Sistema dinàmic

Archiu:Thomas' cyclically symmetric attractor.png

Atractor simètric cíclico de Thomas.

Un sistema dinàmic és un sistema l'estat del qual evoluciona en el temps. Els sistemes físics en situació no estacionaria són eixemples de sistemes dinàmics, pero també existixen models econòmics, matemàtics i d'atres tipos que són sistemes abstractes i, a la seua volta, sistemes dinàmics. El comportament en dit estat es pot caracterisar determinant els llímits del sistema, els elements i les seues relacions; d'esta forma es poden elaborar models que busquen representar l'estructura del mateix sistema.

En definir els llímits del sistema es fa, en primer lloc, una selecció d'aquells components que contribuïxquen a generar els modos de comportament, i després es determina l'espai a on es portarà a terme l'estudi, ometent tota classe d'aspectes irrellevants.

El temps pot medir-se per número entero, per real o número complejo o pot ser un objecte algebraic més general, perdent la memòria del seu orige físic, i l'espai pot ser múltiple o simplement un conjunt, sense necessitat d'una estructura espai-temporal de suau definida sobre ell.

En un moment donat, un sistema dinàmic té un estat que representa un punt en un espai d'estats apropiat. Este estat sol vindre dau per una tupla de número real o per un vector en una varietat geomètrica. La regla d'evolució del sistema dinàmic és una funció que descriu qué estats futurs es deriven de l'estat actual. A sovint la funció és determinista, és dir, per a un interval de temps donat només un estat futur se seguix de l'estat actual.^[1]^[2] No obstant, alguns sistemes són estocàstic, en els que els successos aleatoris també afecten a l'evolució de les variables d'estat.

En física, un sistema dinàmic es descriu com una "partícula o conjunt de partícules l'estat de les quals varia en el temps i, per tant, obedix a equacions diferencials que impliquen derivades temporals".^[3] Per a realisar una predicció sobre el comportament futur del sistema, es realisa una solució analítica de dites equacions o la seua integració en el temps per mig de simulació per ordenador.

L'estudi dels sistemes dinàmics és l'objecte de la teoria de sistemes dinàmics, que té aplicacions a una gran varietat de camps com les matemàtiques, la física,^[4]^[5] biologia,^[6] química, ingenieria,^[7] economia,^[8] història, i medicina. Els sistemes dinàmics són una part fonamental de la teoria del caos, la dinàmica del mapa llogístic, la teoria del forcall, els processos d'autoensamblaje i autoorganización, i el concepte de vora del caos.

Descripció general

El concepte de sistema dinàmic té el seu orige en la mecànica newtoniana. Allí, com en atres ciències naturals i disciplines de l'ingenieria, la regla d'evolució dels sistemes dinàmics és una relació implícita que dona l'estat del sistema només per a un temps curt en el futur. (La relació és una equació diferencial, equació de diferència o una atra escala de temps]]). Per a determinar l'estat per a tots els temps futurs es requerix iterar la relació moltes voltes, alvançant cada volta un menut pas. El procediment de iteración es denomina resoldre el sistema o integrar el sistema. Si el sistema pot resoldre's, donat un punt inicial és possible determinar totes les seues posicions futures, una colecció de punts coneguda com trayectòria o òrbita'.

Abans de l'arribada dels ordenadors, trobar una òrbita requeria sofisticades tècniques matemàtiques i només podia conseguir-se per a una menuda classe de sistemes dinàmics. Els métodos numèrics implementats en màquines de computació electrònica han simplificat la tasca de determinar les òrbites d'un sistema dinàmic.

