Equació de Helmholtz

Equació de Helmholtz

La equació de Helmholtz, nomenada aixina per Hermann von Helmholtz, ve donada per:

$({\mathrm{\nabla }}^2+k^2)\varphi =0$

Símbol	Nom
${\mathrm{\nabla }}^2$	Laplaciano
$k$	Número real positiu
$\varphi$	Camp escalar

L'equació apareix en varis contexts de la física a on $k$ s'interpreta com el número. Aixina també, dita equació és comunament trobada en problemes d'electromagnetisme, en la teoria del potencial de Yukawa i, com a cas particular, en l'equació de Klein-Gordon per a un camp estacionario.

Equació en electromagnetisme

Anem a mostrar com es deduïx l'equació de Helmholtz a partir de les equacions de Maxwell. Per a mijos no conductors llineals lliures de fonts caracterisats per $ϵ$ i $\mu (\sigma =0)$, les equacions de Maxwell es reduïxen a:

(2) $\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\times \overrightarrow{H}=ϵ\frac{\partial \overrightarrow{E}}{\partial t}$

(3) $\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\cdot \overrightarrow{E}=0$

(4) $\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\cdot \overrightarrow{H}=0$

Les equacions anteriors (1), (2), (3) i (4) són equacions diferencials de primer orde per als camps $\overrightarrow{E}$ i $\overrightarrow{H}$. Podem combinar-les per a produir una equació de segon orde contenint únicament $\overrightarrow{E}$ o $\overrightarrow{H}$. Usem les equacions (1) i (2) i operant s'obté:

No obstant sabem que:

i usant l'equació (3) tenim que:

Per lo tant substituint els térmens tenim finalment que:

La velocitat de fase ve donada per:

lo que significa que: $v_{\mathrm{p}}=\frac{1}{\sqrt{\mu ϵ}}$

i per lo tant, substituint, tenim:

$\overrightarrow{{\mathrm{\nabla }}^2}\overrightarrow{E}-\frac{1}{v_{\mathrm{p}}^2}\frac{{\partial }^2\overrightarrow{E}}{\partial t^2}=0$

Análogamente podem traure l'equació per a $\overrightarrow{H}$:

Com podem apreciar, les dos equacions anteriors són les equacions d'ona vectorials homogénees. Descomponent estes dos equacions obtingudes en coordenades cartesianes podem descompondre-ho en tres equacions d'ones escalares, homogénees i unidimensionals. Cada component del camp elèctric i magnètics deu satisfer una equació la solució de la qual representa una ona. Si se supon que el camp té dependència harmònica en el temps de la forma $\overrightarrow{\psi }=\text{Re}(\overrightarrow{{\psi }_0}{e}^{-i\omega t})$, a on $\psi$ pot ser tant $\overrightarrow{E}$ com $\overrightarrow{H}$, s'aplega a la conclusió:

o

Análogamente trobem la següent equació per al camp magnètic: