Derivada parcial

En matemàticas, la derivada parcial d'una funció de vàries variables és la derivada sobre cada una d'eixes variables mantenint les atres com a constants. Les derivades parcials són usades en càlcul vectorial i geometria diferencial.

La derivada parcial d'una funció $f (x, y, \dots)$ sobre la variable $x$ es pot denotar de distintes maneres:

\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial}{\partial x} f, D_{1} f, \partial_{x} f, f_{x}^{'} o f_{x} .

A on $\partial$ és la lletra 'd' redonejada, coneguda com la 'd de Jacobi'. També es pot representar com $D_{1} f (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n})$ que és la primera derivada respecte a la variable $x_{1}$ i aixina successivament.^[1] Un dels primers usos coneguts d'este símbol en matemàtiques és pel Marqués de Condorcet de 1770, qui ho va usar para diferències parcials. La notació moderna de derivades parcials va ser creada per Adrien-Marie Legendre (1786), encara que més tarde la va abandonar; Carl Gustav Jacob Jacobi reintrodujo el símbol en 1841.^[2]

Quan una magnitut $A$ és funció de diverses variables ( $x, y, z, ...$ ), és dir:

A = f (x, y, z, ...)

En realisar esta derivada obtenim l'expressió que nos permet calcular la pendent de la recta tangente a dita funció $A$ en un punt donat. Esta recta és paralela al pla format per l'eix de l'incògnita respecte a la qual s'ha fet la derivada en l'eix que representa els valors de la funció.

Analíticamente el gradient d'una funció és la màxima pendent de dita funció en la direcció que s'elegixca. Mentres vist des del àlgebra llineal, la direcció del gradient nos indica cap a on hi ha major variació en la funció.

El símbol utilisat per a denotar derivades parcials és ∂. Un dels primers usos coneguts d'este símbol en matemàtiques és el del Marqués de Condorcet de 1770, que ho va utilisar per a la diferències parcials. La notació moderna de la derivada parcial va ser creada per Adrien-Marie Legendre (1786), encara que posteriorment la va abandonar; Carl Gustav Jacob Jacobi reintrodujo el símbol en 1841.^[2]

Introducció

Suponga que $f$ és una funció de més d'una variable, açò és, suponga que $f$ està donada per

z = f (x, y) = x^{2} + x y + y^{2}

La gràfica d'esta funció definix una superfície en l'espai euclidiano. Per a cada punt en esta superfície, hi ha un número infinit de llínees tangentes.

La derivació parcial és l'acte d'elegir una d'eixes llínees i trobar la seua pendent. Generalment, les llínees que més interessen són aquelles que són paraleles al pla $x z$ i aquelles que són paraleles al pla $y z$ .

Archiu:Caps block 2 +x+1.png

Partix de la gràfica en el pla

x z

, en

y = 1

. La pendent de la recta tangente és

3

.

Per a trobar la pendent de la llínea tangente de la funció en

P (1, 1)

que és paralela al pla

x z

, considerem a la variable

y

com a constant. La gràfica de la funció i este pla es mostren a la dreta. A l'esquerra, veem cóm es veu la funció en el pla

y = 1

. Trobem la pendent de

f

en el punt

(x, y)

derivant la funció

f

considerant a

y

com a constant:

\frac{\partial f}{\partial x} |_{(x, y)} = 2 x + y

Per lo que en el punt $(1, 1)$ (reemplaçant en la derivada) la pendent és $3$ . Açò és, la derivada parcial de $f$ sobre $x$ en el punt $(1, 1)$ és $3$ , com es mostra en la gràfica.

Definició

Definició formal

Análogamente a la derivada ordinària (funció d'una variable real), la derivada parcial està definida com un llímit.

Siga $U$ és un subconjunt obert de $ℝ^{n}$ i $f : U \to ℝ$ una funció, la derivada parcial de $f$ en el punt $𝐚 = (a_{1}, \dots, a_{n}) \in U$ sobre la $i$ -ésima variable $x_{i}$ es definix com

\frac{\partial}{\partial x_{i}} f (𝐚) = \lim_{h \to 0} \frac{f (a_{1}, \dots, a_{i - 1}, a_{i} + h, a_{i + 1}, \dots, a_{n}) - f (a_{1}, \dots, a_{n})}{h}

si existix el llímit.

Inclús si totes les derivades parcials existixen en el punt $𝐚$ , la funció no necessàriament és contínua en eixe punt. No obstant, si totes les derivades parcials existixen en un entorn de $𝐚$ i són contínues, llavors la funció $f$ és totalment diferenciable en eixe entorn i la derivada total és contínua. En este cas, es diu que $f$ és una funció $C^{1}$ .