Per a sistemes dinàmics senzills, a sovint n'hi ha prou en conéixer la trayectòria, pero la majoria dels sistemes dinàmics són massa complicats per a entendre'ls en térmens de trayectòries individuals. Les dificultats sorgixen perque:

Els sistemes estudiats només poden conéixer-se de forma aproximada: els paràmetros del sistema poden no conéixer-se en precisió o poden faltar térmens en les equacions. Les aproximacions utilisades posen en dubte la validea o pertinència de les solucions numèriques. Per a abordar estes qüestions s'han introduït vàries nocions d'estabilitat en l'estudi dels sistemes dinàmics, com l'estabilitat de Lyapunov o l'estabilitat estructural. L'estabilitat del sistema dinàmic implica que existix una classe de models o condicions inicials per als que les trayectòries serien equivalents. L'operació de comparació d'òrbites per a establir la seua equivalència canvia en les distintes nocions d'estabilitat.

El tipo de trayectòria pot ser més important que una trayectòria en particular. Algunes trayectòries poden ser periòdiques, mentres que unes atres poden vagar per molts estats diferents del sistema. Les aplicacions requerixen a sovint enumerar estes classes o mantindre el sistema dins d'una classe. La classificació de totes les trayectòries possibles ha conduït a l'estudi qualitatiu dels sistemes dinàmics, és dir, les propietats que no canvien baix canvis de coordenades. Els Sistemes dinàmics llineals i el sistemes que tenen dos números que descriuen un estat són eixemples de sistemes dinàmics en els que es comprenen les possibles classes d'òrbites.
El comportament de les trayectòries en funció d'un paràmetro pot ser lo que es necessita per a una aplicació. En variar un paràmetro, els sistemes dinàmics poden tindre punts de forcall a on canvia el comportament qualitatiu del sistema dinàmic. Per eixemple, pot passar de tindre només moviments periòdics a un comportament aparentment errático, com en la transició a turbulència d'un decorregut.
Les trayectòries del sistema poden semblar erráticas, com si anaren aleatòries. En estos casos pot ser necessari calcular promijos utilisant una trayectòria molt llarga o moltes trayectòries diferents. Els promijos estan ben definits para sistemes ergòdics i s'ha elaborat una comprensió més detallada para sistemes hiperbòlics. La comprensió dels aspectes provabilístics dels sistemes dinàmics ha ajudat a establir els fonaments de la mecànica estadística i de la caos.

Història

Molts consideren al matemàtic francés Henri Poincaré com el fundador dels sistemes dinàmics.^[9] Poincaré va publicar dos monografies ya clàssiques, "Nous métodos de mecànica celest" (1892-1899) i "Conferències sobre mecànica celest" (1905-1910). En elles, va aplicar en èxit els resultats de les seues investigacions al problema del moviment de tres cossos i va estudiar en detalle el comportament de les solucions (freqüència, estabilitat, asintòtica, etc.). Estos treballs incloïen el teorema de recurrencia de Poincaré, que afirma que certs sistemes, despuix d'un temps suficientment llarc pero finito, tornaran a un estat molt pròxim a l'inicial.

Aleksandr Lyapunov va desenrollar molts métodos d'aproximació importants. Els seus métodos, que va desenrollar en 1899, permeten definir l'estabilitat de conjunts d'equacions diferencials ordinàries. Va crear la teoria moderna de l'estabilitat d'un sistema dinàmic.

En 1913, George David Birkhoff va demostrar el "Última teorema geomètrica" de Poincaré, un cas especial del problema dels tres cossos, resultat que li va donar fama mundial. En 1927 va publicar la seua obra Dynamical Systems]. El resultat més durador de Birkhoff ha segut el seu descobriment en 1931 de lo que ara es denomina el teorema ergòdica. Combinant idees de la física sobre la hipòtesis ergòdica en la teoria de la mida, esta teorema va resoldre, a lo manco en principi, un problema fonamental de la mecànica estadística. La teorema ergòdica també ha tingut repercussions per a la dinàmica.

Stephen Smale també va realisar alvanços significatius. La seua primera contribució va ser el Ferradura de Smale que va impulsar una important investigació en sistemes dinàmics. També va esbossar un programa d'investigació portat a terme per molts uns atres.

