Equació paramètrica

En matemàtiques, un sistema de equacions paramètriques permet representar una curva o superfície en el pla o en l'espai, per mig de valors que recorren un interval de número real, per mig d'una variable, cridada paràmetro, considerant cada coordenada d'un punt com una funció depenent del paràmetro.

Erro al crear miniatura:

Equació paramètrica

Erro al crear miniatura:

Pot descriure's una hèliç en l'equació paramètrica

f (t) = (5 \cos (t), 5 \sin (t), t / 5)

. En variar el valor de t, s'obtenen els distints punts de la curva.

Un eixemple simple de la cinemàtica, és quan s'usa un paràmetro de temps $(t)$ per a determinar la posició i la velocitat d'un mòvil.

Descripció

En l'us estàndar del sistema de coordenades, una o dos variables (depenent de si s'utilisen dos o tres dimensions respectivament) són considerades com variables independents, mentres que la restant és la variable depenent, en el valor d'esta sent equivalent al de l'image de la funció quan els restants valores són els seus paràmetros. Aixina per eixemple l'expressió d'un punt qualsevol $(x, y)$ equival a l'expressió $(x, f (x))$ .

Esta representació té la llimitació de requerir que la curva siga una funció de $x$ en $y$ , és dir que tots els valors $x$ tinguen un sol valor $y$ (i solament un) corresponent en $y$ . No totes les curves complixen en dita condició. Per a poder treballar en la mateixa com si es tractara d'una funció, lo que es fa és elegir un domini i una image diferents, en a on la mateixa sí siga funció. Per a fer açò, tant $x$ com $y$ són considerats variables depenents, el resultat de les quals sorgix d'una tercera variable (sense representació gràfica) coneguda com a «paràmetro».

En alguns casos, ajuda a simplificar la derivació i l'integració, en lloc del cas $y = f (x)$ o de $z = F (x, y)$ . Un cas paradigmàtic, la representació de la cicloide per equacions paramètriques.^[1]

Eixemple

Siga $3 x - 2 y - 5 = 0$ l'equació general d'una recta, llavors caben les equacions paramètriques:^[2]

{\begin{matrix} x = & 2 t + 5 \\ y = & 3 t + 5 \end{matrix}

,

t \in ℝ

Un atre eixemple per a aclarir

Erro al crear miniatura:

Quan es pren un interval en l'eix t, els punts c(t) = (t, t²) descriuen una paràbola.

Donada l'equació $y = x^{2},$ una parametrisació tindrà la forma ${\begin{matrix} x = u (t) \\ y = v (t) \end{matrix}$ , $t \in ℝ$

Una parametrisació possible seria ${\begin{matrix} x = t \\ y = t^{2} \end{matrix}$ , $t \in ℝ$

Es deu destacar que per a cada curva existixen infinites parametrisació possibles. Una en a on $x$ i $y$ equivalgueren a $2 U$ i $4 U^{2}$ en $U \in ℝ$ , respectivament, seria igualment vàlida. La diferència seria que, per a trobar un punt determinat (a, b) de la curva, el valor del paràmetro seria diferent en cada cas. En l'eixemple donat, el punt (2, 4) de la curva apareixeria en la primera parametrisació quan t = 2, i en el segon quan O = 1.

Curves notables

Circumferència

Equació paramètrica de la circumferència goniométrica. La variable t és l'àngul i els seus punts són: (x, i) = (cost, senset).

Una circumferència en centre en l'orige de coordenades i ràdio r verifica que $x^{2} + y^{2} = r^{2}$

Una expressió paramètrica és ${\begin{matrix} x = r \cos t \\ y = r \sin t \end{matrix}$ , $t \in ℝ$

Elipse

Una elipse en centre en $(x_{0}, y_{0})$ , que es interseca en l'eix $x$ en $(x_{0} \pm a, 0)$ , i en l'eix $y$ en $(0, y_{0} \pm b)$ , verifica que $\frac{(x - x_{0})^{2}}{a^{2}} + \frac{(y - y_{0})^{2}}{b^{2}} = 1$ .

Una expressió paramètrica és ${\begin{matrix} x = x_{0} + a \cos t \\ y = y_{0} + b \sin t \end{matrix}$ , $t \in ℝ$

Atres curves

Erro al crear miniatura:

Diferents figures variant k

L'expressió paramètrica d'una funció permet la construcció d'una gran varietat de formes, simplement variant alguna constant. A continuació es descriu la funció paramètrica:

${\begin{matrix} x = (a - b) \cos (t) + b \cos (t ((a / b) - 1)) \\ y = (a - b) \sin (t) - b \sin (t ((a / b) - 1)) \end{matrix}$ , $t \in ℝ$

que, per a la qual, depenent de la proporció $a / b$ poden obtindre's formes molt diverses.

En esta atra funció es pot vore una gran varietat de formes en funció dels exponents $j$ i $k$ , variant els paràmetros $a$ , $b$ , $c$ i $d$ .

${\begin{matrix} x = \cos (a t) - \cos (b t)^{j} \\ y = \sin (c t) - \sin (d t)^{k} \end{matrix}$ , $t \in ℝ$

A continuació eixemples per a $j = 3$ , $k = 3$ i $j = 3$ , $k = 4$ .

j=3 k=3
j=3 k=3
j=3 k=4
j=3 k=4
j=3 k=4

A continuació es descriu una atra funció a on pot obtindre's una gran diversitat de formes, variant el valor de les constants: i,j,a,b,c,d,i.

${\begin{matrix} x = i \cos (a t) - \cos (b t) \sin (c t) \\ y = j \sin (d t) - \sin (e t) \end{matrix}$ , $t \in ℝ$

i=1 j=2

Les equacions paramètriques a sovint descriuen belles figures.

Erro al crear miniatura:

Representació gràfica de tres funcions paramètriques
Erro al crear miniatura:

Representació gràfica de dos funcions paramètriques
Erro al crear miniatura:

Representació gràfica de dos funcions paramètriques

Vore també

^[3]

Notes i referències

↑ Kong Requena. Càlcul Diferencial. 2002
↑ "Geometria Analítica" de Gordon Fuller (1991) pág. 223
↑ Geometria E4D, Obra independent, pp. 368. ISBN 978-980-12-8563-2.

Referències

Este artícul conté una traducció derivada de «Ecuación paramétrica» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.

[1] Kong Requena. Càlcul Diferencial. 2002

[2] "Geometria Analítica" de Gordon Fuller (1991) pág. 223

[3] Geometria E4D, Obra independent, pp. 368. ISBN 978-980-12-8563-2.

[1]

[2]

[3]