Operador laplaciano

En càlcul vectorial, el operador laplaciano o laplaciano és un operador diferencial elíptic de segon orde, denotat com $\Delta$, relacionat en certs problemes de minimisació de certes magnituts sobre un cert domini. L'operador té eixe nom en reconeiximent a Pierre-Simon Laplace que va estudiar solucions d'equacions diferencials en derivades parcials en les que apareixia dit operador.

Expressat en coordenades cartesianes és igual a la suma de totes les segones derivades parcials no mixtes depenents d'una variable. Es fa us del símbol delta ($\Delta$) o nabla quadrat (${\mathrm{\nabla }}^2$) per a representar-ho. Si $\varphi$ és un camp escalar, el seu laplaciano pot escriure's en térmens de l'operador nabla com:

També existix el laplaciano vectorial, que sobre un camp vectorial $𝐀$ actua per mig de:

Problemes relacionats en l'operador laplaciano

En física, el laplaciano apareix en múltiples contexts com la teoria del potencial, la propagació d'ones, la conducció de la calor, la distribució de tensions en un sòlit deformable, etc. Pero de totes estes situacions ocupa un lloc destacat en l'electrostàtica i en la mecànica quàntica. En l'electrostàtica, l'operador laplaciano apareix en l'equació de Laplace i en l'equació de Poisson. Mentres que en la mecànica quàntica el laplaciano de la funció d'ona d'una partícula dona l'energia cinètica de la mateixa. En matemàtiques, les funcions tals que la seua laplaciano s'anula en un determinat domini, es diuen funcions harmòniques sobre el domini. Estes funcions tenen una excepcional importància en la teoria de funcions de variable complexa. Ademés l'operador laplaciano és l'ingredient bàsic de la teoria de Hodge i els resultats de la cohomología de De Rham.

Motivació de l'ubiqüitat de l'operador laplaciano

Una de les motivacions per les quals el Laplaciano apareix en numeroses àrees de la física és que les solucions de l'equació ${\mathrm{\nabla }}^{2}f=0$ en una regió O són funcions que minimisen el funcional d'energia:

$E(f)=\frac{1}{2}\underset{U}{\int }\Vert \mathrm{\nabla }f{\Vert }^2\mathrm{d}x$

Per a vore açò suponga's que $f:U\to ℝ$ és una funció, i $u:U\to ℝ$ és una funció que s'anula sobre la frontera de O. Llavors,

$\frac{d}{d\epsilon }{|}_{\epsilon =0}E(f+\epsilon u)=\underset{U}{\int }\mathrm{\nabla }f\cdot \mathrm{\nabla }u\mathrm{d}x=-\underset{U}{\int }u{\mathrm{\nabla }}^{2}f\mathrm{d}x$

a on en l'última igualtat se seguix usant la primera identitat de Green. Este càlcul mostra que si ${\mathrm{\nabla }}^{2}f=0$, llavors el funcional d'energia I és estacionario al voltant de f. Recíprocament, si I és estacionario al voltant de f, llavors ${\mathrm{\nabla }}^{2}f=0$ pel teorema fonamental del càlcul integral.

Una atra raó de la seua ubiqüitat és que quan un escriu l'equació de Laplace en forma diferències finitas s'aprecia que el Laplaciano en un punt és proporcional a la diferència entre el valor de la funció en el punt i el valor de la funció entorn. És dir, qualsevol magnitut que puga expressar-se com una magnitut de fluix que es conserva satisfà l'equació de Laplace.