En 1964, Oleksandr Mykolaiovych Sharkovsky va desenrollar el teorema de Sarkovskii sobre els periodos dels sistemes dinàmics discrets. Una de les implicacions de la teorema és que si un sistema dinàmic discret en la recta real té un punt periòdic de periodo 3, llavors deu tindre punts periòdics de qualsevol atre periodo.

A finals de el XX, la perspectiva dels sistemes dinàmics per a les equacions diferencials parcials va escomençar a guanyar popularitat. L'ingenier mecànic palestí Ali H. Nayfeh va aplicar la dinàmica no llineal en mecànica i ingenieria de sistemes.^[10] El seu treball pioner en dinàmica no llineal aplicada ha segut influent en la construcció i manteniment de màquines i estructures habituals en la vida quotidiana, com barcos, grues, ponts, edificis, rascacels, motors a reacció, motors d'eixides, avions i naus espacials.^[11]

Definició formal

En el sentit més general,^[12]^[13] un sistema dinàmic és una tupla (T, X, Φ) a on T és un monoide, escrit aditivamente, X és un conjunt no buit i Φ és una funció.

Φ : U \subseteq (T \times X) \to X

en

{p r o j}_{2} (U) = X

(a on

{p r o j}_{2}

és la segona proyecció)

i per a qualsevol x en X:

Φ (0, x) = x

Φ (t_{2}, Φ (t_{1}, x)) = Φ (t_{2} + t_{1}, x),

per a $t_{1}, t_{2} + t_{1} \in I (x)$ i $t_{2} \in I (Φ (t_{1}, x))$ , a on hem definit el conjunt $I (x) : = {t \in T : (t, x) \in U}$ per a qualsevol x en X.

En particular, en el cas de que $U = T \times X$ tenim per a cada x en X que $I (x) = T$ i per lo tant que Φ definix una acció monoide de T en X.

La funció Φ(t,x) es denomina funció d'evolució del sistema dinàmic: associa a cada punt x del conjunt X una image única, dependent de la variable t, denominada paràmetro d'evolució. X es denomina espai de fases o espai d'estats, mentres que la variable x representa un estat inicial del sistema.

Es pot escriure

Φ_{x} (t) \equiv Φ (t, x)

Φ^{t} (x) \equiv Φ (t, x)

si prenem una de les variables com a constant.

Φ_{x} : I (x) \to X

es diu fluix a través de x i la seua gràfica, trayectòria a través de x. El conjunt

γ_{x} \equiv {Φ (t, x) : t \in I (x)}

es diu òrbita a través de x. Note's que l'òrbita a través de x és l'image del fluix a través de x. Un subconjunt S de l'espai d'estats X es diu Φ-invariante si para tot x en S i tot t en T

Φ (t, x) \in S .

Aixina, en particular, si S és Φ-invariante, $I (x) = T$ per a tot x en S. És dir, el fluix a través de x deu estar definit per a tot el temps per a cada element de S.

Més comunament hi ha dos classes de definicions per a un sistema dinàmic: una està motivada per equació diferencial ordinàrias i és geomètrica en sabor; i l'atra està motivada per teoria ergòdica i és teoria de la mida en sabor.

Definició geomètrica

En la definició geomètrica, un sistema dinàmic és la tupla $⟨ 𝒯, ℳ, f ⟩$ . $𝒯$ és el domini per al temps - hi ha moltes opcions, per lo general els reals o els sancers, possiblement restringit a ser no negatiu. $ℳ$ és un varietat, és dir, localment un espai de Banach o un espai euclidiano, o en el cas discret un grafo. f és una regla d'evolució t → f^t (en $t \in 𝒯$ ) tal que f^t és un difeomorfismo de la varietat respecte a sí mateixa. Per lo tant, f és un mapage "suau" del domini temporal $𝒯$ en l'espai de difeomorfismos de la varietat en si mateixa. En atres térmens, f(t) és un difeomorfismo, per a cada temps t en el domini $𝒯$ .

