Camp vectorial conservativo

En càlcul vectorial, un camp vectorial conservativo és un camp vectorial que és el gradient d'alguna funció. Un camp vectorial conservativo té la propietat de que la seua integral de llínea és independent de la trayectòria; l'elecció de qualsevol trayectòria entre dos punts no canvia el valor de l'integral de llínea. L'independència de la trayectòria de l'integral de llínea és equivalent a que el camp vectorial baix l'integral de llínea siga conservativo. Un camp vectorial conservativo és també irrotacional; en tres dimensions, açò significa que té rotacional evanescente. Un camp vectorial irrotacional és necessàriament conservativo sempre que el domini siga simplement conexo.

Els camps vectorials conservativos apareixen de forma natural en mecànica: Són camps vectorials que representen forças de sistema físics en els que l'energia és conservada. Per a un sistema conservativo, el treball realisat en moure's a lo llarc d'una trayectòria en un espai de configuració depén únicament dels punts finals de la trayectòria, per lo que és possible definir energia potencial que siga independent de la trayectòria real recorreguda.

Tractament informal

En un espai bidimensional i tridimensional, existix una ambigüitat en prendre una integral entre dos punts, ya que hi ha infinits camins entre els dos punts: ademés de la llínea recta formada entre els dos punts, es podria elegir un camí curve de major llongitut, com es mostra en la figura. Per lo tant, en general, el valor de l'integral depén del camí pres. No obstant, en el cas especial d'un camp vectorial conservativo, el valor de l'integral és independent del camí pres, lo que pot pensar-se com una cancelació a gran escala de tots els elements $dR$ que no tenen una component a lo llarc de la recta entre els dos punts. Per a visualisar-ho, imaginem a dos persones escalant un penya-segat; una decidix escalar el penya-segat pujant verticalment per ell, i la segona decidix caminar per una sendera sinuosa que és més llarc en llongitut que l'altura del penya-segat, pero en només un chicotet àngul respecte a l'horisontal. Encara que els dos excursionistes hagen pres rutes diferents per a aplegar al cim del penya-segat, en el cim abdós hauran guanyat la mateixa cantitat d'energia potencial gravitatoria. Açò es deu a que un camp gravitatorio és conservativo.

Archiu:Pathdependence.png

Descripció de dos possibles camins a integrar. En vert està la trayectòria possible més senzilla; en blau es mostra una curva més enrevesada

.

Explicació intuïtiva

El gravat litogràfic de M. C. Escher Ascendent i descendent ilustra un camp vectorial no conservativo, imposiblemente fet per a que semble el gradient de l'altura variable sobre el sol a mida que un es mou per l'escala. És rotacional en el sentit de que un pot seguir pujant o baixant mentres dona regressos en círculs. No és conservativa, ya que es pot tornar al punt de partida ascendint més de lo que es descendix o viceversa. En una escala real, l'altura sobre el sol és un camp de potencial escalar: Si es torna al mateix lloc, es puja exactament tant com es baixa. El seu gradient seria un camp vectorial conservativo i és irrotacional. La situació representada en el gravat és impossible.