Fibrado cotangente

En geometria diferencial, el fibrado cotangente d'una varietat és l'unió de tots els espais cotangentes en cada punt de la varietat.

U-formes

Artícul principal → 1-forma.

Les seccions diferenciables del fibrado cotangente són u-formes diferencials, també es diuen formes de Pfaff o formes pfaffianas.

El fibrado cotangente com a espai de fase

Forma simpléctica

El fibrado cotangente té una 2-forma simpléctica canònica en ell, com derivada exterior de l'un-forma canònica.

L'u-forma assigna a un vector en el fibrado tangente del fibrado cotangente l'aplicació de l'element en el fibrado cotangente (una funcional llineal) a la proyecció del vector en el fibrado tangente (el diferencial de la proyecció del fibrado cotangente a la varietat original). Es pot provar que la derivada exterior d'esta forma és simpléctica observant que el ser simpléctico és una propietat local: lloc que el fibrado cotangente és localment trivial, esta definició necessita solament ser comprovada en Rⁿ × Rⁿ. Pero allí l'u forma definida és la suma de i_idx_i, i el diferencial és la forma simpléctica canònica, la suma de dy_i∧dx_i.

L'espai de fase

Si la varietat M representa el conjunt de posicions possibles en un sistema dinàmic, llavors el fibrado cotangente de T^*M es pot pensar com el conjunt de possible posicions i moments. Per eixemple, açò és una manera fàcil de descriure l'espai de fase (no trivial) d'una péndola esfèrica tridimensional: una bola massiva obligada a moure's a lo llarc d'una 2-esfera. La construcció simpléctica antedicha, junt en una funció apropiada d'energia, dona una determinació completa de la física del sistema. Veja mecànica hamiltoniana para més informació.