Sistema dinàmic real

Un sistema dinàmic real, sistema dinàmic en temps real, temps continu sistema dinàmic, o fluix és una tupla (T, M, Φ) en T un interval obert en el número real R, M un colector localment difeomorfo a un espai de Banach, i Φ una funció contínua. Si Φ és contínuament diferenciable, llavors el sistema és un sistema dinàmic diferenciable. Si la varietat M és localment difeomorfa a Rⁿ, el sistema dinàmic és finito-dimensional; si no, el sistema dinàmic és infinit-dimensional. Note's que açò no supon un estructura simpléctica. Quan T es pren com els reals, el sistema dinàmic es diu global o un fluix; i si T es restringix als reals no negatius, llavors el sistema dinàmic és un semi-fluix.

Sistema dinàmic discret

Un sistema dinàmic discret és una tupla (T, M, Φ), a on M és una varietat localment difeomorfa a un espai de Banach, i Φ és una funci'on. Quan T es pren com els sancers, és una cascada o un mapa. Si T es restringix als sancers no negatius cridem al sistema una semicascada.^[14]

Autómata celular

Un autómata celular és una tupla (T, M, Φ), sent T una ret tal com els sancers o una ret de sancers de dimensions superiors, M és un conjunt de funcions d'una ret de sancers (de nou, en una o més dimensions) a un conjunt finito, i Φ una funció d'evolució (definida localment). Com a tals, els autómates celulars són sistemes dinàmics. La ret en M representa la ret "espacial", mentres que la ret en T representa la ret "temporal".

Generalisació multidimensional

Els sistemes dinàmics solen definir-se sobre una única variable independent, considerada com a temps. Una classe més general de sistemes es definixen sobre múltiples variables independents, per lo que es denominen sistemes multidimensionales. Estos sistemes són útils per a modelar, per eixemple, el processament d'imàgens.

Compactificación d'un sistema dinàmic

Dau un sistema dinàmic global (R, X, Φ) en un espai localment compacte i Hausdorff espai topològic X, sol ser útil estudiar l'extensió contínua Φ* de Φ a la compactificación en un punt X* de X. Encara que perdem l'estructura diferencial del sistema original ara podem utilisar arguments de compacidad per a analisar el nou sistema (R, X*, Φ*).

En sistemes dinàmics compactes el conjunt llímit de qualsevol òrbita és no buit, compacte i simplement conexo.

Elements a tindre en conte

Sobre l'elaboració dels models, els elements i les seues relacions, es deu tindre en conte:

Un sistema està format per un conjunt d'elements en interacció.

El comportament del sistema es pot mostrar a través de diagrames causals.
Hi ha varis tipos de variables: variables exógenas (són aquelles que afecten al sistema sense que este les provoque) i les variables endógenas (afecten al sistema pero este sí les provoca).

Eixemple de sistema dinàmic

Un eixemple d'un sistema dinàmic es pot vore en una espècie de peixos que es reproduïx de tal forma que enguany la cantitat de peixos és $X_{k}$ , l'any pròxim serà $X_{k + 1}$ . D'esta manera podem posar noms a les cantitats de peixos que hi haurà cada any, aixina: any inicial $X_{0}$ , any primer $X_{1}$ ,........... ......, any k $X_{k}$ .

Com es pot observar : $x_{k + 1} = f (x_{k})$ , es complix per a qualsevol any k; la qual cosa significa que la cantitat de peixos es pot determinar si se sap la cantitat de l'any anterior. Per tant esta equació representa un sistema dinàmic.

Tipos de sistemes dinàmics

Els sistemes dinàmics es dividixen en sistemes discrets en el temps i continus en el temps. Un sistema dinàmic es diu discret si el temps es medix en menuts lapsus; estos són modelats com relacions recursivas, tal com l'equació llogística:

a on t denota els passos discrets del temps i x és la variable que canvia en est. Un sistema dinàmic discret determinista general pot modelar-se per mig d'una equació abstracta del tipo:

Si el temps és medit en forma contínua, el sistema dinàmic continu resultant és expressat com una equació diferencial ordinària; per eixemple:

\frac{d x}{d t} = a x (1 - x)

a on x és la variable que canvia en el temps t. La variable canviant x és normalment un número real, encara que també pot ser un vector en R^k.

