Derivada de Lie

En matemàtica, una derivada de Lie és una derivació en l'àlgebra de funcions diferenciables sobre una varietat diferenciable $ℳ$, la definició de la qual pot estendre's al àlgebra tensorial de la varietat. Obtenim llavors lo que en topología diferencial es denomina derivació tensorial: una aplicació $ℝ$-llineal sobre el conjunt de tensors de tipo $(r,s)$, que preserva el tipo tensorial i satisfà la regla del producte de Leibniz i que commuta en les contracció.

Per a definir la derivada de Lie sobre el conjunt de tensors de tipo $(r,s)$ bastarà en definir la seua acció sobre funcions i sobre camps de vectores: Aixina, si $X$ és un camp diferenciable de vectores, es definix la derivada de Lie sobre X com l'única derivació tensorial tal que:

• ${ℒ}_{X}f=X(f).$ per a tota funció diferenciable $f$.
• ${ℒ}_{X}Y=[X,Y].$ per a tot camp diferenciable $Y$. A on $[,]$ és el corchete de Lie.

La derivada aixina definida satisfarà automàticament les propietats citades d'una derivació tensorial: la regla del producte

${ℒ}_X(S\otimes T)=({ℒ}_{X}S)\otimes T+S\otimes ({ℒ}_{X}T).$

commutarà en les contracció.

l'espai vectorial de totes les derivades de Lie en $ℳ$ forma a la seua volta un àlgebra de Lie de dimensió infinita sobre el corchete de Lie.

Encara que menys habitual, també es denota a la derivada de Lie de $Y$ respecte d'un camp $X$ com $X^{L}Y$. Esta notació, en ocasions més neta que l'anterior puix evita subíndexs, prové del professor Juan Bautista Sancho Guimerá.^{cita requerida}

Derivada de Lie de camps tensoriales

En geometria diferencial, si tenim un tensor diferenciable T de ranc (p, q) (és dir una funció llineal de seccions diferenciables, α, β, ... del TM fibrado cotangente i X, I,... del TM fibrado tangente,

T(α,β...,X,I ,...)

Tals que para qualssevol funcions diferenciables

f₁...,f_p...,f_p+q, T(f₁α,f₂β...,f_p+1X,f_p+2I,...) = f₁f₂... f_p+1f_p+2... f_p+q T(α, β..., X, I ,...)) i un camp vectorial (secció del fibrado tangente) A diferenciable, llavors la funció llineal:

(£_AT)(α, β,..., X, I,...) ≡ ∇_A T(α, β,..., X, I,...) - ∇_{T(-,β...,X,I,...)}A(α)-... + T(α, β...,∇_XA,I,...)+...

és independent de la conexió ∇ que s'utilisa, mentres siga lliure de torsió, i és, de fet, un tensor.

Este tensor es diu la derivada de Lie de T sobre A.

Vore també

• Àlgebra de Witt
• Corchete de Lie. El corchete de Lie reproduïx l'acció de la derivada de Lie sobre camps de vectores.
• Vector de Killing