La derivada parcial

\frac{\partial f}{\partial x}

pot ser vista com una atra funció definida sobre $U$ i pot ser de nou derivada de forma parcial. Si totes les derivades parcials mixtes de segon orde són contínues en un punt, llavors $f$ és una funció $C^{2}$ en eixe punt; en tal cas, les derivades parcials poden ser intercanviades pel teorema de Clairaut:

\frac{\partial^{2} f}{\partial x_{i} \partial x_{j}} = \frac{\partial^{2} f}{\partial x_{j} \partial x_{i}}

Eixemple

Geometria

El volum $V$ d'un con que depén de l'altura del con $h$ i la seua ràdio $r$ , està donat per la fòrmula

V (r, h) = \frac{π r^{2} h}{3}

Les derivades parcials de $V$ respecte a $r$ i $h$ són

\begin{matrix} \frac{\partial V}{\partial r} & = \frac{2 π r h}{3} \\ \frac{\partial V}{\partial h} & = \frac{π r^{2}}{3} \end{matrix}

respectivament, la primera d'elles representa la taxa a la que el volum del con canvia si el radi varia i la seua altura es manté constant, la segona d'elles representa la taxa a la que el volum canvia si l'altura varia i la seua ràdio es manté constant.

La derivada total de $V$ sobre $r$ i $h$ són

\frac{d V}{d r} = \underset{\frac{\partial V}{\partial r}}{\underset{⏟}{\frac{2 π r h}{3}}} + \underset{\frac{\partial V}{\partial h}}{\underset{⏟}{\frac{π r^{2}}{3}}} \frac{d h}{d r}

i

\frac{d V}{d h} = \underset{\frac{\partial V}{\partial h}}{\underset{⏟}{\frac{π r^{2}}{3}}} + \underset{\frac{\partial V}{\partial r}}{\underset{⏟}{\frac{2 π r h}{3}}} \frac{d r}{d h}

respectivament.

Gradient

Artícul principal → Gradient.

Un eixemple important d'una funció de vàries variables és el cas d'una funció escalar f(x₁,..., x_n) en un domini en l'espai euclidiano $ℝ^{n}$ (per eixemple, en $ℝ^{2}$ o $ℝ^{3}$ ). En est case f té una derivada parcial ∂f/∂x_j sobre cada variable x_j. En el punt a, estes derivades parcials definixen el vector

\nabla f (a) = (\frac{\partial f}{\partial x_{1}} (a), \dots, \frac{\partial f}{\partial x_{n}} (a)) .

Este vector es diu gradient de f en a. Si f és diferenciable en cada punt en algun domini, llavors el gradient és una funció vectorial ∇f que du el punt a al vector ∇f(a). En conseqüència, el gradient produïx un camp vectorial.

Un abús de notació comuna és definir l'operador del (∇) de la següent manera en espai euclidiano tridimensional $ℝ^{3}$ en vectores unitaris $\hat{𝐢}, \hat{𝐣}, \hat{𝐤}$ :

\nabla = [\frac{\partial}{\partial x}] \hat{𝐢} + [\frac{\partial}{\partial y}] \hat{𝐣} + [\frac{\partial}{\partial z}] \hat{𝐤}

O, de manera més general, per a l'espai euclidiano n-dimensional $ℝ^{n}$ en coordenades $x_{1}, \dots, x_{n}$ i unitaris vectores ${\hat{𝐞}}_{1}, \dots, {\hat{𝐞}}_{n}$ :

\nabla = \sum_{j = 1}^{n} [\frac{\partial}{\partial x_{j}}] {\hat{𝐞}}_{j} = [\frac{\partial}{\partial x_{1}}] {\hat{𝐞}}_{1} + [\frac{\partial}{\partial x_{2}}] {\hat{𝐞}}_{2} + \dots + [\frac{\partial}{\partial x_{n}}] {\hat{𝐞}}_{n}

Notació

Considere una funció

\begin{matrix} f : ℝ^{3} & \to ℝ \\ (x, y, z) & \mapsto f (x, y, z) \end{matrix}

Les derivades parcials de primer orde respecte a la variable $x$ solen denotar-se per

\frac{\partial f}{\partial x} = f_{x} = \partial_{x} f

Les derivades parcials de segon orde solen denotar-se per

\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}} = f_{x x} = \partial_{x x} f = \partial_{x}^{2} f

Les derivades creuades de segon orde per

\frac{\partial^{2} f}{\partial y \partial x} = \frac{\partial}{\partial y} (\frac{\partial f}{\partial x}) = f_{x y} = \partial_{y x} f = \partial_{y} \partial_{x} f

Termodinàmica

En termodinàmica i atres àrees de la física s'ampra la següent notació:

{(\frac{\partial Y}{\partial X})}_{Z}

que significa que $\exists f_{X Z} (\cdot) : Y = f_{X Z} (X, Z)$ i llavors:

{(\frac{\partial Y}{\partial X})}_{Z} : = \frac{\partial f_{X Z} (X, Z)}{\partial X}

Esta notació s'usa perque freqüentment una magnitut pot expressar-se com a funció de diferents variables per lo que en general:

{(\frac{\partial Y}{\partial X})}_{Z_{1}} \neq {(\frac{\partial Y}{\partial X})}_{Z_{2}}

Ya que la forma precisa de les funcions $f_{X Z_{1}} (\cdot, \cdot)$ i $f_{X Z_{2}} (\cdot, \cdot)$ és diferent, és dir, es tracta de funcions diferents.