Sistemes llineals i no llineals

Es distinguix entre sistemes dinàmics llineals i sistemes dinàmics no llineals. En els sistemes llineals, el segon membre de l'equació és una expressió que depén en forma llineal de x, tal com:

x_{n + 1} = 3 x_{n}

Si es coneixen dos solucions per a un sistema llineal, la suma d'elles és també una solució; açò es coneix com a principi de superposició. En general, les solucions provinents d'un espai vectorial permeten l'us del àlgebra llineal i simplifiquen significativament l'anàlisis. Per a sistemes llineals continus, el método de la transformada de Laplace també pot ser usat per a transformar l'equació diferencial en una equació algebraica; aixina mateix que per als sistemes llineals discrets, el método de la transformada Z també pot ser usat per a transformar l'equació diferencial en una equació algebraica.

Els sistemes no llineals són molt més difícils d'analisar i a sovint exhibixen un fenomen conegut com caos, en comportaments totalment impredictibles.

Vore també

Bibliografia adicional

Ralph Abraham i Jerrold E. Marsden (1978). Foundations of mechanics, Benjamin–Cummings. ISBN 978-0-8053-0102-1. (available as a reprint: ISBN 0-201-40840-6)
Encyclopaedia of Mathematical Sciences (ISSN 0938-0396) has a sub-séries on dynamical systems with reviews of current research.
(2005) Dynamics Beyond Uniform Hyperbolicity: A Global Geometric and Probabilistic Perspective, Springer. ISBN 978-3-540-22066-4.
Stephen Smale (1967). “Differentiable dynamical systems”. Bulletin of the American Mathematical Society 73 (6): 747–817. doi:10.1090/S0002-9904-1967-11798-1.
Arnold, Vladimir I. (2006). «Fonamental concepts», Ordinary Differential Equations, Berlin: Springer Verlag. ISBN 3-540-34563-9.

Chueshov, I. D.. Introduction to the Theory of Infinite-Dimensional Dissipative Systems. online version of first edition on the EMIS site [1].
Temam, Roger (1997). Infinite-Dimensional Dynamical Systems in Mechanics and Physics, Springer Verlag.

Referències

↑ Strogatz, S. H. (2001). Dinàmica no llineal i caos: en aplicacions a la física, la biologia i la química, Perseus.
↑ (1995) Introducció a la teoria moderna de sistemes dinàmics, Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-34187-5.
↑ «Nature». Springer Nature.
↑ “Dinàmica de sistemes autoajustables en soroll” . Chaos: An Interdisciplinary Journal of Nonlinear Science 15 (3): 033902. doi:10.1063/1.1953147. PMID 16252993. Bibcode: 2005Chaos..15c3902M.
↑ “Forzamiento resonante de determinats graus de llibertat de la dinàmica de mapes caòtics multidimensionales” . J. Stat. Phys. 130 (3). Bibcode: 2008JSP...130..617G.
↑ Applications of Dynamical Systems in Biology and Medicine, Springer.
↑ Kreyszig, Erwin (2011). Advanced Engineering Mathematics, Hoboken: Wiley. ISBN 978-0-470-64613-7.
↑ Gandolfo, Giancarlo (2009). Economic Dynamics: Methods and Models, Fourth edició, Berlin: Springer. ISBN 978-3-642-13503-3.
↑ Holmes, Philip. "Poincaré, la mecànica celest, la teoria dels sistemes dinàmics i el "caos"". Physics Reports 193.3 (1990): 137-163.
↑ «Homenage a Ali H. Nayfeh (1933-2017)», aneu=pAilDwAAQBAJ&pg=PA1 Simpòsium IUTAM sobre explotació de la dinàmica no llineal per a sistemes d'ingenieria, Springer, pp. 1-2. ISBN 9783030236922.
↑ l'Institut Franklin (ed.): «Ali Hasan Nayfeh».
↑ Giunti M. i Mazzola C. (2012), "Dynamical systems on monoids: Cap a una teoria general dels sistemes determinista i del moviment". En Minati G., Abram M., Pessa E. (eds.), Métodos, models, simulacions i enfocaments cap a una teoria general del canvi, pp. 173-185, Singapur: World Scientific. ISBN 978-981-4383-32-5
↑ Mazzola C. i Giunti M. (2012), "Dinàmica reversible i direccionalidad del temps". En Minati G., Abram M., Pessa E. (eds.), Métodos, models, simulacions i enfocaments cap a una teoria general del canvi, pp. 161-171, Singapur: World Scientific. ISBN 978-981-4383-32-5.
↑ Galor, Oded (2010). Discrete Dynamical Systems, Springer.

