Canònic (matemàtica)

En matemàtiques, l'adjectiu canònic s'usa en freqüència per a indicar que alguna cosa és natural, com deu ser i independent d'eleccions arbitràries, que és absolut i no relatiu a un observador, que és intrínsec i no depén d'un sistema de referència o d'un sistema de coordenades, que pertany a l'estructura pròpia de lo que estudiem.

Dir d'alguna cosa que és canònic és dir que no és arbitrari, que tots coincidim en això si ho mirem en atenció. Encara que sempre s'use en sentit imprecís, és un concepte central en matemàtiques, ciència que aspira a desentranyar en rigor lo que s'entén per canònic i a traure a la llum tot lo que és canònic.

Orige i breu història

No solament és un concepte elusivo i central en matemàtiques. Baixe la denominació de φυσις (physis, d'a on deriva el nom de ‘física’) va ser un concepte central de la filosofia grega. La major dificultat que tenim per a acostar-nos a ella és el extrañamiento de l'home modern de tal concepte. Mentres que l'home grec es trobava sumergit en ell, hui en dia l'home modern cult viu fòra d'ell. Malamente sobreviu en matemàtiques (a on en molta freqüència s'usa en sentits espurios) i sobretot en la filosofia.

En el XX, qui millor ha sabut expressar el seu sentit ha segut Heidegger. En les seues paraules, φυσις significa la força que impera, brota i permaneix regulada per ella mateixa. Com a manifestació oposta, els grecs varen introduir lo que cridaven θεσις (thesis), lo posat, o el νομος (nomos), regla en sentit de costum, o τέχνη (techné), que significa producció a partir d'un saber (tècnica).

Us algebraic i físic

Vejam alguns eixemples de l'us correcte i de l'abús del terme:

• Si es parla del orde canònic de les senyes, significa que les senyes s'ordenen segons la seua orde natural, un orde que no és invenció de l'autor sino que pertany a l'estructura pròpia de lo que s'estudia. Ací canònic s'usa en el sentit de natural o estructural.

  Aixina, si les senyes són número natural, lo canònic és ordenar-los de menor a major (o de major a menor, realment hi ha dos ordenacions naturals i no pot dir-se que una és canònica i l'atra no). Si foren notes musicals, lo natural és ordenar-les pel to (de greus a agudes, o d'agudes a greus…). En canvi, si foren paraules espanyoles i s'ordenaren com en els diccionaris, eixe no seria un orde canònic; puix és clar que posar la b abans que la c és una elecció arbitrària que fem per costum i per conveni: no pertany a l'estructura mateixa de les paraules. En este eixemple es veu molt ben l'oposició entre φυσις i νομος.

• Si es parla de la forma canònica de l'equació d'una curva plana, és un us espurio de la paraula canònic. Significa que en distints sistemes de referència o sistemes de coordenades la curva adquirix diferents equacions. En alguns sistemes l'equació de la curva és notablement més senzilla, i la frase es referix a una forma que es considera més simple. Ací canònic s'utilisa com a sinònim de simple, senzill i breu. Seria millor dir equació reduïda o forma usual de l'equació.
• Quan es parla de la base canònica de l'espai vectorial ℝ${}^{\text{n}}$, s'abusa del terme, i deuria dir-se la base usual de ℝ${}^{\text{n}}$, perque l'estructura d'espai vectorial no determina de modo natural cap base particular, i per a fixar la base a la que es vol fer referència és necessari introduir alguna estructura adicional, com és la descomposició en producte directe.
• En parlar de la proyecció canònica en el conjunt cocient volem dir que és l'única proyecció que podem definir en general per a tot conjunt cocient. En cada cas particular es podria definir una aplicació distinta del conjunt inicial en el conjunt cocient; pero solament la proyecció cridada canònica pot definir-se al mateix temps per a totes les relacions d'equivalència possibles. Ací canònic s'usa en el sentit d'universal.

Vore també

• Equació paramètrica

Bibliografia

• A. Bouvier i M. George, Diccionari de matemàtiques, p. 110:

Base canònica, descomposició canònica d'una aplicació, Injecció canònica d'en o conjunt B, proyector i proyecció canònica, i suprayección canònica