Derivades parcials d'orde superior

A la seua volta, la derivada parcial $\partial_{x_{i}} f$ pot vore's com una atra funció definida en O i derivar-se parcialment. Si totes les seues derivades parcials existixen i són contínues, cridem a f una funció C²; en este cas, les derivades parcials (cridades parcials) poden ser intercanviades pel teorema de Clairaut també conegut com a teorema de Schwarz.

\frac{\partial^{2} f}{\partial x_{i} \partial x_{j}} = \frac{\partial^{2} f}{\partial x_{j} \partial x_{i}} .

En $ℝ^{2}$ , si es complix lo ya dit, s'assegura que:

\frac{\partial^{2} f}{\partial x \partial y} = \frac{\partial^{2} f}{\partial y \partial x} = f_{x y} = f_{y x}

Derivada direccional

En matemàtiques, la derivada direccional d'una funció (escalar) diferenciable multivariable a lo llarc d'un vector donat v en un punt donat x representa intuitivamente la taxa instantànea de canvi de la funció, movent-se a través de x en una velocitat especificada per v.

La derivada direccional d'una funció escalar f sobre un vector v en un punt (per eixemple, posició) x pot ser denotada per qualsevol dels següents: $\nabla_{𝐯} f (𝐱) = f'_{𝐯} (𝐱) = D_{𝐯} f (𝐱) = D f (𝐱) (𝐯) = \partial_{𝐯} f (𝐱) = 𝐯 \cdot \nabla f (𝐱) = 𝐯 \cdot \frac{\partial f (𝐱)}{\partial 𝐱} .$

Generalisa, per tant, la noció de derivada parcial, en la que la taxa de variació es pren a lo llarc d'una de les curves de coordenades curvilíneas, sent totes les demés coordenades constants. La derivada direccional és un cas especial de la derivada de Gateaux.

Eixemple

Supongam que f és una funció de més d'una variable. Per eixemple,

z = f (x, y) = x^{2} + x y + y^{2}

.

La gràfica d'esta funció definix una superfície en l'espai euclídeo. Per a cada punt d'esta superfície hi ha un número infinit de rectes tangentes. La diferenciació parcial consistix en elegir una d'estes rectes i trobar la seua pendent. Normalment, les rectes de major interés són les paraleles al pla $x z$ i les paraleles al pla $y z$ (que resulten de mantindre constant $y$ o $x$ , respectivament).

Per a trobar la pendent de la recta tangente a la funció en $P (1, 1)$ i paralela al pla $x z$ , tractem $y$ com una constant. La gràfica i este pla es mostren a la dreta. Avall, vore l'aspecte de la funció en el pla $y = 1$ . Trobant la derivada de l'equació suponent que $y$ és una constant, trobem que la pendent de $f$ en el punt $(x, y)$ és:

\frac{\partial z}{\partial x} = 2 x + y .

Aixina que en $(1, 1)$ , per substitució, la pendent és 3. Per lo tant,

\frac{\partial z}{\partial x} = 3

en el punt $(1, 1)$ . És dir, la derivada parcial de $z$ respecte a $x$ en $(1, 1)$ és 3, com es mostra en la gràfica.

La funció f pot reinterpretar-se com una família de funcions d'una variable indexades per les atres variables:

f (x, y) = f_{y} (x) = x^{2} + x y + y^{2} .

En atres paraules, cada valor de i definix una funció, denotada f_i, que és una funció d'una variable x. Açò també pot expressar-se com l'adjointness entre l'espai del producte i les construccions del espai de funcions. És dir

f_{y} (x) = x^{2} + x y + y^{2} .

En esta secció, la notació de subíndex f_i denota una funció que depén d'un valor fix de i, i no una derivada parcial.

Una volta elegit un valor de i, digam a, llavors f(x,i) determina una funció f_a que traça una curva x² + ax + a²' en el pla $x z$ :

f_{a} (x) = x^{2} + a x + a^{2} .

En esta expressió, a és una constant, no una variable, per lo que f_a és una funció d'una sola variable real, que és x. En conseqüència, s'aplica la definició de la derivada per a una funció d'una variable:

{f_{a}}^{'} (x) = 2 x + a .

