai a on es definixen les coordenades.