Enllaços externs

Commons

Wikimedia Commons alberga contingut multimèdia sobre Sistema dinàmic.

Llibres

Teoria i eixercicis pràctics de Dinàmica de Sistemes

Revistes

Software

Organisacions

System Dynamics Society
MIT System Dynamics Group
New England Complex Systems Institute
The Systems Thinker
University of Bergen System Dynamics Group
UPC Dynamical Systems Group Grup de Sistemes Dinàmics de la Universitat Politècnica de Catalunya.

Referències

Este artícul conté una traducció derivada de «Sistema dinámico» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.

[1] Strogatz, S. H. (2001). Dinàmica no llineal i caos: en aplicacions a la física, la biologia i la química, Perseus.

[2] (1995) Introducció a la teoria moderna de sistemes dinàmics, Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-34187-5.

[3] «Nature». Springer Nature.

[4] “Dinàmica de sistemes autoajustables en soroll” . Chaos: An Interdisciplinary Journal of Nonlinear Science 15 (3): 033902. doi:10.1063/1.1953147. PMID 16252993. Bibcode: 2005Chaos..15c3902M.

[5] “Forzamiento resonante de determinats graus de llibertat de la dinàmica de mapes caòtics multidimensionales” . J. Stat. Phys. 130 (3). Bibcode: 2008JSP...130..617G.

[6] Applications of Dynamical Systems in Biology and Medicine, Springer.

[7] Kreyszig, Erwin (2011). Advanced Engineering Mathematics, Hoboken: Wiley. ISBN 978-0-470-64613-7.

[8] Gandolfo, Giancarlo (2009). Economic Dynamics: Methods and Models, Fourth edició, Berlin: Springer. ISBN 978-3-642-13503-3.

[9] Holmes, Philip. "Poincaré, la mecànica celest, la teoria dels sistemes dinàmics i el "caos"". Physics Reports 193.3 (1990): 137-163.

[Rega-10] «Homenage a Ali H. Nayfeh (1933-2017)», aneu=pAilDwAAQBAJ&pg=PA1 Simpòsium IUTAM sobre explotació de la dinàmica no llineal per a sistemes d'ingenieria, Springer, pp. 1-2. ISBN 9783030236922.

[fi-11] 'Institut Franklin (ed.): «Ali Hasan Nayfeh».

[12] Giunti M. i Mazzola C. (2012), "Dynamical systems on monoids: Cap a una teoria general dels sistemes determinista i del moviment". En Minati G., Abram M., Pessa E. (eds.), Métodos, models, simulacions i enfocaments cap a una teoria general del canvi, pp. 173-185, Singapur: World Scientific. ISBN 978-981-4383-32-5

[13] Mazzola C. i Giunti M. (2012), "Dinàmica reversible i direccionalidad del temps". En Minati G., Abram M., Pessa E. (eds.), Métodos, models, simulacions i enfocaments cap a una teoria general del canvi, pp. 161-171, Singapur: World Scientific. ISBN 978-981-4383-32-5.

[14] Galor, Oded (2010). Discrete Dynamical Systems, Springer.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]