El procediment anterior pot realisar-se per a qualsevol elecció de a. Ensamblando les derivades juntes en una funció s'obté una funció que descriu la variació de f en la direcció x:

\frac{\partial f}{\partial x} (x, y) = 2 x + y .

Esta és la derivada parcial de f sobre x. Ací ∂ és una d redonejada anomenada símbol de derivada parcial'; per a distinguir-la de la lletra d, ∂ a voltes es pronuncia "parcial".

Derivades parcials d'orde superior

Les derivades parcials de segon orde i d'orde superior es definixen de forma anàloga a les derivades d'orde superior de funcions univariantes. Per a la funció $f (x, y, ...)$ la "pròpia" segona derivada parcial sobre x és simplement la derivada parcial de la derivada parcial (abdós sobre x):^[3]^{<span title="Erro en la seqüencia d'órdens: no existix el mòdul «DecodeEncode».">: Plantilla:R/where}.

\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}} \equiv \partial \frac{\partial f / \partial x}{\partial x} \equiv \frac{\partial f_{x}}{\partial x} \equiv f_{x x} .

La derivada parcial creuada sobre x i i s'obté prenent la derivada parcial de f sobre x, i després prenent la derivada parcial del resultat sobre i, per a obtindre

\frac{\partial^{2} f}{\partial y \partial x} \equiv \partial \frac{\partial f / \partial x}{\partial y} \equiv \frac{\partial f_{x}}{\partial y} \equiv f_{x y} .

Teorema de Schwarz afirma que si les segones derivades són contínues, l'expressió per a la derivada parcial creuada no es veu afectada per qué variable es pren la derivada parcial respecte a la primera i quin es pren respecte a la segona. És dir,

\frac{\partial^{2} f}{\partial x \partial y} = \frac{\partial^{2} f}{\partial y \partial x}

o equivalentemente $f_{y x} = f_{x y} .$

Les derivades parcials pròpies i creuades apareixen en la matriu hessiana que s'utilisa en les condicions de segon ordes en problemes d'optimisació. Les derivades parcials d'orde superior es poden obtindre per diferenciació successiva

Anàlec de les antiderivada

Existix un concepte per a les derivades parcials que és anàlec al d'antiderivadas per a les derivades regulars. Donada una derivada parcial, permet recuperar parcialment la funció original.

Considerem l'eixemple de

\frac{\partial z}{\partial x} = 2 x + y .

L'integral "parcial" pot prendre's sobre x (tractant i com a constant, de forma similar a la diferenciació parcial):

z = \int \frac{\partial z}{\partial x} d x = x^{2} + x y + g (y) .

Ací, la "constant" d'integració ya no és una constant, sino una funció de totes les variables de la funció original llevat $x$ . La raó d'açò és que totes les demés variables es tracten com a constants en prendre la derivada parcial, per lo que qualsevol funció que no implique $x$ desapareixerà en prendre la derivada parcial, i tenim que tindre açò en conte en prendre la antiderivada. La forma més general de representar açò és fer que la "constant" represente una funció desconeguda de totes les demés variables.

Aixina, el conjunt de funcions $x^{2} + x y + g (y)$ , a on g és qualsevol funció d'un argument, representa tot el conjunt de funcions en les variables x, i que podrien haver produït la derivada parcial de x $2 x + y$ .

Si es coneixen totes les derivades parcials d'una funció (per eixemple, en el gradient), llavors les antiderivada poden emparellar-se per mig del procés anterior per a reconstruir la funció original fins a una constant. No obstant, a diferència del cas d'una sola variable, no tot conjunt de funcions pot ser el conjunt de totes les (primeres) derivades parcials d'una única funció. En atres paraules, no tot camp vectorial és conservativo.

Vore també

Referències

↑ Serge Lang. Càlcul II. ISBN 968-6630-12-0
↑ ^2,0 ^2,1 Miller, Jeff (2009-06-14). «Earliest Uses of Symbols of Calculus». Earliest Uses of Various Mathematical Symbols.
↑ Chiang, Alpha C. Fonamental Methods of Mathematical Economics, McGraw-Hill, tercera edició, 1984.

Enllaços externs

Referències

Este artícul conté una traducció derivada de «Derivada parcial» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.

[1] Serge Lang. Càlcul II. ISBN 968-6630-12-0

[jeff_earliest-2] 2,0 ^2,1 Miller, Jeff (2009-06-14). «Earliest Uses of Symbols of Calculus». Earliest Uses of Various Mathematical Symbols.

[3] Chiang, Alpha C. Fonamental Methods of Mathematical Economics, McGraw-Hill, tercera edició, 1984.

[1]

[2]

[3]

Plantilla:R/where